MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcau 24676
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetcau ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 24673 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 23710 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 caun0 24668 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
53, 4sylan 581 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 n0 4310 . . 3 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
75, 6sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 cmetcau.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
9 simpll 766 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
10 simpr 486 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simplr 768 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
12 eqid 2733 . . 3 (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯)) = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯))
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 24675 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
147, 13exlimddv 1939 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4286  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  β„•cn 12161  βˆžMetcxmet 20804  Metcmet 20805  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600  Cauccau 24640  CMetccmet 24641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-nei 22472  df-lm 22603  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cfil 24642  df-cau 24643  df-cmet 24644
This theorem is referenced by:  iscmet3  24680  iscmet2  24681  bcthlem4  24714  minvecolem4a  29868  hlcompl  29906  heiborlem9  36328  bfplem1  36331
  Copyright terms: Public domain W3C validator