MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmetcau 25141
Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetcau.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cmetcau ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))

Proof of Theorem cmetcau
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 25138 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
2 metxmet 24164 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
4 caun0 25133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
53, 4sylan 579 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
6 n0 4339 . . 3 (𝑋 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
75, 6sylib 217 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝑋)
8 cmetcau.1 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
9 simpll 764 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
10 simpr 484 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simplr 766 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·))
12 eqid 2724 . . 3 (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯)) = (𝑦 ∈ β„• ↦ if(𝑦 ∈ dom 𝐹, (πΉβ€˜π‘¦), π‘₯))
138, 9, 10, 11, 12cmetcaulem 25140 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
147, 13exlimddv 1930 1 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ dom (β‡π‘‘β€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ…c0 4315  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667  β€˜cfv 6534  β„•cn 12210  βˆžMetcxmet 21215  Metcmet 21216  MetOpencmopn 21220  β‡π‘‘clm 23054  Cauccau 25105  CMetccmet 25106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ico 13328  df-rest 17369  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-ntr 22848  df-nei 22926  df-lm 23057  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-cfil 25107  df-cau 25108  df-cmet 25109
This theorem is referenced by:  iscmet3  25145  iscmet2  25146  bcthlem4  25179  minvecolem4a  30602  hlcompl  30640  heiborlem9  37181  bfplem1  37184
  Copyright terms: Public domain W3C validator