Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bfp 34983
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
bfp (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2 n0 4307 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑋)
31, 2sylib 219 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤𝑋)
4 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9 bfp.5 . . . . 5 (𝜑𝐾 < 1)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑋)
13 bfp.7 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑤𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 eqid 2818 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
17 eqid 2818 . . . 4 seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 34982 . . 3 ((𝜑𝑤𝑋) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
193, 18exlimddv 1927 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
20 oveq12 7154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
2321, 22eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24 cmetmet 23816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
254, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2625ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27 simplrl 773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝑋)
28 simplrr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑦𝑋)
29 metcl 22869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
317rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3231ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332, 30remulcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
3430, 33suble0d 11219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
3523, 34mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36 1cnd 10624 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
3732recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3830recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
3936, 37, 38subdird 11085 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4038mulid2d 10647 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
4140oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4239, 41eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43 1re 10629 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 resubcl 10938 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4543, 31, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
4847mul01d 10827 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
4935, 42, 483brtr4d 5089 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50 0red 10632 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51 posdif 11121 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
5231, 43, 51sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
539, 52mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
5453ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55 lemul2 11481 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5630, 50, 46, 54, 55syl112anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5749, 56mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58 metge0 22882 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
5926, 27, 28, 58syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
61 letri3 10714 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6230, 60, 61sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6357, 59, 62mpbir2and 709 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64 meteq0 22876 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6526, 27, 28, 64syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6663, 65mpbid 233 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
6766ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
6867ralrimivva 3188 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
7169, 70eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
7271anbi1d 629 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)))
73 equequ1 2023 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦𝑧 = 𝑦))
7472, 73imbi12d 346 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7574ralbidv 3194 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7675cbvralvw 3447 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
7768, 76sylib 219 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78 fveq2 6663 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
79 id 22 . . . 4 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
8078, 79eqeq12d 2834 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
8180reu4 3719 . 2 (∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
8219, 77, 81sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ∃!wreu 3137  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057   × cxp 5546  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  +crp 12377  seqcseq 13357  Metcmet 20459  MetOpencmopn 20463  CMetccmet 23784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-nei 21634  df-lm 21765  df-haus 21851  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator