MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcn1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcn1lem 15579
Description: The limit of a continuous function, theorem form. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climcn1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
climcn1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climcn1lem.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
climcn1lem.7 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
climcn1lem.8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
climcn1lem.9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climcn1lem (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝑦,𝑧,𝐴   π‘˜,𝐹,𝑦,𝑧   π‘˜,𝐺,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑍,𝑦   π‘˜,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,π‘˜)   𝑍(π‘₯,𝑧)

Proof of Theorem climcn1lem
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climcn1lem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 climcn1lem.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
4 climcl 15475 . . 3 (𝐹 ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
6 climcn1lem.7 . . . 4 𝐻:β„‚βŸΆβ„‚
76ffvelcdmi 7088 . . 3 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
87adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ β„‚)
9 climcn1lem.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
10 climcn1lem.8 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
115, 10sylan 578 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘§) βˆ’ (π»β€˜π΄))) < π‘₯))
12 climcn1lem.6 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
13 climcn1lem.9 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π»β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
141, 2, 5, 8, 3, 9, 11, 12, 13climcn1 15568 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (π»β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„+crp 13006  abscabs 15213   ⇝ cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-neg 11477  df-z 12589  df-uz 12853  df-clim 15464
This theorem is referenced by:  climabs  15580  climcj  15581  climre  15582  climim  15583  sinccvglem  35333
  Copyright terms: Public domain W3C validator