Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme25dN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme25dN 38750
Description: Transform cdleme25c 38749. (Contributed by NM, 19-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme24.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme24.l = (le‘𝐾)
cdleme24.j = (join‘𝐾)
cdleme24.m = (meet‘𝐾)
cdleme24.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme24.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme24.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme24.f 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme24.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
Assertion
Ref Expression
cdleme25dN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑢 = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝐴   𝐵,𝑠,𝑢   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝑢   𝐾,𝑠   ,𝑠,𝑢   ,𝑠,𝑢   𝑃,𝑠,𝑢   𝑄,𝑠,𝑢   𝑅,𝑠,𝑢   𝑊,𝑠,𝑢   𝑢,𝑁   𝑈,𝑠,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑢,𝑠)   𝐻(𝑢)   𝐾(𝑢)   𝑁(𝑠)

Proof of Theorem cdleme25dN
StepHypRef Expression
1 cdleme24.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 cdleme24.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 cdleme24.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 cdleme24.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 cdleme24.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdleme24.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdleme24.u . . 3 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
8 cdleme24.f . . 3 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
9 cdleme24.n . . 3 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝐹 ((𝑅 𝑠) 𝑊)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme25c 38749 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
11 simp11l 1285 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
1211adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp11r 1286 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
1413adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑊𝐻)
15 simp12l 1287 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
1615adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑃𝐴)
17 simp13l 1289 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
1817adantr 482 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑄𝐴)
19 simpl2l 1227 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑅𝐴)
20 simpr 486 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
212, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1cdleme22gb 38688 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑠𝐴)) → 𝑁𝐵)
2212, 14, 16, 18, 19, 20, 21syl222anc 1387 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑁𝐵)
2322ex 414 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑠𝐴𝑁𝐵))
2423a1dd 50 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑠𝐴 → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑁𝐵)))
2524ralrimiv 3141 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑁𝐵))
26 simp12 1205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
27 simp13 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
28 simp3l 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝑄)
292, 3, 5, 6cdlemb2 38435 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)))
3011, 13, 26, 27, 28, 29syl221anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)))
31 reusv2 5357 . . 3 ((∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑁𝐵) ∧ ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄))) → (∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑢 = 𝑁) ↔ ∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3225, 30, 31syl2anc 585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → (∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑢 = 𝑁) ↔ ∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁)))
3310, 32mpbird 257 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑅 (𝑃 𝑄))) → ∃!𝑢𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ ¬ 𝑠 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑢 = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wral 3063  wrex 3072  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5104  cfv 6492  (class class class)co 7350  Basecbs 17019  lecple 17076  joincjn 18136  meetcmee 18137  Atomscatm 37656  HLchlt 37743  LHypclh 38378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-proset 18120  df-poset 18138  df-plt 18155  df-lub 18171  df-glb 18172  df-join 18173  df-meet 18174  df-p0 18250  df-p1 18251  df-lat 18257  df-clat 18324  df-oposet 37569  df-ol 37571  df-oml 37572  df-covers 37659  df-ats 37660  df-atl 37691  df-cvlat 37715  df-hlat 37744  df-llines 37892  df-lplanes 37893  df-lvols 37894  df-lines 37895  df-psubsp 37897  df-pmap 37898  df-padd 38190  df-lhyp 38382
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator