Theorem bfplem2 35116

Description: Lemma for bfp 35117. Using the point found in bfplem1 35115, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) (where 𝑃 = ((⇝_𝑡‘𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10	⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 23889	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 22944	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		bfp.8	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 23049	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
9		bfp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
10		bfp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12		bfp.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13		bfp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		bfp.10	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
15	1, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	bfplem1 35115	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
16		lmcl 21905	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	7, 15, 16	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	3	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	18, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		nnuz 12282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12014	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		eqidd 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	15	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
24		rphalfcl 12417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
26	5, 19, 20, 21, 22, 23, 25	lmmcvg 23864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
28	27	ralimi 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29		nnz 12005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31		uzid 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
33	32	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
34	33	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
35	34	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
36	30, 31, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
37	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
38		peano2uz 12302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
39		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
40	39	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
41	40	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
42	41	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
43	37, 38, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44		1zzd 12014	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	20, 14, 44, 13, 11	algrp1 15918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
46	45	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
47	46	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
48	47	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
49	43, 48	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
50	36, 49	jcad 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
51	3	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
52	20, 14, 44, 13, 11	algrf 15917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
53	52	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
54	53	ffvelrnda 6851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋)
55	17	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56		metcl 22942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
58	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
59	58, 54	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋)
60		metcl 22942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
61	51, 59, 55, 60	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62		rpre 12398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64		lt2halves 11873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
65	57, 61, 63, 64	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
66	11, 17	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67		metcl 22942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
68	3, 66, 17, 67	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
69	68	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
70	58, 55	ffvelrnd 6852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71		metcl 22942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
72	51, 59, 70, 71	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
73	72, 61	readdcld 10670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
74	57, 61	readdcld 10670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75		mettri2 22951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
76	51, 59, 70, 55, 75	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
77	9	rpred 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78, 57	remulcld 10671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
80	54, 55	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
81	12	ralrimivva 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
82	81	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
84	83	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)))
85		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))
86	85	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)))
87	84, 86	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))))
88		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
89	88	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
90		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
91	90	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
92	89, 91	breq12d 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
93	87, 92	rspc2v 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
94	80, 82, 93	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
95		1red 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		metge0 22955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
97	51, 54, 55, 96	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
98		1re 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
99		ltle 10729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
100	77, 98, 99	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
101	10, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 1)
102	101	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
103	78, 95, 57, 97, 102	lemul1ad 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
104	57	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105	104	mulid2d 10659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
106	103, 105	breqtrd 5092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
107	72, 79, 57, 94, 106	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
108	72, 57, 61, 107	leadd1dd 11254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
109	69, 73, 74, 76, 108	letrd 10797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
110		lelttr 10731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
111	69, 74, 63, 110	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112	109, 111	mpand 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
113	50, 65, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
114	28, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115	114	rexlimdva 3284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
116	26, 115	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117		ltle 10729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
118	68, 62, 117	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119	116, 118	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
120	62	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	120	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	121	addid2d 10841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123	119, 122	breqtrrd 5094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124	123	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125		0re 10643	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		alrple 12600	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
127	68, 125, 126	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128	124, 127	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129		metge0 22955	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
130	3, 66, 17, 129	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
131		letri3 10726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
132	68, 125, 131	sylancl 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
133	128, 130, 132	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0)
134		meteq0 22949	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
135	3, 66, 17, 134	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
136	133, 135	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
137		fveq2 6670	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
138		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
139	137, 138	eqeq12d 2837	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
140	139	rspcev 3623	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
141	17, 136, 140	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  ∅c0 4291  {csn 4567   class class class wbr 5066   × cxp 5553   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  1^st c1st 7687  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℝ⁺crp 12390  seqcseq 13370  ∞Metcxmet 20530  Metcmet 20531  MetOpencmopn 20535  TopOnctopon 21518  ⇝_𝑡clm 21834  CMetccmet 23857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-ntr 21628  df-nei 21706  df-lm 21837  df-haus 21923  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-cfil 23858  df-cau 23859  df-cmet 23860

This theorem is referenced by:  bfp  35117