Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinccvglem 35677
Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
sinccvg.2 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
sinccvg.3 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
sinccvg.4 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
sinccvg.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
sinccvg.6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 sinccvg.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 sinccvg.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
5 sinccvg.4 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
65funmpt2 6605 . . . . 5 Fun 𝐻
7 sinccvg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
8 nnex 12272 . . . . . 6 ℕ ∈ V
9 fex 7246 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
107, 8, 9sylancl 586 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 cofunexg 7973 . . . . 5 ((Fun 𝐻𝐹 ∈ V) → (𝐻𝐹) ∈ V)
126, 10, 11sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ V)
137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
14 eluznn 12960 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
152, 14sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}))
17 eldifsn 4786 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1816, 17sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1918simpld 494 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2019recnd 11289 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 11213 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 sqcl 14158 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
23 3cn 12347 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
24 3ne0 12372 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
25 divcl 11928 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2623, 24, 25mp3an23 1455 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2722, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
28 subcl 11507 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
2921, 27, 28sylancr 587 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
305, 29fmpti 7132 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
31 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3231cnfldtopon 24803 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
34 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3533, 33, 34cnmptc 23670 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3631sqcn 24900 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3831divccn 24897 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3923, 24, 38mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
41 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥↑2) → (𝑦 / 3) = ((𝑥↑2) / 3))
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 23671 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4331subcn 24888 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 23674 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4645mptru 1547 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4731cncfcn1 24937 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4846, 5, 473eltr4i 2854 . . . . 5 𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
49 cncfi 24920 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
5048, 49mp3an1 1450 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
51 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
527, 51sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
5315, 52syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 15639 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ (𝐻‘0))
55 0cn 11253 . . . 4 0 ∈ ℂ
56 sq0i 14232 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
5756oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = (0 / 3))
5823, 24div0i 12001 . . . . . . . 8 (0 / 3) = 0
5957, 58eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = 0)
6059oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − 0))
61 1m0e1 12387 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
6260, 61eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = 1)
63 1ex 11257 . . . . 5 1 ∈ V
6462, 5, 63fvmpt 7016 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝐻‘0) = 1)
6555, 64ax-mp 5 . . 3 (𝐻‘0) = 1
6654, 65breqtrdi 5184 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ 1)
67 sinccvg.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
6867funmpt2 6605 . . 3 Fun 𝐺
69 cofunexg 7973 . . 3 ((Fun 𝐺𝐹 ∈ V) → (𝐺𝐹) ∈ V)
7068, 10, 69sylancr 587 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ V)
71 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
7271oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑥↑2) / 3) = (((𝐹𝑘)↑2) / 3))
7372oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
74 ovex 7464 . . . . . 6 (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ V
7573, 5, 74fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7620, 75syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7753, 76eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
78 1re 11261 . . . 4 1 ∈ ℝ
7919resqcld 14165 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
80 3nn 12345 . . . . 5 3 ∈ ℕ
81 nndivre 12307 . . . . 5 ((((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
8279, 80, 81sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
83 resubcl 11573 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8478, 82, 83sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8577, 84eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
86 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
877, 86sylan 580 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
8815, 87syldan 591 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
89 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝐹𝑘)))
90 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
9189, 90oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((sin‘𝑥) / 𝑥) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
92 ovex 7464 . . . . . 6 ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ V
9391, 67, 92fvmpt 7016 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9416, 93syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9588, 94eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9619resincld 16179 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9718simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
9896, 19, 97redivcld 12095 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9995, 98eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
100 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
10182recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℂ)
10220abscld 15475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
103102recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
104100, 101, 103subdird 11720 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))))
105103mullidd 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
106 df-3 12330 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
107106oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1))
108 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
109 expp1 14109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
110103, 108, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
111 absresq 15341 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
113112oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
114110, 113eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
115107, 114eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3))
11779recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ∈ ℂ)
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ≠ 0)
120117, 103, 118, 119div23d 12080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))))
121116, 120eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3))
122105, 121oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
123104, 122eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
12420, 97absrpcld 15487 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
125124rpgt0d 13080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
127 ltle 11349 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
128102, 78, 127sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)
130 0xr 11308 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
131 elioc2 13450 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)))
132130, 78, 131mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1))
134 sin01bnd 16221 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
136135simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
137123, 136eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
138102resincld 16179 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
13984, 138, 124ltmuldivd 13124 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
140137, 139mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
141 fveq2 6906 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘(𝐹𝑘)))
142 id 22 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
143141, 142oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
144143a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
145 sinneg 16182 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
147146oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
14896recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
149148, 20, 97div2negd 12058 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
150147, 149eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
151 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘-(𝐹𝑘)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
153151, 152oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
154153eqeq1d 2739 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ↔ ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
155150, 154syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
15619absord 15454 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) ∨ (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘)))
157144, 155, 156mpjaod 861 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
158140, 157breqtrd 5169 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
15984, 98, 158ltled 11409 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ≤ ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
160159, 77, 953brtr4d 5175 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ≤ ((𝐺𝐹)‘𝑘))
16178a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
162135simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘)))
163103mulridd 11278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑘)))
164162, 163breqtrrd 5171 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1))
165138, 161, 124ltdivmuld 13128 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1 ↔ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1)))
166164, 165mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1)
167157, 166eqbrtrrd 5167 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) < 1)
16898, 161, 167ltled 11409 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ≤ 1)
16995, 168eqbrtrd 5165 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ≤ 1)
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 15677 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ccom 5689  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  (,]cioc 13388  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  sincsin 16099  TopOpenctopn 17466  fldccnfld 21364  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  sinccvg  35678
  Copyright terms: Public domain W3C validator