Theorem climcl 15449

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15442	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 5733	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 15444	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 266	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 493	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  Vcvv 3472   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℂcc 11112   < clt 11254   − cmin 11450  ℤcz 12564  ℤ_≥cuz 12828  ℝ⁺crp 12980  abscabs 15187   ⇝ cli 15434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7416  df-neg 11453  df-z 12565  df-uz 12829  df-clim 15438

This theorem is referenced by:  rlimclim  15496  climrlim2  15497  climuni  15502  fclim  15503  climeu  15505  climreu  15506  2clim  15522  climcn1lem  15553  climadd  15582  climmul  15583  climsub  15584  climaddc2  15586  climcau  15623  clim2div  15841  ntrivcvgtail  15852  ntrivcvgmullem  15853  mbflim  25419  ulmcau  26141  emcllem6  26739  dchrmusum2  27231  dchrvmasumiflem1  27238  dchrvmasumiflem2  27239  dchrisum0lem1b  27252  dchrmusumlem  27259  iprodefisum  35013  climrec  44619  climexp  44621  climsuse  44624  climneg  44626  climdivf  44628  climleltrp  44692  climuzlem  44759  climxlim2lem  44861  climxlim2  44862  sge0isum  45443