Theorem climcn1lem 15649

Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climcn1lem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcn1lem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcn1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15545	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcn1lem.7	. . . 4 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 7117	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
9		climcn1lem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climcn1lem.8	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
11	5, 10	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
12		climcn1lem.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		climcn1lem.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
14	1, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13	climcn1 15638	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   < clt 11324   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  abscabs 15283   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-clim 15534

This theorem is referenced by:  climabs  15650  climcj  15651  climre  15652  climim  15653  sinccvglem  35640