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Theorem bfplem2 37810
Description: Lemma for bfp 37811. Using the point found in bfplem1 37809, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) (where 𝑃 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9 (𝜑𝐴𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 25334 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 24360 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 bfp.8 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntopon 24465 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
73, 4, 63syl 18 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
9 bfp.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
10 bfp.5 . . . 4 (𝜑𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
12 bfp.7 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13 bfp.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
14 bfp.10 . . . 4 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 37809 . . 3 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
16 lmcl 23321 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
177, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
183adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1918, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 nnuz 12919 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
21 1zzd 12646 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
2315adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
24 rphalfcl 13060 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
265, 19, 20, 21, 22, 23, 25lmmcvg 25309 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
2827ralimi 3081 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31 uzid 12891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
32 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
3332oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
3433breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3534rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3630, 31, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3730, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
38 peano2uz 12941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
39 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
4039oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
4140breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4241rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4337, 38, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4520, 14, 44, 13, 11algrp1 16608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
4645adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
4746oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
4847breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4943, 48sylibd 239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
5036, 49jcad 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
513ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5220, 14, 44, 13, 11algrf 16607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
5453ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑋)
5517ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
5751, 54, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
5811ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑋)
5958, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋)
60 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
6151, 59, 55, 60syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62 rpre 13041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
6362ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64 lt2halves 12499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
6557, 61, 63, 64syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
6611, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
683, 66, 17, 67syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
7058, 55ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71 metcl 24358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7251, 59, 70, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7372, 61readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7457, 61readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75 mettri2 24367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
7651, 59, 70, 55, 75syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
779rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
7978, 57remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
8054, 55jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
8112ralrimivva 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
8281ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
8483oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝐺𝑗) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)))
85 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺𝑗)𝐷𝑦))
8685oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)))
8784, 86breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦))))
88 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
90 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐺𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
9289, 91breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
9387, 92rspc2v 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
9480, 82, 93sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
95 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96 metge0 24371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
9751, 54, 55, 96syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
98 1re 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
99 ltle 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
10077, 98, 99sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
10110, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ≤ 1)
102101ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
10378, 95, 57, 97, 102lemul1ad 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
10457recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105104mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
106103, 105breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
10772, 79, 57, 94, 106letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
10872, 57, 61, 107leadd1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
10969, 73, 74, 76, 108letrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
110 lelttr 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11169, 74, 63, 110syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112109, 111mpand 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11350, 65, 1123syld 60 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11428, 113syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115114rexlimdva 3153 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11626, 115mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117 ltle 11347 . . . . . . . . 9 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
11868, 62, 117syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119116, 118mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
12062adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121120recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122121addlidd 11460 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123119, 122breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124123ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
126 alrple 13245 . . . . . 6 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
12768, 125, 126sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128124, 127mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129 metge0 24371 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
1303, 66, 17, 129syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
131 letri3 11344 . . . . 5 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
13268, 125, 131sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
133128, 130, 132mpbir2and 713 . . 3 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0)
134 meteq0 24365 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
1353, 66, 17, 134syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
136133, 135mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
137 fveq2 6907 . . . 4 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
138 id 22 . . . 4 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
139137, 138eqeq12d 2751 . . 3 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
140139rspcev 3622 . 2 ((((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
14117, 136, 140syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  seqcseq 14039  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  MetOpencmopn 21372  TopOnctopon 22932  𝑡clm 23250  CMetccmet 25302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-nei 23122  df-lm 23253  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cfil 25303  df-cau 25304  df-cmet 25305
This theorem is referenced by:  bfp  37811
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