MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 15422
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15415 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 5680 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 15417 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 267 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 494 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2113  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3440   class class class wbr 5098  cfv 6492  (class class class)co 7358  cc 11024   < clt 11166  cmin 11364  cz 12488  cuz 12751  +crp 12905  abscabs 15157  cli 15407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752  df-clim 15411
This theorem is referenced by:  rlimclim  15469  climrlim2  15470  climuni  15475  fclim  15476  climeu  15478  climreu  15479  2clim  15495  climcn1lem  15526  climadd  15555  climmul  15556  climsub  15557  climaddc2  15559  climcau  15594  clim2div  15812  ntrivcvgtail  15823  ntrivcvgmullem  15824  mbflim  25625  ulmcau  26360  emcllem6  26967  dchrmusum2  27461  dchrvmasumiflem1  27468  dchrvmasumiflem2  27469  dchrisum0lem1b  27482  dchrmusumlem  27489  iprodefisum  35935  climrec  45849  climexp  45851  climsuse  45854  climneg  45856  climdivf  45858  climleltrp  45920  climuzlem  45987  climxlim2lem  46089  climxlim2  46090  sge0isum  46671
  Copyright terms: Public domain W3C validator