Theorem climcl 15574

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15567	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 5719	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 15569	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113   < clt 11258   − cmin 11456  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15309   ⇝ cli 15559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-neg 11459  df-z 12607  df-uz 12879  df-clim 15563

This theorem is used by:  rlimclim  15621  climrlim2  15622  climuni  15627  fclim  15628  climeu  15630  climreu  15631  2clim  15647  climcn1lem  15678  climadd  15707  climmul  15708  climsub  15709  climaddc2  15711  climcau  15746  clim2div  15966  ntrivcvgtail  15977  ntrivcvgmullem  15978  mbflim  25878  ulmcau  26609  emcllem6  27216  dchrmusum2  27709  dchrvmasumiflem1  27716  dchrvmasumiflem2  27717  dchrisum0lem1b  27730  dchrmusumlem  27737  iprodefisum  36270  climrec  46377  climexp  46379  climsuse  46382  climneg  46384  climdivf  46386  climleltrp  46448  climuzlem  46515  climxlim2lem  46617  climxlim2  46618  sge0isum  47199