Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme22gb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme22gb 39631
Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 5-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme18d.l = (le‘𝐾)
cdleme18d.j = (join‘𝐾)
cdleme18d.m = (meet‘𝐾)
cdleme18d.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme18d.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme18d.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme18d.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme18d.g 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
cdleme22.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdleme22gb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐺𝐵)

Proof of Theorem cdleme22gb
StepHypRef Expression
1 cdleme18d.g . 2 𝐺 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)))
2 simp1l 1196 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38700 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
5 simp2r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
6 cdleme22.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 cdleme18d.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 cdleme18d.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 38703 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
102, 4, 5, 9syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
11 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simp3r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
13 cdleme18d.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
14 cdleme18d.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
15 cdleme18d.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16 cdleme18d.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
17 cdleme18d.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
1813, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6cdleme1b 39563 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹𝐵)
1911, 4, 5, 12, 18syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹𝐵)
20 simp3l 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
216, 7, 8hlatjcl 38703 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
222, 20, 12, 21syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
23 simp1r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐻)
246, 15lhpbase 39335 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐵)
266, 14latmcl 18403 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
273, 22, 25, 26syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
286, 7latjcl 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹𝐵 ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵)
293, 19, 27, 28syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵)
306, 14latmcl 18403 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) ∈ 𝐵)
313, 10, 29, 30syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑆) 𝑊))) ∈ 𝐵)
321, 31eqeltrid 2836 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐺𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  meetcmee 18275  Latclat 18394  Atomscatm 38599  HLchlt 38686  LHypclh 39321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-lat 18395  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-lhyp 39325
This theorem is referenced by:  cdleme25a  39690  cdleme25dN  39693
  Copyright terms: Public domain W3C validator