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Theorem bfplem1 37809
Description: Lemma for bfp 37811. The sequence 𝐺, which simply starts from any point in the space and iterates 𝐹, satisfies the property that the distance from 𝐺(𝑛) to 𝐺(𝑛 + 1) decreases by at least 𝐾 after each step. Thus, the total distance from any 𝐺(𝑖) to 𝐺(𝑗) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9 (𝜑𝐴𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 25334 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 nnuz 12919 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
5 bfp.10 . . . . 5 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
6 1zzd 12646 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 bfp.9 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
8 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
94, 5, 6, 7, 8algrf 16607 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
108, 7ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑋)
11 metcl 24358 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
123, 7, 10, 11syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
13 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1412, 13rerpdivcld 13106 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
15 bfp.5 . . . 4 (𝜑𝐾 < 1)
16 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1))
17 fvoveq1 7454 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(1 + 1)))
1816, 17oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))))
19 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐾𝑗) = (𝐾↑1))
2019oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
2118, 20breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1))))
2221imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))))
23 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
24 fvoveq1 7454 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2523, 24oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
26 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
2726oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
2825, 27breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
2928imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))))
30 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑗) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
31 fvoveq1 7454 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)))
3230, 31oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))))
33 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐾𝑗) = (𝐾↑(𝑘 + 1)))
3433oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
3532, 34breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
3635imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
3712leidd 11827 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ≤ (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
384, 5, 6, 7algr0 16606 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘1) = 𝐴)
39 1nn 12275 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
404, 5, 6, 7, 8algrp1 16608 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4139, 40mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4238fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹𝐴))
4341, 42eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹𝐴))
4438, 43oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
4513rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4645recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4746exp1d 14178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
4847oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾))
4912recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5013rpne0d 13080 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ 0)
5149, 46, 50divcan1d 12042 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5248, 51eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5337, 44, 523brtr4d 5180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
549ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
55 peano2nn 12276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
56 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
579, 55, 56syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
5854, 57jca 511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋))
59 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6059ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6362oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)))
64 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))
6564oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)))
6663, 65breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))))
67 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
69 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
7069oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
7168, 70breq12d 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7266, 71rspc2v 3633 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7358, 61, 72sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
743adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
758adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑋)
7675, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋)
7775, 57ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋)
78 metcl 24358 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
7974, 76, 77, 78syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8045adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
81 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8274, 54, 57, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8380, 82remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8414adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
8555adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8685nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
8780, 86reexpcld 14200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8884, 87remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
89 letr 11353 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9079, 83, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9173, 90mpand 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
92 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
93 reexpcl 14116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9445, 92, 93syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9584, 94remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ)
9613rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐾)
98 lemul1 12117 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
9982, 95, 80, 97, 98syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
10082recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
10146adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
102100, 101mulcomd 11280 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
10384recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10494recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℂ)
105103, 104, 101mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
106 expp1 14106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
10746, 92, 106syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
108107oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
109105, 108eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
110102, 109breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
11199, 110bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
1124, 5, 6, 7, 8algrp1 16608 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
1134, 5, 6, 7, 8algrp1 16608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
11455, 113sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
115112, 114oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
116115breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
11791, 111, 1163imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
118117expcom 413 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
119118a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))) → (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
12022, 29, 36, 29, 53, 119nnind 12282 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
121120impcom 407 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
1223, 9, 14, 13, 15, 121geomcau 37746 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
123 bfp.8 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124123cmetcau 25337 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
1251, 122, 124syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
126 metxmet 24360 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
127123methaus 24549 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1283, 126, 1273syl 18 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
129 lmfun 23405 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
130 funfvbrb 7071 . . 3 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
131128, 129, 1303syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
132125, 131mpbid 232 1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  ccom 5693  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  +crp 13032  seqcseq 14039  cexp 14099  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  𝑡clm 23250  Hauscha 23332  Cauccau 25301  CMetccmet 25302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-lm 23253  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305
This theorem is referenced by:  bfplem2  37810
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