MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcn1lem 15553
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climcn1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
climcn1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climcn1lem.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
climcn1lem.7 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
climcn1lem.9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑦   π‘˜,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑍(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climcn1lem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climcn1lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4 climcl 15449 . . 3 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
76ffvelcdmi 7079 . . 3 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
87adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
9 climcn1lem.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
115, 10sylan 579 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
12 climcn1lem.6 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
13 climcn1lem.9 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 15542 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  abscabs 15187   ⇝ cli 15434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-clim 15438
This theorem is referenced by:  climabs  15554  climcj  15555  climre  15556  climim  15557  sinccvglem  35185
  Copyright terms: Public domain W3C validator