Theorem bfp 38159

Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
bfp	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
2		n0 4294	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
4		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
6	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7		bfp.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9		bfp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
13		bfp.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
18	5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17	bfplem2 38158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
19	3, 18	exlimddv 1937	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
20		oveq12 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
22	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
23	21, 22	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24		cmetmet 25263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
28		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
29		metcl 24307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
31	7	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32, 30	remulcld 11166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
34	30, 33	suble0d 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
35	23, 34	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36		1cnd 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
37	32	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
38	30	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
39	36, 37, 38	subdird 11598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
40	38	mullidd 11154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
41	40	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
42	39, 41	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43		1re 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		resubcl 11449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
45	43, 31, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
48	47	mul01d 11336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
49	35, 42, 48	3brtr4d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51		posdif 11634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
52	31, 43, 51	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
53	9, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
54	53	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55		lemul2 11999	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
56	30, 50, 46, 54, 55	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
57	49, 56	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58		metge0 24320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
59	26, 27, 28, 58	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60		0re 11137	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		letri3 11222	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
62	30, 60, 61	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63	57, 59, 62	mpbir2and 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64		meteq0 24314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
65	26, 27, 28, 64	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
66	63, 65	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
68	67	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
71	69, 70	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
72	71	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)))
73		equequ1 2027	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
74	72, 73	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
75	74	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
76	75	cbvralvw 3216	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
77	68, 76	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
79		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦)
80	78, 79	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑦) = 𝑦))
81	80	reu4 3678	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
82	19, 77, 81	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5622   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℝ⁺crp 12933  seqcseq 13954  Metcmet 21330  MetOpencmopn 21334  CMetccmet 25231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-ntr 22995  df-nei 23073  df-lm 23204  df-haus 23290  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-cfil 25232  df-cau 25233  df-cmet 25234

This theorem is referenced by: (None)