Theorem climre 15557

Description: Limit of the real part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1lem.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climcn1lem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1lem.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climre.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climre	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (ℜ‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climre

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1lem.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcn1lem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
3		climcn1lem.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
4		climcn1lem.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		climcn1lem.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
6		ref 15063	. . 3 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
7		ax-resscn 11084	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
8		fss 6673	. . 3 ⊢ ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
9	6, 7, 8	mp2an 693	. 2 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℂ
10		recn2 15552	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) < 𝑥))
11		climre.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
12	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11	climcn1lem 15554	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ (ℜ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5074  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  ℂcc 11025  ℝcr 11026  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ℜcre 15048   ⇝ cli 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439

This theorem is referenced by:  mbflim  25623