Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinccvglem 32910
Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
sinccvg.2 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
sinccvg.3 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
sinccvg.4 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
sinccvg.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
sinccvg.6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 sinccvg.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12080 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 sinccvg.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
5 sinccvg.4 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
65funmpt2 6389 . . . . 5 Fun 𝐻
7 sinccvg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
8 nnex 11638 . . . . . 6 ℕ ∈ V
9 fex 6983 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
107, 8, 9sylancl 588 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 cofunexg 7644 . . . . 5 ((Fun 𝐻𝐹 ∈ V) → (𝐻𝐹) ∈ V)
126, 10, 11sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ V)
137adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
14 eluznn 12312 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
152, 14sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelrnd 6847 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}))
17 eldifsn 4713 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1816, 17sylib 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1918simpld 497 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2019recnd 10663 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10589 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 sqcl 13478 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
23 3cn 11712 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
24 3ne0 11737 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
25 divcl 11298 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2623, 24, 25mp3an23 1449 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2722, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
28 subcl 10879 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
2921, 27, 28sylancr 589 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
305, 29fmpti 6871 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
31 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3231cnfldtopon 23385 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
34 1cnd 10630 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3533, 33, 34cnmptc 22264 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3631sqcn 23476 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3831divccn 23475 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3923, 24, 38mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
41 oveq1 7157 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥↑2) → (𝑦 / 3) = ((𝑥↑2) / 3))
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 22265 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4331subcn 23468 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 22268 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4645mptru 1540 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4731cncfcn1 23512 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4846, 5, 473eltr4i 2926 . . . . 5 𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
49 cncfi 23496 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
5048, 49mp3an1 1444 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
51 fvco3 6755 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
527, 51sylan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
5315, 52syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 14953 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ (𝐻‘0))
55 0cn 10627 . . . 4 0 ∈ ℂ
56 sq0i 13550 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
5756oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = (0 / 3))
5823, 24div0i 11368 . . . . . . . 8 (0 / 3) = 0
5957, 58syl6eq 2872 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = 0)
6059oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − 0))
61 1m0e1 11752 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
6260, 61syl6eq 2872 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = 1)
63 1ex 10631 . . . . 5 1 ∈ V
6462, 5, 63fvmpt 6763 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝐻‘0) = 1)
6555, 64ax-mp 5 . . 3 (𝐻‘0) = 1
6654, 65breqtrdi 5100 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ 1)
67 sinccvg.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
6867funmpt2 6389 . . 3 Fun 𝐺
69 cofunexg 7644 . . 3 ((Fun 𝐺𝐹 ∈ V) → (𝐺𝐹) ∈ V)
7068, 10, 69sylancr 589 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ V)
71 oveq1 7157 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
7271oveq1d 7165 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑥↑2) / 3) = (((𝐹𝑘)↑2) / 3))
7372oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
74 ovex 7183 . . . . . 6 (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ V
7573, 5, 74fvmpt 6763 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7620, 75syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7753, 76eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
78 1re 10635 . . . 4 1 ∈ ℝ
7919resqcld 13605 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
80 3nn 11710 . . . . 5 3 ∈ ℕ
81 nndivre 11672 . . . . 5 ((((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
8279, 80, 81sylancl 588 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
83 resubcl 10944 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8478, 82, 83sylancr 589 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8577, 84eqeltrd 2913 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
86 fvco3 6755 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
877, 86sylan 582 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
8815, 87syldan 593 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
89 fveq2 6665 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝐹𝑘)))
90 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
9189, 90oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((sin‘𝑥) / 𝑥) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
92 ovex 7183 . . . . . 6 ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ V
9391, 67, 92fvmpt 6763 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9416, 93syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9588, 94eqtrd 2856 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9619resincld 15490 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9718simprd 498 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
9896, 19, 97redivcld 11462 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9995, 98eqeltrd 2913 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
100 1cnd 10630 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
10182recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℂ)
10220abscld 14790 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
103102recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
104100, 101, 103subdird 11091 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))))
105103mulid2d 10653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
106 df-3 11695 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
107106oveq2i 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1))
108 2nn0 11908 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
109 expp1 13430 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
110103, 108, 109sylancl 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
111 absresq 14656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
113112oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
114110, 113eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
115107, 114syl5eq 2868 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
116115oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3))
11779recnd 10663 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ∈ ℂ)
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ≠ 0)
120117, 103, 118, 119div23d 11447 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))))
121116, 120eqtr2d 2857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3))
122105, 121oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
123104, 122eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
12420, 97absrpcld 14802 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
125124rpgt0d 12428 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
127 ltle 10723 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
128102, 78, 127sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)
130 0xr 10682 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
131 elioc2 12793 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)))
132130, 78, 131mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1339 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1))
134 sin01bnd 15532 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
136135simpld 497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
137123, 136eqbrtrd 5081 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
138102resincld 15490 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
13984, 138, 124ltmuldivd 12472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
140137, 139mpbid 234 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
141 fveq2 6665 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘(𝐹𝑘)))
142 id 22 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
143141, 142oveq12d 7168 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
144143a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
145 sinneg 15493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
147146oveq1d 7165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
14896recnd 10663 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
149148, 20, 97div2negd 11425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
150147, 149eqtrd 2856 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
151 fveq2 6665 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘-(𝐹𝑘)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
153151, 152oveq12d 7168 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
154153eqeq1d 2823 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ↔ ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
155150, 154syl5ibrcom 249 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
15619absord 14769 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) ∨ (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘)))
157144, 155, 156mpjaod 856 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
158140, 157breqtrd 5085 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
15984, 98, 158ltled 10782 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ≤ ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
160159, 77, 953brtr4d 5091 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ≤ ((𝐺𝐹)‘𝑘))
16178a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
162135simprd 498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘)))
163103mulid1d 10652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑘)))
164162, 163breqtrrd 5087 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1))
165138, 161, 124ltdivmuld 12476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1 ↔ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1)))
166164, 165mpbird 259 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1)
167157, 166eqbrtrrd 5083 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) < 1)
16898, 161, 167ltled 10782 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ≤ 1)
16995, 168eqbrtrd 5081 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ≤ 1)
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 14991 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3495  cdif 3933  {csn 4561   class class class wbr 5059  cmpt 5139  ccom 5554  Fun wfun 6344  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  3c3 11687  0cn0 11891  cuz 12237  +crp 12383  (,]cioc 12733  cexp 13423  abscabs 14587  cli 14835  sincsin 15411  TopOpenctopn 16689  fldccnfld 20539  TopOnctopon 21512   Cn ccn 21826   ×t ctx 22162  cnccncf 23478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480
This theorem is referenced by:  sinccvg  32911
  Copyright terms: Public domain W3C validator