MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 14638
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 14631 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 5406 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2778 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 14633 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 259 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 490 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2106  wral 3089  wrex 3090  Vcvv 3397   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270   < clt 10411  cmin 10606  cz 11728  cuz 11992  +crp 12137  abscabs 14381  cli 14623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-ov 6925  df-neg 10609  df-z 11729  df-uz 11993  df-clim 14627
This theorem is referenced by:  rlimclim  14685  climrlim2  14686  climuni  14691  fclim  14692  climeu  14694  climreu  14695  2clim  14711  climcn1lem  14741  climadd  14770  climmul  14771  climsub  14772  climaddc2  14774  climcau  14809  clim2div  15024  ntrivcvgtail  15035  ntrivcvgmullem  15036  mbflim  23872  ulmcau  24586  emcllem6  25179  dchrmusum2  25635  dchrvmasumiflem1  25642  dchrvmasumiflem2  25643  dchrisum0lem1b  25656  dchrmusumlem  25663  iprodefisum  32221  climrec  40725  climexp  40727  climsuse  40730  climneg  40732  climdivf  40734  climleltrp  40798  climuzlem  40865  climxlim2lem  40967  climxlim2  40968  sge0isum  41550
  Copyright terms: Public domain W3C validator