Theorem climcl 15526

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15519	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 5703	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 15521	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 269	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   < clt 11216   − cmin 11414  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ℝ⁺crp 12993  abscabs 15261   ⇝ cli 15511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-neg 11417  df-z 12569  df-uz 12840  df-clim 15515

This theorem is referenced by:  rlimclim  15573  climrlim2  15574  climuni  15579  fclim  15580  climeu  15582  climreu  15583  2clim  15599  climcn1lem  15630  climadd  15659  climmul  15660  climsub  15661  climaddc2  15663  climcau  15698  clim2div  15919  ntrivcvgtail  15930  ntrivcvgmullem  15931  mbflim  25730  ulmcau  26458  emcllem6  27065  dchrmusum2  27558  dchrvmasumiflem1  27565  dchrvmasumiflem2  27566  dchrisum0lem1b  27579  dchrmusumlem  27586  iprodefisum  36091  climrec  46179  climexp  46181  climsuse  46184  climneg  46186  climdivf  46188  climleltrp  46250  climuzlem  46317  climxlim2lem  46419  climxlim2  46420  sge0isum  47001