Theorem imcn2 15541

Description: The imaginary part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
imcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem imcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imf 15055	. . 3 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
2		ax-resscn 11162	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		fss 6730	. . 3 ⊢ ((ℑ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℑ:ℂ⟶ℂ)
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℂ
5		imsub 15077	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℑ‘(𝑧 − 𝐴)) = ((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴)))
6	5	fveq2d 6891	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))))
7		subcl 11454	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
8		absimle 15251	. . . 4 ⊢ ((𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘(𝑧 − 𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
10	6, 9	eqbrtrrd 5170	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
11	4, 10	cn1lem 15537	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℑ‘𝑧) − (ℑ‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3946   class class class wbr 5146  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7403  ℂcc 11103  ℝcr 11104   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11439  ℝ⁺crp 12969  ℑcim 15040  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178

This theorem is referenced by:  climim  15546  rlimim  15551  imcncf  24400