Theorem imcn2 14670

Description: The imaginary part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem imcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imf 14191	. . 3 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
2		ax-resscn 10279	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		fss 6267	. . 3 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 684	. 2 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℂ
5		imsub 14213	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝑧 − 𝐴)) = ((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6413	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))))
7		subcl 10569	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
8		absimle 14387	. . . 4 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
10	6, 9	eqbrtrrd 4865	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
11	4, 10	cn1lem 14666	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087  ∃wrex 3088   ⊆ wss 3767   class class class wbr 4841  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  ℝcr 10221   < clt 10361   ≤ cle 10362   − cmin 10554  ℝ⁺crp 12070  ℑcim 14176  abscabs 14312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-rp 12071  df-seq 13052  df-exp 13111  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314

This theorem is referenced by:  climim  14675  rlimim  14680  imcncf  23031