Theorem cdleme0c 39540

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 12-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme0c	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑅)

Proof of Theorem cdleme0c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
2		simp1l 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 38690	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2l 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		cdleme0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 38615	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp2r 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 38615	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		cdleme0.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
13	5, 12	latjcl 18391	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14	3, 8, 11, 13	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
15		simp1r 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
16		cdleme0.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17	5, 16	lhpbase 39325	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18	15, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19		cdleme0.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20		cdleme0.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
21	5, 19, 20	latmle2 18417	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
22	3, 14, 18, 21	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
23	1, 22	eqbrtrid 5173	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ≤ 𝑊)
24		simp3r 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)
25		nbrne2 5158	. 2 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑅)
26	23, 24, 25	syl2anc 583	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-lat 18384  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-lhyp 39315

This theorem is referenced by:  cdleme0gN  39546  cdleme11a  39587  cdleme11h  39593  cdleme36a  39787