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Theorem bfplem1 37154
Description: Lemma for bfp 37156. The sequence 𝐺, which simply starts from any point in the space and iterates 𝐹, satisfies the property that the distance from 𝐺(𝑛) to 𝐺(𝑛 + 1) decreases by at least 𝐾 after each step. Thus, the total distance from any 𝐺(𝑖) to 𝐺(𝑗) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bfp.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
bfp.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
bfp.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
bfp.7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bfp.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem1 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 cmetmet 25134 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 nnuz 12872 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5 bfp.10 . . . . 5 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐴}))
6 1zzd 12600 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
7 bfp.9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
8 bfp.6 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
94, 5, 6, 7, 8algrf 16517 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹)
108, 7ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑋)
11 metcl 24158 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
123, 7, 10, 11syl3anc 1370 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
13 bfp.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
1412, 13rerpdivcld 13054 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) ∈ ℝ)
15 bfp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
16 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜1))
17 fvoveq1 7435 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΊβ€˜(1 + 1)))
1816, 17oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) = ((πΊβ€˜1)𝐷(πΊβ€˜(1 + 1))))
19 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 β†’ (𝐾↑𝑗) = (𝐾↑1))
2019oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1)))
2118, 20breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) ↔ ((πΊβ€˜1)𝐷(πΊβ€˜(1 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1))))
2221imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜1)𝐷(πΊβ€˜(1 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1)))))
23 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜π‘˜))
24 fvoveq1 7435 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
2523, 24oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) = ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
26 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝐾↑𝑗) = (πΎβ†‘π‘˜))
2726oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)))
2825, 27breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) ↔ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)))))
30 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘—) = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))
31 fvoveq1 7435 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1)))
3230, 31oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) = ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))))
33 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (𝐾↑𝑗) = (𝐾↑(π‘˜ + 1)))
3433oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))))
3532, 34breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗)) ↔ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
3635imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷(πΊβ€˜(𝑗 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑𝑗))) ↔ (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))))))
3712leidd 11787 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) ≀ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)))
384, 5, 6, 7algr0 16516 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜1) = 𝐴)
39 1nn 12230 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
404, 5, 6, 7, 8algrp1 16518 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 1 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(1 + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
4139, 40mpan2 688 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(1 + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)))
4238fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜1)) = (πΉβ€˜π΄))
4341, 42eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(1 + 1)) = (πΉβ€˜π΄))
4438, 43oveq12d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜1)𝐷(πΊβ€˜(1 + 1))) = (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)))
4513rpred 13023 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
4645recnd 11249 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
4746exp1d 14113 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾↑1) = 𝐾)
4847oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1)) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· 𝐾))
4912recnd 11249 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5013rpne0d 13028 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 β‰  0)
5149, 46, 50divcan1d 11998 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· 𝐾) = (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)))
5248, 51eqtrd 2771 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1)) = (𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)))
5337, 44, 523brtr4d 5180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜1)𝐷(πΊβ€˜(1 + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑1)))
549ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
55 peano2nn 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
56 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
579, 55, 56syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
5854, 57jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋))
59 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
6059ralrimivva 3199 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
62 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
6362oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)))
64 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦))
6564oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) = (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦)))
6663, 65breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘˜) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦))))
67 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
6867oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))))
69 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦) = ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
7069oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦)) = (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))))
7168, 70breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))))
7266, 71rspc2v 3622 . . . . . . . . . . 11 (((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))))
7358, 61, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))))
743adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
758adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
7675, 54ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑋)
7775, 57ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ 𝑋)
78 metcl 24158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ)
7974, 76, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ)
8045adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
81 metcl 24158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
8274, 54, 57, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11251 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ)
8414adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) ∈ ℝ)
8555adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
8685nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•0)
8780, 86reexpcld 14135 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(π‘˜ + 1)) ∈ ℝ)
8884, 87remulcld 11251 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
89 letr 11315 . . . . . . . . . . 11 ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
9079, 83, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ∧ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
9173, 90mpand 692 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
92 nnnn0 12486 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
93 reexpcl 14051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΎβ†‘π‘˜) ∈ ℝ)
9445, 92, 93syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΎβ†‘π‘˜) ∈ ℝ)
9584, 94remulcld 11251 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) ∈ ℝ)
9613rpgt0d 13026 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐾)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 < 𝐾)
98 lemul1 12073 . . . . . . . . . . 11 ((((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) ↔ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) Β· 𝐾) ≀ ((((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) Β· 𝐾)))
9982, 95, 80, 97, 98syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) ↔ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) Β· 𝐾) ≀ ((((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) Β· 𝐾)))
10082recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
10146adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
102100, 101mulcomd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) Β· 𝐾) = (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))))
10384recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) ∈ β„‚)
10494recnd 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΎβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
105103, 104, 101mulassd 11244 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) Β· 𝐾) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· ((πΎβ†‘π‘˜) Β· 𝐾)))
106 expp1 14041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝐾↑(π‘˜ + 1)) = ((πΎβ†‘π‘˜) Β· 𝐾))
10746, 92, 106syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐾↑(π‘˜ + 1)) = ((πΎβ†‘π‘˜) Β· 𝐾))
108107oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· ((πΎβ†‘π‘˜) Β· 𝐾)))
109105, 108eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) Β· 𝐾) = (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))))
110102, 109breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) Β· 𝐾) ≀ ((((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) Β· 𝐾) ↔ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
11199, 110bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) ↔ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
1124, 5, 6, 7, 8algrp1 16518 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
1134, 5, 6, 7, 8algrp1 16518 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ + 1) ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
11455, 113sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))))
115112, 114oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))))
116115breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘˜))𝐷(πΉβ€˜(πΊβ€˜(π‘˜ + 1)))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
11791, 111, 1163imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1)))))
118117expcom 413 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)) β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))))))
119118a2d 29 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜))) β†’ (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜(π‘˜ + 1))𝐷(πΊβ€˜((π‘˜ + 1) + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (𝐾↑(π‘˜ + 1))))))
12022, 29, 36, 29, 53, 119nnind 12237 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜))))
121120impcom 407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷(πΊβ€˜(π‘˜ + 1))) ≀ (((𝐴𝐷(πΉβ€˜π΄)) / 𝐾) Β· (πΎβ†‘π‘˜)))
1223, 9, 14, 13, 15, 121geomcau 37091 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·))
123 bfp.8 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
124123cmetcau 25137 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐺 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
1251, 122, 124syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
126 metxmet 24160 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
127123methaus 24349 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Haus)
1283, 126, 1273syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Haus)
129 lmfun 23205 . . 3 (𝐽 ∈ Haus β†’ Fun (β‡π‘‘β€˜π½))
130 funfvbrb 7052 . . 3 (Fun (β‡π‘‘β€˜π½) β†’ (𝐺 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
131128, 129, 1303syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½) ↔ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
132125, 131mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   Β· cmul 11121   < clt 11255   ≀ cle 11256   / cdiv 11878  β„•cn 12219  β„•0cn0 12479  β„+crp 12981  seqcseq 13973  β†‘cexp 14034  βˆžMetcxmet 21218  Metcmet 21219  MetOpencmopn 21223  β‡π‘‘clm 23050  Hauscha 23132  Cauccau 25101  CMetccmet 25102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-fbas 21230  df-fg 21231  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-ntr 22844  df-nei 22922  df-lm 23053  df-haus 23139  df-fil 23670  df-fm 23762  df-flim 23763  df-flf 23764  df-cfil 25103  df-cau 25104  df-cmet 25105
This theorem is referenced by:  bfplem2  37155
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