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Theorem bfplem2 36739
Description: Lemma for bfp 36740. Using the point found in bfplem1 36738, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive π‘₯, the sequence 𝐺 is in 𝐡(π‘₯ / 2, 𝑃) for all π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) (where 𝑃 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≀ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < π‘₯ / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < π‘₯ / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
bfp.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
bfp.4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
bfp.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
bfp.7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
bfp.9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑧)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐷   π‘₯,𝐺,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐽,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 cmetmet 24803 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
4 metxmet 23840 . . . 4 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 bfp.8 . . . . 5 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
65mopntopon 23945 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
73, 4, 63syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
8 bfp.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
9 bfp.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ+)
10 bfp.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
12 bfp.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
13 bfp.9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
14 bfp.10 . . . 4 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝐴}))
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 36738 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
16 lmcl 22801 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋)
177, 15, 16syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋)
183adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1918, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
20 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
21 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„€)
22 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
2315adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐺(β‡π‘‘β€˜π½)((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
24 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
2524adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 2) ∈ ℝ+)
265, 19, 20, 21, 22, 23, 25lmmcvg 24778 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2))
2827ralimi 3084 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2))
29 nnz 12579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ 𝑗 ∈ β„€)
3029adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„€)
31 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘—))
3332oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
3433breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ↔ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
3534rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
3630, 31, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
3730, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
38 peano2uz 12885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜(𝑗 + 1)))
4039oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
4140breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (𝑗 + 1) β†’ (((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ↔ ((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
4241rspcv 3609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
4337, 38, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
44 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4520, 14, 44, 13, 11algrp1 16511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜(𝑗 + 1)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)))
4746oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
4847breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜(𝑗 + 1))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
4943, 48sylibd 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)))
5036, 49jcad 514 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2))))
513ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5220, 14, 44, 13, 11algrf 16510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐺:β„•βŸΆπ‘‹)
5453ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
5517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋)
56 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΊβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
5751, 54, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
5811ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘‹)
5958, 54ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ 𝑋)
60 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
6151, 59, 55, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
62 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
64 lt2halves 12447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) < π‘₯))
6557, 61, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) < π‘₯))
6611, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋)
67 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
683, 66, 17, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
7058, 55ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋)
71 metcl 23838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ)
7251, 59, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ)
7372, 61readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ)
7457, 61readdcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ)
75 mettri2 23847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
7651, 59, 70, 55, 75syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
779rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7978, 57remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ)
8054, 55jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋))
8112ralrimivva 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
8281ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)))
83 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘—) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—)))
8483oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘—) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)))
85 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘—) β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦))
8685oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘—) β†’ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) = (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦)))
8784, 86breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘—) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦))))
88 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
8988oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
90 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦) = ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
9190oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦)) = (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
9289, 91breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷𝑦)) ↔ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))))
9387, 92rspc2v 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΊβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐷(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ (𝐾 Β· (π‘₯𝐷𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))))
9480, 82, 93sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
95 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
96 metge0 23851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΊβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
9751, 54, 55, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
98 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
99 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 < 1 β†’ 𝐾 ≀ 1))
10077, 98, 99sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐾 < 1 β†’ 𝐾 ≀ 1))
10110, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐾 ≀ 1)
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ≀ 1)
10378, 95, 57, 97, 102lemul1ad 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ (1 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
10457recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ β„‚)
105104mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (1 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) = ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
106103, 105breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝐾 Β· ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
10772, 79, 57, 94, 106letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ ((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
10872, 57, 61, 107leadd1dd 11828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷(πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ≀ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
10969, 73, 74, 76, 108letrd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))))
110 lelttr 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∧ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
11169, 74, 63, 110syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) ∧ (((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) < π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
112109, 111mpand 694 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((((πΊβ€˜π‘—)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) + ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘—))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
11350, 65, 1123syld 60 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
11428, 113syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
115114rexlimdva 3156 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΊβ€˜π‘˜)𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < (π‘₯ / 2)) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯))
11626, 115mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯)
117 ltle 11302 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ π‘₯))
11868, 62, 117syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) < π‘₯ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ π‘₯))
119116, 118mpd 15 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ π‘₯)
12062adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
121120recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
122121addlidd 11415 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
123119, 122breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (0 + π‘₯))
124123ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (0 + π‘₯))
125 0re 11216 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
126 alrple 13185 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (0 + π‘₯)))
12768, 125, 126sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ (0 + π‘₯)))
128124, 127mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ 0)
129 metge0 23851 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
1303, 66, 17, 129syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
131 letri3 11299 . . . . 5 ((((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = 0 ↔ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))))
13268, 125, 131sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = 0 ↔ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))))
133128, 130, 132mpbir2and 712 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = 0)
134 meteq0 23845 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) ∈ 𝑋 ∧ ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = 0 ↔ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
1353, 66, 17, 134syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))𝐷((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = 0 ↔ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
136133, 135mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
137 fveq2 6892 . . . 4 (𝑧 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
138 id 22 . . . 4 (𝑧 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ 𝑧 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ))
139137, 138eqeq12d 2749 . . 3 (𝑧 = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) = 𝑧 ↔ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)))
140139rspcev 3613 . 2 ((((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) = ((β‡π‘‘β€˜π½)β€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑧)
14117, 136, 140syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘§) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  seqcseq 13966  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  MetOpencmopn 20934  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730  CMetccmet 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-nei 22602  df-lm 22733  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774
This theorem is referenced by:  bfp  36740
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