Theorem iscmet2 25192

Description: A metric 𝐷 is complete iff all Cauchy sequences converge to a point in the space. The proof uses countable choice. Part of Definition 1.4-3 of [Kreyszig] p. 28. (Contributed by NM, 7-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscmet2.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
iscmet2	⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))

Proof of Theorem iscmet2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 25184	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2		iscmet2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
3	2	cmetcau 25187	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
4	3	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝑓 ∈ (Cau‘𝐷) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
5	4	ssrdv 3941	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽))
6	1, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
7		ssel2 3930	. . . . . 6 ⊢ (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
8	7	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) ∧ 𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
9	8	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽)))
11		nnuz 12778	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
12		1zzd 12506	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 1 ∈ ℤ)
13		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
14	11, 2, 12, 13	iscmet3 25191	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ ∀𝑓 ∈ (Cau‘𝐷)(𝑓:ℕ⟶𝑋 → 𝑓 ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))))
15	10, 14	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
16	6, 15	impbii 209	1 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (Cau‘𝐷) ⊆ dom (⇝𝑡‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  1c1 11010  ℕcn 12128  Metcmet 21247  MetOpencmopn 21251  ⇝_𝑡clm 23111  Cauccau 25151  CMetccmet 25152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-ntr 22905  df-nei 22983  df-lm 23114  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-cfil 25153  df-cau 25154  df-cmet 25155

This theorem is referenced by:  cssbn  25273