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Theorem bcth3 24839
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋
Proof of Theorem bcth3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 24794 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 23831 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopntop 23937 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
65ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
8 elssuni 4940 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
109adantll 712 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211clsval2 22545 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
136, 10, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
144mopnuni 23938 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1514ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15eqeq12d 2748 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽))
17 difeq2 4115 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽))
18 difid 4369 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ…)
20 difss 4130 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽
2111ntropn 22544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
226, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
23 elssuni 4940 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
25 dfss4 4257 . . . . . . . . . 10 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
28 elfvdm 6925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928difexd 5328 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
31 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘˜))
3231difeq2d 4121 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
3432, 33fvmptg 6993 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3527, 30, 34syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3615difeq1d 4120 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3735, 36eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3837fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
3926, 38eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)))
4039eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4119, 40imbitrid 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4216, 41sylbid 239 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4342ralimdva 3167 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
443, 43sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
45 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽)
4614difeq1d 4120 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4746adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4811opncld 22528 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
495, 48sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5047, 49eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5145, 50sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•)) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5251anassrs 468 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5352ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
543, 53sylan 580 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5533fmpt 7106 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
5654, 55sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
57 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
5857ralbii 3093 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
59 ralnex 3072 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
6058, 59bitr3i 276 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
614bcth 24837 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
62613expia 1121 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
6362necon1bd 2958 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6460, 63biimtrid 241 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6556, 64syldan 591 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
66 difeq2 4115 . . . . 5 (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…))
6728difexd 5328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6867ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6968ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
7033fnmpt 6687 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„•)
71 fniunfv 7242 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7335iuneq2dv 5020 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
7432cbviunv 5042 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))
7573, 74eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
7672, 75eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
77 iundif2 5076 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯))
7876, 77eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)))
79 ffn 6714 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:β„•βŸΆπ½ β†’ 𝑀 Fn β„•)
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑀 Fn β„•)
81 fniinfv 6966 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn β„• β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8382difeq2d 4121 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8414adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8584difeq1d 4120 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8678, 83, 853eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8786fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀)))
8887difeq2d 4121 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
895adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
90 1nn 12219 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
91 biidd 261 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
92 fnfvelrn 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
9380, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
94 intss1 4966 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀 β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9695, 10sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9796expcom 414 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9891, 97vtoclga 3565 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9990, 98ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
10011clsval2 22545 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10189, 99, 100syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10288, 101eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀))
103 dif0 4371 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = βˆͺ 𝐽
104103, 84eqtr4id 2791 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = 𝑋)
105102, 104eqeq12d 2748 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10666, 105imbitrid 243 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1073, 106sylan 580 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10844, 65, 1073syld 60 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1091083impia 1117 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  βˆͺ ciun 4996  βˆ© ciin 4997   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  1c1 11107  β„•cn 12208  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386  Clsdccld 22511  intcnt 22512  clsccl 22513  CMetccmet 24762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-dc 10437  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lm 22724  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-cfil 24763  df-cau 24764  df-cmet 24765
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