MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet2 23901
Description: A metric 𝐷 is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
iscmet2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))

Proof of Theorem iscmet2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 23893 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 iscmet2.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32cmetcau 23896 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
43ex 416 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
54ssrdv 3924 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽))
61, 5jca 515 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
7 ssel2 3913 . . . . . 6 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
87a1d 25 . . . . 5 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
98ralrimiva 3152 . . . 4 ((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
109adantl 485 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
11 nnuz 12273 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12005 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
13 simpl 486 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1411, 2, 12, 13iscmet3 23900 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
1510, 14mpbird 260 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
166, 15impbii 212 1 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884  dom cdm 5523  wf 6324  cfv 6328  1c1 10531  cn 11629  Metcmet 20080  MetOpencmopn 20084  𝑡clm 21834  Cauccau 23860  CMetccmet 23861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-lm 21837  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864
This theorem is referenced by:  cssbn  23982
  Copyright terms: Public domain W3C validator