Theorem iscmet2 23469

Description: A metric 𝐷 is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
iscmet2	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))

Proof of Theorem iscmet2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 23461	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		iscmet2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	cmetcau 23464	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
4	3	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
5	4	ssrdv 3833	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽))
6	1, 5	jca 507	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
7		ssel2 3822	. . . . . 6 ⊢ (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
8	7	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
9	8	ralrimiva 3175	. . . 4 ⊢ ((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	9	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
11		nnuz 12012	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 11743	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
13		simpl 476	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 2, 12, 13	iscmet3 23468	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
15	10, 14	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	6, 15	impbii 201	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ⊆ wss 3798  dom cdm 5346  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  1c1 10260  ℕcn 11357  Metcmet 20099  MetOpencmopn 20103  ⇝_𝑡clm 21408  Cauccau 23428  CMetccmet 23429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cc 9579  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-rest 16443  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-ntr 21202  df-nei 21280  df-lm 21411  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-cfil 23430  df-cau 23431  df-cmet 23432

This theorem is referenced by:  cssbn  23550