Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bfp 36283
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
bfp (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2 n0 4306 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑋)
31, 2sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤𝑋)
4 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9 bfp.5 . . . . 5 (𝜑𝐾 < 1)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑋)
13 bfp.7 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑤𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 eqid 2736 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
17 eqid 2736 . . . 4 seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 36282 . . 3 ((𝜑𝑤𝑋) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
193, 18exlimddv 1938 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
20 oveq12 7366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2120adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2213adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
2321, 22eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24 cmetmet 24650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
254, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝑋)
28 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑦𝑋)
29 metcl 23685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
317rpred 12957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3231ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332, 30remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
3430, 33suble0d 11746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
3523, 34mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36 1cnd 11150 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
3732recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3830recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
3936, 37, 38subdird 11612 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4038mulid2d 11173 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
4140oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4239, 41eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43 1re 11155 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4543, 31, 44sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
4847mul01d 11354 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
4935, 42, 483brtr4d 5137 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50 0red 11158 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51 posdif 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
5231, 43, 51sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
539, 52mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55 lemul2 12008 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5630, 50, 46, 54, 55syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5749, 56mpbird 256 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58 metge0 23698 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
5926, 27, 28, 58syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
61 letri3 11240 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6230, 60, 61sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6357, 59, 62mpbir2and 711 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64 meteq0 23692 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6526, 27, 28, 64syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6663, 65mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
6766ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
6867ralrimivva 3197 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
7169, 70eqeq12d 2752 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
7271anbi1d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)))
73 equequ1 2028 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦𝑧 = 𝑦))
7472, 73imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7574ralbidv 3174 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7675cbvralvw 3225 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
7768, 76sylib 217 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78 fveq2 6842 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
79 id 22 . . . 4 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
8078, 79eqeq12d 2752 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
8180reu4 3689 . 2 (∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
8219, 77, 81sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ∃!wreu 3351  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  1st c1st 7919  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  +crp 12915  seqcseq 13906  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  CMetccmet 24618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator