Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme18d.g |
. 2
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
4 | | simp2l 1200 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | cdleme22.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdleme18d.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme18d.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
10 | 2, 4, 5, 9 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β π΅) |
11 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
12 | | simp3r 1203 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
13 | | cdleme18d.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme18d.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
15 | | cdleme18d.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | | cdleme18d.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
17 | | cdleme18d.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
18 | 13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6 | cdleme1b 38735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β π΅) |
19 | 11, 4, 5, 12, 18 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β π΅) |
20 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
21 | 6, 7, 8 | hlatjcl 37875 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β π΅) |
22 | 2, 20, 12, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β (π
β¨ π) β π΅) |
23 | | simp1r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π») |
24 | 6, 15 | lhpbase 38507 |
. . . . . 6
β’ (π β π» β π β π΅) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
26 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β π΅ β§ π β π΅) β ((π
β¨ π) β§ π) β π΅) |
27 | 3, 22, 25, 26 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π
β¨ π) β§ π) β π΅) |
28 | 6, 7 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β π΅ β§ ((π
β¨ π) β§ π) β π΅) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β π΅) |
29 | 3, 19, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β π΅) |
30 | 6, 14 | latmcl 18334 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π)) β π΅) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β π΅) |
31 | 3, 10, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π) β§ π))) β π΅) |
32 | 1, 31 | eqeltrid 2838 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΊ β π΅) |