Theorem bfplem2 38757

Description: Lemma for bfp 38758. Using the point found in bfplem1 38756, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) (where 𝑃 = ((⇝_𝑡‘𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10	⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25607	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 24653	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		bfp.8	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24758	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	3, 4, 6	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
9		bfp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
10		bfp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12		bfp.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13		bfp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		bfp.10	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
15	1, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	bfplem1 38756	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
16		lmcl 23615	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	7, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	3	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	18, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		nnuz 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		eqidd 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
24		rphalfcl 13149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
26	5, 19, 20, 21, 22, 23, 25	lmmcvg 25582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
28	27	ralimi 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29		nnz 12714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31		uzid 12980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
33	32	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
34	33	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
35	34	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
36	30, 31, 35	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
37	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
38		peano2uz 13028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
39		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
40	39	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
41	40	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
42	41	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
43	37, 38, 42	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44		1zzd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	20, 14, 44, 13, 11	algrp1 16749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
46	45	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
47	46	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
48	47	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
49	43, 48	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
50	36, 49	jcad 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
51	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
52	20, 14, 44, 13, 11	algrf 16748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
54	53	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋)
55	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56		metcl 24651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
58	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
59	58, 54	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋)
60		metcl 24651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
61	51, 59, 55, 60	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64		lt2halves 12581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
65	57, 61, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
66	11, 17	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67		metcl 24651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
68	3, 66, 17, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
69	68	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
70	58, 55	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71		metcl 24651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
72	51, 59, 70, 71	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
73	72, 61	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
74	57, 61	readdcld 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75		mettri2 24660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
76	51, 59, 70, 55, 75	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
77	9	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78, 57	remulcld 11339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
80	54, 55	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
81	12	ralrimivva 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
82	81	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
84	83	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)))
85		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))
86	85	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)))
87	84, 86	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))))
88		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
89	88	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
90		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
91	90	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
92	89, 91	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
93	87, 92	rspc2v 3587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
94	80, 82, 93	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
95		1red 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		metge0 24664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
97	51, 54, 55, 96	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
98		1re 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
99		ltle 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
100	77, 98, 99	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
101	10, 100	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 1)
102	101	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
103	78, 95, 57, 97, 102	lemul1ad 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
104	57	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105	104	mullidd 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
106	103, 105	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
107	72, 79, 57, 94, 106	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
108	72, 57, 61, 107	leadd1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
109	69, 73, 74, 76, 108	letrd 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
110		lelttr 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
111	69, 74, 63, 110	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112	109, 111	mpand 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
113	50, 65, 112	3syld 61	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
114	28, 113	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115	114	rexlimdva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
116	26, 115	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117		ltle 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
118	68, 62, 117	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119	116, 118	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
120	62	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	120	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	121	addlidd 11511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123	119, 122	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124	123	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125		0re 11310	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		alrple 13336	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
127	68, 125, 126	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128	124, 127	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129		metge0 24664	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
130	3, 66, 17, 129	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
131		letri3 11395	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
132	68, 125, 131	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
133	128, 130, 132	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0)
134		meteq0 24658	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
135	3, 66, 17, 134	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
136	133, 135	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
137		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
138		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
139	137, 138	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
140	139	rspcev 3577	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
141	17, 136, 140	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  seqcseq 14144  ∞Metcxmet 21663  Metcmet 21664  MetOpencmopn 21668  TopOnctopon 23228  ⇝_𝑡clm 23544  CMetccmet 25575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-ntr 23338  df-nei 23416  df-lm 23547  df-haus 23633  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578

This theorem is used by:  bfp  38758