MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcau 23872
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
cmetcau ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 23869 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 metxmet 22920 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4 caun0 23864 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
53, 4sylan 582 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
6 n0 4286 . . 3 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑋)
75, 6sylib 220 . 2 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥𝑋)
8 cmetcau.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9 simpll 765 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
10 simpr 487 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
11 simplr 767 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
12 eqid 2820 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑦), 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹𝑦), 𝑥))
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 23871 . 2 (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
147, 13exlimddv 1936 1 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wex 1780  wcel 2114  wne 3006  c0 4269  ifcif 4443  cmpt 5122  dom cdm 5531  cfv 6331  cn 11616  ∞Metcxmet 20506  Metcmet 20507  MetOpencmopn 20511  𝑡clm 21810  Cauccau 23836  CMetccmet 23837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-inf 8885  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ico 12723  df-rest 16675  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-ntr 21604  df-nei 21682  df-lm 21813  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-cfil 23838  df-cau 23839  df-cmet 23840
This theorem is referenced by:  iscmet3  23876  iscmet2  23877  bcthlem4  23910  minvecolem4a  28639  hlcompl  28677  heiborlem9  35133  bfplem1  35136
  Copyright terms: Public domain W3C validator