Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme0cp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme0cp 36023
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. TODO: Reformat as in cdlemg3a 36406- swap consequent equality; make antecedent use df-3an 1073. (Contributed by NM, 13-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme0.l = (le‘𝐾)
cdleme0.j = (join‘𝐾)
cdleme0.m = (meet‘𝐾)
cdleme0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme0.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme0cp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑈) = (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem cdleme0cp
StepHypRef Expression
1 cdleme0.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
21oveq2i 6806 . 2 (𝑃 𝑈) = (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
3 simpll 750 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simprll 764 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
5 hllat 35171 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
65ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 cdleme0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 35097 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
104, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 simprr 756 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
127, 8atbase 35097 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14 cdleme0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
157, 14latjcl 17258 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
166, 10, 13, 15syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
17 cdleme0.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
187, 17lhpbase 35806 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1918ad2antlr 706 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20 cdleme0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2120, 14, 8hlatlej1 35183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
223, 4, 11, 21syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
23 cdleme0.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
247, 20, 14, 23, 8atmod3i1 35672 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃 (𝑃 𝑄)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
253, 4, 16, 19, 22, 24syl131anc 1489 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)))
26 eqid 2771 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2720, 14, 26, 8, 17lhpjat2 35829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2827adantrr 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑊) = (1.‘𝐾))
2928oveq2d 6811 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑃 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)))
30 hlol 35169 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
3130ad2antrr 705 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ OL)
327, 23, 26olm11 35035 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
3331, 16, 32syl2anc 573 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (1.‘𝐾)) = (𝑃 𝑄))
3425, 29, 333eqtrd 2809 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑃 𝑄))
352, 34syl5eq 2817 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑈) = (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6795  Basecbs 16063  lecple 16155  joincjn 17151  meetcmee 17152  1.cp1 17245  Latclat 17252  OLcol 34982  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796
This theorem is referenced by:  cdleme11c  36070  cdlemg4b1  36418  cdlemg4g  36425  cdlemg13a  36460  cdlemg17a  36470  cdlemg17f  36475  cdlemg18b  36488  cdlemg18c  36489
  Copyright terms: Public domain W3C validator