MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcn1lem 15491
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climcn1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
climcn1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climcn1lem.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
climcn1lem.7 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
climcn1lem.9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑦   π‘˜,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑍(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climcn1lem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climcn1lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4 climcl 15387 . . 3 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
76ffvelcdmi 7035 . . 3 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
87adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
9 climcn1lem.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
115, 10sylan 581 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
12 climcn1lem.6 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
13 climcn1lem.9 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 15480 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  β„+crp 12920  abscabs 15125   ⇝ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  climabs  15492  climcj  15493  climre  15494  climim  15495  sinccvglem  34317
  Copyright terms: Public domain W3C validator