Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme24.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdleme24.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdleme24.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdleme24.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdleme24.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdleme24.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdleme24.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
8 | | cdleme24.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
9 | | cdleme24.n |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ ((π
β¨ π ) β§ π))) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | cdleme25c 38847 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π’ = π)) |
11 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
12 | 11 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β πΎ β HL) |
13 | | simp11r 1286 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
14 | 13 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π») |
15 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
16 | 15 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π΄) |
17 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
18 | 17 | adantr 482 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π΄) |
19 | | simpl2l 1227 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π
β π΄) |
20 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π΄) |
21 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 | cdleme22gb 38786 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
22 | 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21 | syl222anc 1387 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β§ π β π΄) β π β π΅) |
23 | 22 | ex 414 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β π β π΅)) |
24 | 23 | a1dd 50 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π΅))) |
25 | 24 | ralrimiv 3143 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π΅)) |
26 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
27 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
28 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π) |
29 | 2, 3, 5, 6 | cdlemb2 38533 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
30 | 11, 13, 26, 27, 28, 29 | syl221anc 1382 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) |
31 | | reusv2 5363 |
. . 3
β’
((βπ β
π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π΅) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π’ = π) β β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π’ = π))) |
32 | 25, 30, 31 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β (β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π’ = π) β β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π’ = π))) |
33 | 10, 32 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π β§ π
β€ (π β¨ π))) β β!π’ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π’ = π)) |