MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcau 25210
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetcau ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25207 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 24233 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 caun0 25202 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
53, 4sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 n0 4342 . . 3 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
75, 6sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 cmetcau.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
9 simpll 766 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
10 simpr 484 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simplr 768 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
12 eqid 2728 . . 3 (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯)) = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯))
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 25209 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
147, 13exlimddv 1931 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  βˆ…c0 4318  ifcif 4524   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  β„•cn 12236  βˆžMetcxmet 21257  Metcmet 21258  MetOpencmopn 21262  β‡π‘‘clm 23123  Cauccau 25174  CMetccmet 25175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ico 13356  df-rest 17397  df-topgen 17418  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-top 22789  df-topon 22806  df-bases 22842  df-ntr 22917  df-nei 22995  df-lm 23126  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-cfil 25176  df-cau 25177  df-cmet 25178
This theorem is referenced by:  iscmet3  25214  iscmet2  25215  bcthlem4  25248  minvecolem4a  30680  hlcompl  30718  heiborlem9  37286  bfplem1  37289
  Copyright terms: Public domain W3C validator