MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climcl 15532
Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
climcl (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcl
Dummy variables 𝑥 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 15525 . . . . 5 Rel ⇝
21brrelex1i 5745 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
3 eqidd 2736 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
42, 3clim 15527 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
54ibi 267 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < 𝑥)))
65simpld 494 1 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   < clt 11293  cmin 11490  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  abscabs 15270  cli 15517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-clim 15521
This theorem is referenced by:  rlimclim  15579  climrlim2  15580  climuni  15585  fclim  15586  climeu  15588  climreu  15589  2clim  15605  climcn1lem  15636  climadd  15665  climmul  15666  climsub  15667  climaddc2  15669  climcau  15704  clim2div  15922  ntrivcvgtail  15933  ntrivcvgmullem  15934  mbflim  25717  ulmcau  26453  emcllem6  27059  dchrmusum2  27553  dchrvmasumiflem1  27560  dchrvmasumiflem2  27561  dchrisum0lem1b  27574  dchrmusumlem  27581  iprodefisum  35721  climrec  45559  climexp  45561  climsuse  45564  climneg  45566  climdivf  45568  climleltrp  45632  climuzlem  45699  climxlim2lem  45801  climxlim2  45802  sge0isum  46383
  Copyright terms: Public domain W3C validator