MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcn1lem 15554
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1lem.2 (𝜑𝐹𝐴)
climcn1lem.4 (𝜑𝐺𝑊)
climcn1lem.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climcn1lem.5 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climcn1lem.2 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 15450 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
76ffvelcdmi 7085 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
87adantl 481 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻𝑧) ∈ ℂ)
9 climcn1lem.4 . 2 (𝜑𝐺𝑊)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
115, 10sylan 579 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻𝑧) − (𝐻𝐴))) < 𝑥))
12 climcn1lem.6 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 climcn1lem.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 15543 1 (𝜑𝐺 ⇝ (𝐻𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114   < clt 11255  cmin 11451  cz 12565  cuz 12829  +crp 12981  abscabs 15188  cli 15435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-neg 11454  df-z 12566  df-uz 12830  df-clim 15439
This theorem is referenced by:  climabs  15555  climcj  15556  climre  15557  climim  15558  sinccvglem  35122
  Copyright terms: Public domain W3C validator