Theorem bfplem1 36685

Description: Lemma for bfp 36687. The sequence 𝐺, which simply starts from any point in the space and iterates 𝐹, satisfies the property that the distance from 𝐺(𝑛) to 𝐺(𝑛 + 1) decreases by at least 𝐾 after each step. Thus, the total distance from any 𝐺(𝑖) to 𝐺(𝑗) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ((⇝_𝑡‘𝐽)‘𝐺) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10	⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem1	⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bfplem1

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 24802	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		nnuz 12864	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5		bfp.10	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
6		1zzd 12592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7		bfp.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
8		bfp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
9	4, 5, 6, 7, 8	algrf 16509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
10	8, 7	ffvelcdmd 7087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑋)
11		metcl 23837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		bfp.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
14	12, 13	rerpdivcld 13046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
15		bfp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
16		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘1))
17		fvoveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(1 + 1)))
18	16, 17	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))))
19		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝐾↑𝑗) = (𝐾↑1))
20	19	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
21	18, 20	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) ↔ ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1))))
22	21	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝜑 → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))))
23		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘𝑘))
24		fvoveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
25	23, 24	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
26		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾↑𝑗) = (𝐾↑𝑘))
27	26	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)))
28	25, 27	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) ↔ ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘))))
29	28	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)))))
30		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘𝑗) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31		fvoveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)))
32	30, 31	oveq12d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))))
33		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐾↑𝑗) = (𝐾↑(𝑘 + 1)))
34	33	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
35	32, 34	breq12d 5161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗)) ↔ ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
36	35	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐺‘𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
37	12	leidd 11779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) ≤ (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)))
38	4, 5, 6, 7	algr0 16508	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘1) = 𝐴)
39		1nn 12222	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
40	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 16510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
41	39, 40	mpan2 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
42	38	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹‘𝐴))
43	41, 42	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘𝐴))
44	38, 43	oveq12d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) = (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)))
45	13	rpred 13015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
46	45	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
47	46	exp1d 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
48	47	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · 𝐾))
49	12	recnd 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
50	13	rpne0d 13020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
51	49, 46, 50	divcan1d 11990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · 𝐾) = (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)))
52	48, 51	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)))
53	37, 44, 52	3brtr4d 5180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
54	9	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋)
55		peano2nn 12223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
56		ffvelcdm 7083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
57	9, 55, 56	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
58	54, 57	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋))
59		bfp.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
60	59	ralrimivva 3200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
62		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
63	62	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘𝑦)))
64		oveq1 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑘) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦))
65	64	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑘) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦)))
66	63, 65	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑘) → (((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦))))
67		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
68	67	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
69		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
70	69	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
71	68, 70	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
72	66, 71	rspc2v 3622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
73	58, 61, 72	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
74	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
75	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
76	75, 54	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ 𝑋)
77	75, 57	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋)
78		metcl 23837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
79	74, 76, 77, 78	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
80	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
81		metcl 23837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
82	74, 54, 57, 81	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
83	80, 82	remulcld 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
84	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
85	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
86	85	nnnn0d 12531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
87	80, 86	reexpcld 14127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
88	84, 87	remulcld 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
89		letr 11307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
90	79, 83, 88, 89	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
91	73, 90	mpand 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
92		nnnn0 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
93		reexpcl 14043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾↑𝑘) ∈ ℝ)
94	45, 92, 93	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑘) ∈ ℝ)
95	84, 94	remulcld 11243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) ∈ ℝ)
96	13	rpgt0d 13018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐾)
98		lemul1 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) ↔ (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) · 𝐾)))
99	82, 95, 80, 97, 98	syl112anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) ↔ (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) · 𝐾)))
100	82	recnd 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
101	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
102	100, 101	mulcomd 11234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
103	84	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) ∈ ℂ)
104	94	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑘) ∈ ℂ)
105	103, 104, 101	mulassd 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾↑𝑘) · 𝐾)))
106		expp1 14033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾↑𝑘) · 𝐾))
107	46, 92, 106	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾↑𝑘) · 𝐾))
108	107	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾↑𝑘) · 𝐾)))
109	105, 108	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
110	102, 109	breq12d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) · 𝐾) ↔ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
111	99, 110	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) ↔ (𝐾 · ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
112	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 16510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
113	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 16510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
114	55, 113	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
115	112, 114	oveq12d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
116	115	breq1d 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
117	91, 111, 116	3imtr4d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
118	117	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
119	118	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘))) → (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
120	22, 29, 36, 29, 53, 119	nnind 12229	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘))))
121	120	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹‘𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑𝑘)))
122	3, 9, 14, 13, 15, 121	geomcau 36622	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
123		bfp.8	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124	123	cmetcau 24805	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐺 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
125	1, 122, 124	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
126		metxmet 23839	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
127	123	methaus 24028	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
128	3, 126, 127	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
129		lmfun 22884	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
130		funfvbrb 7052	. . 3 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
131	128, 129, 130	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
132	125, 131	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1^st c1st 7972  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248   / cdiv 11870  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℝ⁺crp 12973  seqcseq 13965  ↑cexp 14026  ∞Metcxmet 20928  Metcmet 20929  MetOpencmopn 20933  ⇝_𝑡clm 22729  Hauscha 22811  Cauccau 24769  CMetccmet 24770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-ntr 22523  df-nei 22601  df-lm 22732  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773

This theorem is referenced by:  bfplem2  36686