Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22gb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22gb 36103
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 5-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme18d.l = (le‘𝐾)
cdleme18d.j = (join‘𝐾)
cdleme18d.m = (meet‘𝐾)
cdleme18d.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme18d.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme18d.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme18d.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme18d.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
cdleme22.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22gb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐺𝐵)

Proof of Theorem cdleme22gb
StepHypRef Expression
1 cdleme18d.g . 2 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
2 simp1l 1239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 hllat 35172 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
42, 3syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2l 1241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
6 simp2r 1242 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
7 cdleme22.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdleme18d.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdleme18d.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 35175 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
112, 5, 6, 10syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
12 simp1 1130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 simp3r 1244 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
14 cdleme18d.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
15 cdleme18d.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
16 cdleme18d.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
17 cdleme18d.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
18 cdleme18d.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
1914, 8, 15, 9, 16, 17, 18, 7cdleme1b 36035 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹𝐵)
2012, 5, 6, 13, 19syl13anc 1478 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹𝐵)
21 simp3l 1243 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
227, 8, 9hlatjcl 35175 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
232, 21, 13, 22syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
24 simp1r 1240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐻)
257, 16lhpbase 35806 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐵)
277, 15latmcl 17260 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
284, 23, 26, 27syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
297, 8latjcl 17259 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵)
304, 20, 28, 29syl3anc 1476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵)
317, 15latmcl 17260 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) ∈ 𝐵)
324, 11, 30, 31syl3anc 1476 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) ∈ 𝐵)
331, 32syl5eqel 2854 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐺𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796
This theorem is referenced by:  cdleme25a  36162  cdleme25dN  36165
  Copyright terms: Public domain W3C validator