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Theorem bfplem1 36281
Description: Lemma for bfp 36283. The sequence 𝐺, which simply starts from any point in the space and iterates 𝐹, satisfies the property that the distance from 𝐺(𝑛) to 𝐺(𝑛 + 1) decreases by at least 𝐾 after each step. Thus, the total distance from any 𝐺(𝑖) to 𝐺(𝑗) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9 (𝜑𝐴𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 24650 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
5 bfp.10 . . . . 5 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
6 1zzd 12534 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 bfp.9 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
8 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
94, 5, 6, 7, 8algrf 16449 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
108, 7ffvelcdmd 7036 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑋)
11 metcl 23685 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
123, 7, 10, 11syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
13 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1412, 13rerpdivcld 12988 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
15 bfp.5 . . . 4 (𝜑𝐾 < 1)
16 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1))
17 fvoveq1 7380 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(1 + 1)))
1816, 17oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))))
19 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐾𝑗) = (𝐾↑1))
2019oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
2118, 20breq12d 5118 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1))))
2221imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))))
23 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
24 fvoveq1 7380 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2523, 24oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
26 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
2726oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
2825, 27breq12d 5118 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑗) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31 fvoveq1 7380 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)))
3230, 31oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))))
33 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐾𝑗) = (𝐾↑(𝑘 + 1)))
3433oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
3532, 34breq12d 5118 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
3635imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
3712leidd 11721 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ≤ (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
384, 5, 6, 7algr0 16448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘1) = 𝐴)
39 1nn 12164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
404, 5, 6, 7, 8algrp1 16450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4139, 40mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4238fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹𝐴))
4341, 42eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹𝐴))
4438, 43oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
4513rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4645recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4746exp1d 14046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
4847oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾))
4912recnd 11183 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5013rpne0d 12962 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ 0)
5149, 46, 50divcan1d 11932 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5248, 51eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5337, 44, 523brtr4d 5137 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
549ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
55 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
56 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
579, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
5854, 57jca 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋))
59 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6059ralrimivva 3197 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
62 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6362oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)))
64 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))
6564oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)))
6663, 65breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))))
67 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
6867oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
69 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
7069oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
7168, 70breq12d 5118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7266, 71rspc2v 3590 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7358, 61, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
743adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
758adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑋)
7675, 54ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋)
7775, 57ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋)
78 metcl 23685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
7974, 76, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8045adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
81 metcl 23685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8274, 54, 57, 81syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8414adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
8555adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8685nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
8780, 86reexpcld 14068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8884, 87remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
89 letr 11249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9079, 83, 88, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9173, 90mpand 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
92 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
93 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9445, 92, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9584, 94remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ)
9613rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
9796adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐾)
98 lemul1 12007 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
9982, 95, 80, 97, 98syl112anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
10082recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
10146adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
102100, 101mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
10384recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10494recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℂ)
105103, 104, 101mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
106 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
10746, 92, 106syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
108107oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
109105, 108eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
110102, 109breq12d 5118 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
11199, 110bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
1124, 5, 6, 7, 8algrp1 16450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
1134, 5, 6, 7, 8algrp1 16450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
11455, 113sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
115112, 114oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
116115breq1d 5115 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
11791, 111, 1163imtr4d 293 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
118117expcom 414 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
119118a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))) → (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
12022, 29, 36, 29, 53, 119nnind 12171 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
121120impcom 408 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
1223, 9, 14, 13, 15, 121geomcau 36218 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
123 bfp.8 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124123cmetcau 24653 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
1251, 122, 124syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
126 metxmet 23687 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
127123methaus 23876 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1283, 126, 1273syl 18 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
129 lmfun 22732 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
130 funfvbrb 7001 . . 3 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
131128, 129, 1303syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
132125, 131mpbid 231 1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ccom 5637  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  +crp 12915  seqcseq 13906  cexp 13967  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  𝑡clm 22577  Hauscha 22659  Cauccau 24617  CMetccmet 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621
This theorem is referenced by:  bfplem2  36282
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