MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcth3 24698
Description: Baire's Category Theorem, version 3: The intersection of countably many dense open sets is dense. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem bcth3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 24653 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 23690 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 bcth.2 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopntop 23796 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
65ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ Top)
7 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽)
8 elssuni 4899 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ 𝐽 β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
109adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽)
11 eqid 2737 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1211clsval2 22404 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
136, 10, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))))
144mopnuni 23797 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1514ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1613, 15eqeq12d 2753 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽))
17 difeq2 4077 . . . . . . . 8 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽))
18 difid 4331 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆͺ 𝐽) = βˆ…
1917, 18eqtrdi 2793 . . . . . . 7 ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ…)
20 difss 4092 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽
2111ntropn 22403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
226, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽)
23 elssuni 4899 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) ∈ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽)
25 dfss4 4219 . . . . . . . . . 10 (((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))) βŠ† βˆͺ 𝐽 ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
2624, 25sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
28 elfvdm 6880 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2928difexd 5287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V)
31 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (π‘€β€˜π‘₯) = (π‘€β€˜π‘˜))
3231difeq2d 4083 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
33 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
3432, 33fvmptg 6947 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3527, 30, 34syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3615difeq1d 4082 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3735, 36eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))
3926, 38eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)))
4039eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))))) = βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4119, 40imbitrid 243 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))) = βˆͺ 𝐽 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4216, 41sylbid 239 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
4342ralimdva 3165 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
443, 43sylan 581 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…))
45 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . 9 ((𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽)
4614difeq1d 4082 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
4811opncld 22387 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
495, 48sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5047, 49eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (π‘€β€˜π‘₯) ∈ 𝐽) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5145, 50sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ π‘₯ ∈ β„•)) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5251anassrs 469 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5352ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
543, 53sylan 581 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
5533fmpt 7059 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
5654, 55sylib 217 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
57 nne 2948 . . . . . . 7 (Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
5857ralbii 3097 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ…)
59 ralnex 3076 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• Β¬ ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
6058, 59bitr3i 277 . . . . 5 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
614bcth 24696 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
62613expia 1122 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…))
6362necon1bd 2962 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) β‰  βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6460, 63biimtrid 241 . . . 4 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))):β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
6556, 64syldan 592 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜)) = βˆ… β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ…))
66 difeq2 4077 . . . . 5 (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…))
6728difexd 5287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
6968ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V)
7033fnmpt 6642 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„•)
71 fniunfv 7195 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) Fn β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7269, 70, 713syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))
7335iuneq2dv 4979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜)))
7432cbviunv 5001 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘˜))
7573, 74eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• ((π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
7672, 75eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))
77 iundif2 5035 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ π‘₯ ∈ β„• (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯))
7876, 77eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)))
79 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀:β„•βŸΆπ½ β†’ 𝑀 Fn β„•)
8079adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑀 Fn β„•)
81 fniinfv 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 Fn β„• β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯) = ∩ ran 𝑀)
8382difeq2d 4083 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ π‘₯ ∈ β„• (π‘€β€˜π‘₯)) = (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8414adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8584difeq1d 4082 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (𝑋 βˆ– ∩ ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8678, 83, 853eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))
8786fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀)))
8887difeq2d 4083 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
895adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ 𝐽 ∈ Top)
90 1nn 12165 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
91 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) ↔ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
92 fnfvelrn 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
9380, 92sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀)
94 intss1 4925 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘€β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑀 β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† (π‘€β€˜π‘˜))
9695, 10sstrd 3955 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9796expcom 415 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9891, 97vtoclga 3535 . . . . . . . . 9 (1 ∈ β„• β†’ ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9990, 98ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽)
10011clsval2 22404 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∩ ran 𝑀 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10189, 99, 100syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜(βˆͺ 𝐽 βˆ– ∩ ran 𝑀))))
10288, 101eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀))
103 dif0 4333 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = βˆͺ 𝐽
104103, 84eqtr4id 2796 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) = 𝑋)
105102, 104eqeq12d 2753 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ ((βˆͺ 𝐽 βˆ– ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯))))) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– βˆ…) ↔ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10666, 105imbitrid 243 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1073, 106sylan 581 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran (π‘₯ ∈ β„• ↦ (𝑋 βˆ– (π‘€β€˜π‘₯)))) = βˆ… β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
10844, 65, 1073syld 60 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋 β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋))
1091083impia 1118 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆπ½ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) = 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜βˆ© ran 𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866  βˆ© cint 4908  βˆͺ ciun 4955  βˆ© ciin 4956   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5634  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  1c1 11053  β„•cn 12154  βˆžMetcxmet 20784  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789  Topctop 22245  Clsdccld 22370  intcnt 22371  clsccl 22372  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-dc 10383  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lm 22583  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-cfil 24622  df-cau 24623  df-cmet 24624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator