Theorem cmetcau 25485

Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetcau.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
cmetcau	⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

Proof of Theorem cmetcau

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25482	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		metxmet 24528	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4		caun0 25477	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
5	3, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑋 ≠ ∅)
6		n0 4310	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑋)
7	5, 6	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑋)
8		cmetcau.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
9		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
10		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
11		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
12		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹‘𝑦), 𝑥)) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (𝐹‘𝑦), 𝑥))
13	8, 9, 10, 11, 12	cmetcaulem 25484	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
14	7, 13	exlimddv 1968	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∅c0 4289  ifcif 4492   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  ℕcn 12251  ∞Metcxmet 21544  Metcmet 21545  MetOpencmopn 21549  ⇝_𝑡clm 23420  Cauccau 25449  CMetccmet 25450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13396  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-ntr 23214  df-nei 23292  df-lm 23423  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-cfil 25451  df-cau 25452  df-cmet 25453

This theorem is used by:  iscmet3  25489  iscmet2  25490  bcthlem4  25523  minvecolem4a  31266  hlcompl  31304  heiborlem9  38511  bfplem1  38514