MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 15536
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15529 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 5740 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 15531 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 267 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 494 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154   < clt 11296  cmin 11493  cz 12615  cuz 12879  +crp 13035  abscabs 15274  cli 15521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-neg 11496  df-z 12616  df-uz 12880  df-clim 15525
This theorem is referenced by:  rlimclim  15583  climrlim2  15584  climuni  15589  fclim  15590  climeu  15592  climreu  15593  2clim  15609  climcn1lem  15640  climadd  15669  climmul  15670  climsub  15671  climaddc2  15673  climcau  15708  clim2div  15926  ntrivcvgtail  15937  ntrivcvgmullem  15938  mbflim  25704  ulmcau  26439  emcllem6  27045  dchrmusum2  27539  dchrvmasumiflem1  27546  dchrvmasumiflem2  27547  dchrisum0lem1b  27560  dchrmusumlem  27567  iprodefisum  35742  climrec  45623  climexp  45625  climsuse  45628  climneg  45630  climdivf  45632  climleltrp  45696  climuzlem  45763  climxlim2lem  45865  climxlim2  45866  sge0isum  46447
  Copyright terms: Public domain W3C validator