Theorem climcl 15406

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
climcl	⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl

Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 15399	. . . . 5 ⊢ Rel ⇝
2	1	brrelex1i 5675	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
3		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
4	2, 3	clim 15401	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
5	4	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
6	5	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   < clt 11149   − cmin 11347  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  abscabs 15141   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  rlimclim  15453  climrlim2  15454  climuni  15459  fclim  15460  climeu  15462  climreu  15463  2clim  15479  climcn1lem  15510  climadd  15539  climmul  15540  climsub  15541  climaddc2  15543  climcau  15578  clim2div  15796  ntrivcvgtail  15807  ntrivcvgmullem  15808  mbflim  25567  ulmcau  26302  emcllem6  26909  dchrmusum2  27403  dchrvmasumiflem1  27410  dchrvmasumiflem2  27411  dchrisum0lem1b  27424  dchrmusumlem  27431  iprodefisum  35714  climrec  45584  climexp  45586  climsuse  45589  climneg  45591  climdivf  45593  climleltrp  45657  climuzlem  45724  climxlim2lem  45826  climxlim2  45827  sge0isum  46408