Theorem cmetcau 25308

Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcau	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Proof of Theorem cmetcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25305	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24331	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		caun0 25300	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
5	3, 4	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
6		n0 4349	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑋)
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑋)
8		cmetcau.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
10		simpr 483	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
11		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
12		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹‘𝑦), 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹‘𝑦), 𝑥))
13	8, 9, 10, 11, 12	cmetcaulem 25307	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
14	7, 13	exlimddv 1931	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∅c0 4325  ifcif 4533   ↦ cmpt 5236  dom cdm 5682  ‘cfv 6554  ℕcn 12264  ∞Metcxmet 21328  Metcmet 21329  MetOpencmopn 21333  ⇝_𝑡clm 23221  Cauccau 25272  CMetccmet 25273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ico 13384  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-nei 23093  df-lm 23224  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276

This theorem is referenced by:  iscmet3  25312  iscmet2  25313  bcthlem4  25346  minvecolem4a  30810  hlcompl  30848  heiborlem9  37520  bfplem1  37523