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Theorem bcth3 25272
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem bcth3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25227 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 24253 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopntop 24359 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
65ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
8 elssuni 4940 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
109adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2728 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211clsval2 22967 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
136, 10, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
144mopnuni 24360 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15eqeq12d 2744 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽))
17 difeq2 4114 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽))
18 difid 4371 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2784 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ…)
20 difss 4130 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽
2111ntropn 22966 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
226, 20, 21sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
23 elssuni 4940 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
25 dfss4 4259 . . . . . . . . . 10 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
28 elfvdm 6934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928difexd 5331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
31 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘˜))
3231difeq2d 4120 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
33 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
3432, 33fvmptg 7003 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3527, 30, 34syl2anr 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3615difeq1d 4119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3735, 36eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3837fveq2d 6901 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
3926, 38eqtr4d 2771 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)))
4039eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4119, 40imbitrid 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4216, 41sylbid 239 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4342ralimdva 3164 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
443, 43sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
45 ffvelcdm 7091 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽)
4614difeq1d 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4811opncld 22950 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
495, 48sylan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5047, 49eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5145, 50sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•)) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5251anassrs 467 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5352ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
543, 53sylan 579 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5533fmpt 7120 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
5654, 55sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
57 nne 2941 . . . . . . 7 (Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
5857ralbii 3090 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
59 ralnex 3069 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
6058, 59bitr3i 277 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
614bcth 25270 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
62613expia 1119 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
6362necon1bd 2955 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6460, 63biimtrid 241 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6556, 64syldan 590 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
66 difeq2 4114 . . . . 5 (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…))
6728difexd 5331 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6968ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
7033fnmpt 6695 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„•)
71 fniunfv 7257 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7335iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
7432cbviunv 5043 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))
7573, 74eqtr4di 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
7672, 75eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
77 iundif2 5077 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯))
7876, 77eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)))
79 ffn 6722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:β„•βŸΆπ½ β†’ 𝑀 Fn β„•)
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑀 Fn β„•)
81 fniinfv 6976 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn β„• β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8382difeq2d 4120 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8414adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8584difeq1d 4119 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8678, 83, 853eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8786fveq2d 6901 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀)))
8887difeq2d 4120 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
895adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
90 1nn 12254 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
91 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
92 fnfvelrn 7090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
9380, 92sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
94 intss1 4966 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀 β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9695, 10sstrd 3990 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9796expcom 413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9891, 97vtoclga 3563 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9990, 98ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
10011clsval2 22967 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10189, 99, 100syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10288, 101eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀))
103 dif0 4373 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = βˆͺ 𝐽
104103, 84eqtr4id 2787 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = 𝑋)
105102, 104eqeq12d 2744 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10666, 105imbitrid 243 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1073, 106sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10844, 65, 1073syld 60 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1091083impia 1115 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4949  βˆͺ ciun 4996  βˆ© ciin 4997   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  1c1 11140  β„•cn 12243  βˆžMetcxmet 21264  Metcmet 21265  MetOpencmopn 21269  Topctop 22808  Clsdccld 22933  intcnt 22934  clsccl 22935  CMetccmet 25195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-dc 10470  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lm 23146  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198
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