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Theorem bcth3 25203
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem bcth3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25158 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 24184 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopntop 24290 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
65ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
8 elssuni 4932 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
109adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2724 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211clsval2 22898 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
136, 10, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
144mopnuni 24291 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1514ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15eqeq12d 2740 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽))
17 difeq2 4109 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽))
18 difid 4363 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2780 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ…)
20 difss 4124 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽
2111ntropn 22897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
226, 20, 21sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
23 elssuni 4932 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
25 dfss4 4251 . . . . . . . . . 10 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
28 elfvdm 6919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928difexd 5320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
31 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘˜))
3231difeq2d 4115 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
3432, 33fvmptg 6987 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3527, 30, 34syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3615difeq1d 4114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3735, 36eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3837fveq2d 6886 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
3926, 38eqtr4d 2767 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)))
4039eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4119, 40imbitrid 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4216, 41sylbid 239 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4342ralimdva 3159 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
443, 43sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
45 ffvelcdm 7074 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽)
4614difeq1d 4114 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4811opncld 22881 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
495, 48sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5047, 49eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5145, 50sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•)) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5251anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5352ralrimiva 3138 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
543, 53sylan 579 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5533fmpt 7102 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
5654, 55sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
57 nne 2936 . . . . . . 7 (Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
5857ralbii 3085 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
59 ralnex 3064 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
6058, 59bitr3i 277 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
614bcth 25201 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
62613expia 1118 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
6362necon1bd 2950 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6460, 63biimtrid 241 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6556, 64syldan 590 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
66 difeq2 4109 . . . . 5 (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…))
6728difexd 5320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6968ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
7033fnmpt 6681 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„•)
71 fniunfv 7239 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7335iuneq2dv 5012 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
7432cbviunv 5034 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))
7573, 74eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
7672, 75eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
77 iundif2 5068 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯))
7876, 77eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)))
79 ffn 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:β„•βŸΆπ½ β†’ 𝑀 Fn β„•)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑀 Fn β„•)
81 fniinfv 6960 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn β„• β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8382difeq2d 4115 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8584difeq1d 4114 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8678, 83, 853eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8786fveq2d 6886 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀)))
8887difeq2d 4115 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
895adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
90 1nn 12222 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
91 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
92 fnfvelrn 7073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
9380, 92sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
94 intss1 4958 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀 β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9695, 10sstrd 3985 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9796expcom 413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9891, 97vtoclga 3558 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9990, 98ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
10011clsval2 22898 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10189, 99, 100syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10288, 101eqtr4d 2767 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀))
103 dif0 4365 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = βˆͺ 𝐽
104103, 84eqtr4id 2783 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = 𝑋)
105102, 104eqeq12d 2740 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10666, 105imbitrid 243 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1073, 106sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10844, 65, 1073syld 60 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1091083impia 1114 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  βˆͺ cuni 4900  βˆ© cint 4941  βˆͺ ciun 4988  βˆ© ciin 4989   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  ran crn 5668   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  1c1 11108  β„•cn 12211  βˆžMetcxmet 21219  Metcmet 21220  MetOpencmopn 21224  Topctop 22739  Clsdccld 22864  intcnt 22865  clsccl 22866  CMetccmet 25126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-dc 10438  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ico 13331  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lm 23077  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-cfil 25127  df-cau 25128  df-cmet 25129
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