MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 15443
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15436 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 5733 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 15438 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 267 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 496 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cc 11108   < clt 11248  cmin 11444  cz 12558  cuz 12822  +crp 12974  abscabs 15181  cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  rlimclim  15490  climrlim2  15491  climuni  15496  fclim  15497  climeu  15499  climreu  15500  2clim  15516  climcn1lem  15547  climadd  15576  climmul  15577  climsub  15578  climaddc2  15580  climcau  15617  clim2div  15835  ntrivcvgtail  15846  ntrivcvgmullem  15847  mbflim  25185  ulmcau  25907  emcllem6  26505  dchrmusum2  26997  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  dchrisum0lem1b  27018  dchrmusumlem  27025  iprodefisum  34711  climrec  44319  climexp  44321  climsuse  44324  climneg  44326  climdivf  44328  climleltrp  44392  climuzlem  44459  climxlim2lem  44561  climxlim2  44562  sge0isum  45143
  Copyright terms: Public domain W3C validator