Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11a 38936
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 38946. (Contributed by NM, 12-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l = (le‘𝐾)
cdleme11.j = (join‘𝐾)
cdleme11.m = (meet‘𝐾)
cdleme11.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme11.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme11a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11a
StepHypRef Expression
1 simp3rr 1247 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈 (𝑆 𝑇))
2 simp1l 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simp1 1136 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 simp2l 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simp2r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑄𝐴𝑃𝑄))
6 cdleme11.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
7 cdleme11.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme11.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
9 cdleme11.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdleme11.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdleme11.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
126, 7, 8, 9, 10, 11lhpat2 38721 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) → 𝑈𝐴)
133, 4, 5, 12syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝐴)
14 simp3rl 1246 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑇𝐴)
15 simp3ll 1244 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑆𝐴)
16 simp2ll 1240 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑃𝐴)
17 simp2rl 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑄𝐴)
18 simp3l 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
196, 7, 8, 9, 10, 11cdleme0c 38889 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) → 𝑈𝑆)
203, 16, 17, 18, 19syl121anc 1375 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑈𝑆)
216, 7, 9hlatexchb1 38069 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝐴𝑇𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑈𝑆) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
222, 13, 14, 15, 20, 21syl131anc 1383 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑈 (𝑆 𝑇) ↔ (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇)))
231, 22mpbid 231 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑃𝑄)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆 𝑈) = (𝑆 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  lecple 17186  joincjn 18246  meetcmee 18247  Atomscatm 37938  HLchlt 38025  LHypclh 38660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-lhyp 38664
This theorem is referenced by:  cdleme11c  38937
  Copyright terms: Public domain W3C validator