Theorem climcn1lem 15770

Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climcn1lem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climcn1lem.7	⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
climcn1lem.8	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1lem.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1lem	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝑘,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦   𝑘,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑦, 𝑧)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑍(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcn1lem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcn1lem.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15666	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcn1lem.7	. . . 4 ⊢ 𝐻:ℂ⟶ℂ
7	6	ffvelcdmi 7083	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐻‘𝑧) ∈ ℂ)
9		climcn1lem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
10		climcn1lem.8	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
11	5, 10	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐻‘𝑧) − (𝐻‘𝐴))) < 𝑥))
12		climcn1lem.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13		climcn1lem.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹‘𝑘)))
14	1, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13	climcn1 15759	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (𝐻‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   < clt 11343   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-clim 15655

This theorem is used by:  climabs  15771  climcj  15772  climre  15773  climim  15774  sinccvglem  36437