Theorem climcl 15469

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15462	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 5728	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 15464	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066  Vcvv 3470   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℂcc 11130   < clt 11272   − cmin 11468  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12846  ℝ⁺crp 13000  abscabs 15207   ⇝ cli 15454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-neg 11471  df-z 12583  df-uz 12847  df-clim 15458

This theorem is referenced by:  rlimclim  15516  climrlim2  15517  climuni  15522  fclim  15523  climeu  15525  climreu  15526  2clim  15542  climcn1lem  15573  climadd  15602  climmul  15603  climsub  15604  climaddc2  15606  climcau  15643  clim2div  15861  ntrivcvgtail  15872  ntrivcvgmullem  15873  mbflim  25590  ulmcau  26324  emcllem6  26926  dchrmusum2  27420  dchrvmasumiflem1  27427  dchrvmasumiflem2  27428  dchrisum0lem1b  27441  dchrmusumlem  27448  iprodefisum  35329  climrec  44985  climexp  44987  climsuse  44990  climneg  44992  climdivf  44994  climleltrp  45058  climuzlem  45125  climxlim2lem  45227  climxlim2  45228  sge0isum  45809