Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscmet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscmet2 23901
 Description: A metric 𝐷 is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmet2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
iscmet2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))

Proof of Theorem iscmet2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 23893 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2 iscmet2.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
32cmetcau 23896 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
43ex 416 . . . 4 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
54ssrdv 3924 . . 3 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽))
61, 5jca 515 . 2 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
7 ssel2 3913 . . . . . 6 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
87a1d 25 . . . . 5 (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
98ralrimiva 3152 . . . 4 ((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
109adantl 485 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽)))
11 nnuz 12273 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 12005 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
13 simpl 486 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1411, 2, 12, 13iscmet3 23900 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋𝑓 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))))
1510, 14mpbird 260 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
166, 15impbii 212 1 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  dom cdm 5523  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  1c1 10531  ℕcn 11629  Metcmet 20080  MetOpencmopn 20084  ⇝𝑡clm 21834  Cauccau 23860  CMetccmet 23861 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-fz 12890  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-lm 21837  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864 This theorem is referenced by:  cssbn  23982
 Copyright terms: Public domain W3C validator