Theorem bfplem2 37564

Description: Lemma for bfp 37565. Using the point found in bfplem1 37563, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) (where 𝑃 = ((⇝_𝑡‘𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10	⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25305	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 24331	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		bfp.8	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24436	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
9		bfp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
10		bfp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12		bfp.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13		bfp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		bfp.10	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
15	1, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	bfplem1 37563	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
16		lmcl 23292	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	7, 15, 16	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	3	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	18, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		nnuz 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	15	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
24		rphalfcl 13059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
26	5, 19, 20, 21, 22, 23, 25	lmmcvg 25280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
28	27	ralimi 3076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29		nnz 12635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31		uzid 12893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		fveq2 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
33	32	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
34	33	breq1d 5164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
35	34	rspcv 3616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
36	30, 31, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
37	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
38		peano2uz 12941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
39		fveq2 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
40	39	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
41	40	breq1d 5164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
42	41	rspcv 3616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
43	37, 38, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44		1zzd 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	20, 14, 44, 13, 11	algrp1 16588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
46	45	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
47	46	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
48	47	breq1d 5164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
49	43, 48	sylibd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
50	36, 49	jcad 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
51	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
52	20, 14, 44, 13, 11	algrf 16587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
53	52	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
54	53	ffvelcdmda 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋)
55	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56		metcl 24329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
58	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
59	58, 54	ffvelcdmd 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋)
60		metcl 24329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
61	51, 59, 55, 60	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62		rpre 13040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64		lt2halves 12503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
65	57, 61, 63, 64	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
66	11, 17	ffvelcdmd 7101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67		metcl 24329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
68	3, 66, 17, 67	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
70	58, 55	ffvelcdmd 7101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71		metcl 24329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
72	51, 59, 70, 71	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
73	72, 61	readdcld 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
74	57, 61	readdcld 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75		mettri2 24338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
76	51, 59, 70, 55, 75	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
77	9	rpred 13074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78, 57	remulcld 11295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
80	54, 55	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
81	12	ralrimivva 3195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
82	81	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83		fveq2 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
84	83	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)))
85		oveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))
86	85	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)))
87	84, 86	breq12d 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))))
88		fveq2 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
89	88	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
90		oveq2 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
91	90	oveq2d 7443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
92	89, 91	breq12d 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
93	87, 92	rspc2v 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
94	80, 82, 93	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
95		1red 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		metge0 24342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
97	51, 54, 55, 96	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
98		1re 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
99		ltle 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
100	77, 98, 99	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
101	10, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 1)
102	101	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
103	78, 95, 57, 97, 102	lemul1ad 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
104	57	recnd 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105	104	mullidd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
106	103, 105	breqtrd 5180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
107	72, 79, 57, 94, 106	letrd 11422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
108	72, 57, 61, 107	leadd1dd 11879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
109	69, 73, 74, 76, 108	letrd 11422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
110		lelttr 11355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
111	69, 74, 63, 110	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112	109, 111	mpand 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
113	50, 65, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
114	28, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115	114	rexlimdva 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
116	26, 115	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117		ltle 11353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
118	68, 62, 117	syl2an 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119	116, 118	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
120	62	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	120	recnd 11293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	121	addlidd 11466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123	119, 122	breqtrrd 5182	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124	123	ralrimiva 3139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125		0re 11267	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		alrple 13243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
127	68, 125, 126	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128	124, 127	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129		metge0 24342	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
130	3, 66, 17, 129	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
131		letri3 11350	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
132	68, 125, 131	sylancl 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
133	128, 130, 132	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0)
134		meteq0 24336	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
135	3, 66, 17, 134	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
136	133, 135	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
137		fveq2 6903	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
138		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
139	137, 138	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
140	139	rspcev 3620	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
141	17, 136, 140	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ∀wral 3054  ∃wrex 3063  ∅c0 4333  {csn 4634   class class class wbr 5154   × cxp 5682   ∘ ccom 5688  ⟶wf 6552  ‘cfv 6556  (class class class)co 7427  1^st c1st 8006  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160   + caddc 11162   · cmul 11164   < clt 11299   ≤ cle 11300   / cdiv 11922  ℕcn 12268  2c2 12323  ℤcz 12614  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  seqcseq 14026  ∞Metcxmet 21340  Metcmet 21341  MetOpencmopn 21345  TopOnctopon 22903  ⇝_𝑡clm 23221  CMetccmet 25273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-pss 3978  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-int 4958  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-tr 5272  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6315  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7882  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444  df-1o 8500  df-er 8738  df-map 8861  df-pm 8862  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11497  df-neg 11498  df-div 11923  df-nn 12269  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12529  df-z 12615  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13543  df-fzo 13686  df-fl 13817  df-seq 14027  df-exp 14087  df-hash 14354  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15503  df-rlim 15504  df-sum 15704  df-rest 17450  df-topgen 17471  df-psmet 21347  df-xmet 21348  df-met 21349  df-bl 21350  df-mopn 21351  df-fbas 21352  df-fg 21353  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-ntr 23015  df-nei 23093  df-lm 23224  df-haus 23310  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-cfil 25274  df-cau 25275  df-cmet 25276

This theorem is referenced by:  bfp  37565