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Theorem bfplem2 33976
Description: Lemma for bfp 33977. Using the point found in bfplem1 33975, we show that this convergent point is a fixed point of 𝐹. Since for any positive 𝑥, the sequence 𝐺 is in 𝐵(𝑥 / 2, 𝑃) for all 𝑘 ∈ (ℤ𝑗) (where 𝑃 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)), we have 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝐹(𝑃)) ≤ 𝐷(𝐺(𝑗), 𝑃) < 𝑥 / 2 and 𝐷(𝐺(𝑗 + 1), 𝑃) < 𝑥 / 2, so 𝐹(𝑃) is in every neighborhood of 𝑃 and 𝑃 is a fixed point of 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9 (𝜑𝐴𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 23363 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 metxmet 22418 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 bfp.8 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntopon 22523 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
73, 4, 63syl 18 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
9 bfp.4 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
10 bfp.5 . . . 4 (𝜑𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
12 bfp.7 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
13 bfp.9 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
14 bfp.10 . . . 4 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 33975 . . 3 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
16 lmcl 21381 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
177, 15, 16syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
183adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1918, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20 nnuz 11923 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
21 1zzd 11655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℤ)
22 eqidd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
2315adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
24 rphalfcl 12056 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
265, 19, 20, 21, 22, 23, 25lmmcvg 23338 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
27 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
2827ralimi 3099 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))
29 nnz 11646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
31 uzid 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
32 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
3332oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
3433breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3534rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3630, 31, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
3730, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
38 peano2uz 11941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗))
39 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(𝑗 + 1)))
4039oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
4140breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4241rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 + 1) ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4337, 38, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
44 1zzd 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4520, 14, 44, 13, 11algrp1 15570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
4645adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
4746oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
4847breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑗 + 1))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
4943, 48sylibd 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)))
5036, 49jcad 508 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2))))
513ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5220, 14, 44, 13, 11algrf 15569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐺:ℕ⟶𝑋)
5453ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐺𝑗) ∈ 𝑋)
5517ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)
56 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
5751, 54, 55, 56syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
5811ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑋)
5958, 54ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋)
60 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
6151, 59, 55, 60syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
62 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
6362ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
64 lt2halves 11513 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
6557, 61, 63, 64syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥))
6611, 17ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
67 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
683, 66, 17, 67syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
6968ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ)
7058, 55ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋)
71 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7251, 59, 70, 71syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7372, 61readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
7457, 61readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
75 mettri2 22425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹‘(𝐺𝑗)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
7651, 59, 70, 55, 75syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
779rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
7877ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
7978, 57remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ)
8054, 55jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋))
8112ralrimivva 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
8281ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
83 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑗)))
8483oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝐺𝑗) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)))
85 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺𝑗)𝐷𝑦))
8685oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)))
8784, 86breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝐺𝑗) → (((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦))))
88 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
8988oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
90 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐺𝑗)𝐷𝑦) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
9190oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
9289, 91breq12d 4822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
9387, 92rspc2v 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
9480, 82, 93sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
95 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
96 metge0 22429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
9751, 54, 55, 96syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
98 1re 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
99 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
10077, 98, 99sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐾 < 1 → 𝐾 ≤ 1))
10110, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ≤ 1)
102101ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 1)
10378, 95, 57, 97, 102lemul1ad 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (1 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
10457recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℂ)
105104mulid2d 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) = ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
106103, 105breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
10772, 79, 57, 94, 106letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ ((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
10872, 57, 61, 107leadd1dd 10895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷(𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
10969, 73, 74, 76, 108letrd 10448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))))
110 lelttr 10382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11169, 74, 63, 110syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) ∧ (((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
112109, 111mpand 686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑗)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) + ((𝐹‘(𝐺𝑗))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11350, 65, 1123syld 60 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11428, 113syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
115114rexlimdva 3178 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐺𝑘)𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥))
11626, 115mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥)
117 ltle 10380 . . . . . . . . 9 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
11868, 62, 117syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) < 𝑥 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥))
119116, 118mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 𝑥)
12062adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
121120recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
122121addid2d 10491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
123119, 122breqtrrd 4837 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
124123ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥))
125 0re 10295 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
126 alrple 12239 . . . . . 6 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
12768, 125, 126sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ (0 + 𝑥)))
128124, 127mpbird 248 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0)
129 metge0 22429 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
1303, 66, 17, 129syl3anc 1490 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
131 letri3 10377 . . . . 5 ((((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
13268, 125, 131sylancl 580 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))))
133128, 130, 132mpbir2and 704 . . 3 (𝜑 → ((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0)
134 meteq0 22423 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) ∈ 𝑋 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
1353, 66, 17, 134syl3anc 1490 . . 3 (𝜑 → (((𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))𝐷((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = 0 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
136133, 135mpbid 223 . 2 (𝜑 → (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
137 fveq2 6375 . . . 4 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
138 id 22 . . . 4 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → 𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
139137, 138eqeq12d 2780 . . 3 (𝑧 = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
140139rspcev 3461 . 2 ((((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) = ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
14117, 136, 140syl2anc 579 1 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ccom 5281  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  1st c1st 7364  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  seqcseq 13008  ∞Metcxmet 20004  Metcmet 20005  MetOpencmopn 20009  TopOnctopon 20994  𝑡clm 21310  CMetccmet 23331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-rest 16351  df-topgen 16372  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-ntr 21104  df-nei 21182  df-lm 21313  df-haus 21399  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-cfil 23332  df-cau 23333  df-cmet 23334
This theorem is referenced by:  bfp  33977
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