Theorem cdleme22gb 40399

Description: Utility lemma for Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 5-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme18d.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme18d.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme18d.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme18d.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme18d.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme18d.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
cdleme18d.f	⊢ 𝐹 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme18d.g	⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
cdleme22.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdleme22gb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐺 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdleme22gb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme18d.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
2		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39469	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp2l 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
6		cdleme22.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		cdleme18d.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		cdleme18d.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	hlatjcl 39472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
10	2, 4, 5, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
11		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		simp3r 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13		cdleme18d.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
14		cdleme18d.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
15		cdleme18d.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
16		cdleme18d.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
17		cdleme18d.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = ((𝑆 ∨ 𝑈) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)))
18	13, 7, 14, 8, 15, 16, 17, 6	cdleme1b 40331	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
19	11, 4, 5, 12, 18	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐹 ∈ 𝐵)
20		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
21	6, 7, 8	hlatjcl 39472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
22	2, 20, 12, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
23		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐻)
24	6, 15	lhpbase 40103	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
26	6, 14	latmcl 18352	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
27	3, 22, 25, 26	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
28	6, 7	latjcl 18351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
29	3, 19, 27, 28	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵)
30	6, 14	latmcl 18352	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
31	3, 10, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊))) ∈ 𝐵)
32	1, 31	eqeltrid 2835	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐺 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Basecbs 17126  lecple 17174  joincjn 18223  meetcmee 18224  Latclat 18343  Atomscatm 39368  HLchlt 39455  LHypclh 40089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-lat 18344  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-lhyp 40093

This theorem is referenced by:  cdleme25a  40458  cdleme25dN  40461