Theorem bfplem2 37783

Description: Lemma for bfp 37784. Using the point found in bfplem1 37782, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) (where 𝑃 = ((⇝_𝑡‘𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
bfp.10	⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25339	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4		metxmet 24365	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		bfp.8	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24470	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
9		bfp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
10		bfp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12		bfp.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13		bfp.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
14		bfp.10	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
15	1, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14	bfplem1 37782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
16		lmcl 23326	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
17	7, 15, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
18	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
19	18, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20		nnuz 12946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
21		1zzd 12674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22		eqidd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
23	15	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
24		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
26	5, 19, 20, 21, 22, 23, 25	lmmcvg 25314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
28	27	ralimi 3089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29		nnz 12660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
30	29	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31		uzid 12918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
32		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
33	32	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
34	33	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
35	34	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
36	30, 31, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
37	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
38		peano2uz 12966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗))
39		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
40	39	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
41	40	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
42	41	rspcv 3631	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
43	37, 38, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
45	20, 14, 44, 13, 11	algrp1 16621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
46	45	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
47	46	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
48	47	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
49	43, 48	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
50	36, 49	jcad 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
51	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
52	20, 14, 44, 13, 11	algrf 16620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
54	53	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋)
55	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
57	51, 54, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
58	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
59	58, 54	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋)
60		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
61	51, 59, 55, 60	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62		rpre 13065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
63	62	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64		lt2halves 12528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
65	57, 61, 63, 64	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
66	11, 17	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
68	3, 66, 17, 67	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
69	68	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
70	58, 55	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71		metcl 24363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
72	51, 59, 70, 71	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
73	72, 61	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
74	57, 61	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75		mettri2 24372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
76	51, 59, 70, 55, 75	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
77	9	rpred 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
78	77	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
79	78, 57	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
80	54, 55	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
81	12	ralrimivva 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
82	81	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝐺‘𝑗)))
84	83	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)))
85		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))
86	85	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)))
87	84, 86	breq12d 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑗) → (((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦))))
88		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
89	88	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
90		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
91	90	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
92	89, 91	breq12d 5179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
93	87, 92	rspc2v 3646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
94	80, 82, 93	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
95		1red 11291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96		metge0 24376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
97	51, 54, 55, 96	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
98		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ
99		ltle 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
100	77, 98, 99	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
101	10, 100	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 1)
102	101	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
103	78, 95, 57, 97, 102	lemul1ad 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
104	57	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105	104	mullidd 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
106	103, 105	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
107	72, 79, 57, 94, 106	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
108	72, 57, 61, 107	leadd1dd 11904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
109	69, 73, 74, 76, 108	letrd 11447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))))
110		lelttr 11380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
111	69, 74, 63, 110	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112	109, 111	mpand 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺‘𝑗)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺‘𝑗))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
113	50, 65, 112	3syld 60	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
114	28, 113	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115	114	rexlimdva 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺‘𝑘)𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
116	26, 115	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117		ltle 11378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
118	68, 62, 117	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119	116, 118	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
120	62	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121	120	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122	121	addlidd 11491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123	119, 122	breqtrrd 5194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124	123	ralrimiva 3152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125		0re 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
126		alrple 13268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
127	68, 125, 126	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128	124, 127	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129		metge0 24376	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
130	3, 66, 17, 129	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
131		letri3 11375	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
132	68, 125, 131	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))))
133	128, 130, 132	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0)
134		meteq0 24370	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
135	3, 66, 17, 134	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
136	133, 135	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
137		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
138		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺))
139	137, 138	eqeq12d 2756	. . 3 ⊢ (𝑧 = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)))
140	139	rspcev 3635	. 2 ⊢ ((((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡‘𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
141	17, 136, 140	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1^st c1st 8028  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  seqcseq 14052  ∞Metcxmet 21372  Metcmet 21373  MetOpencmopn 21377  TopOnctopon 22937  ⇝_𝑡clm 23255  CMetccmet 25307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-ntr 23049  df-nei 23127  df-lm 23258  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310

This theorem is referenced by:  bfp  37784