Theorem bfp 37806

Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
bfp	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
2		n0 4306	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
4		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
6	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7		bfp.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9		bfp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
13		bfp.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
18	5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17	bfplem2 37805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
19	3, 18	exlimddv 1935	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
20		oveq12 7362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
22	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
23	21, 22	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24		cmetmet 25202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
28		simplrr 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
29		metcl 24236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
31	7	rpred 12955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32, 30	remulcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
34	30, 33	suble0d 11729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
35	23, 34	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36		1cnd 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
37	32	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
38	30	recnd 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
39	36, 37, 38	subdird 11595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
40	38	mullidd 11152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
41	40	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
42	39, 41	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43		1re 11134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		resubcl 11446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
45	43, 31, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
48	47	mul01d 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
49	35, 42, 48	3brtr4d 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50		0red 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51		posdif 11631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
52	31, 43, 51	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
53	9, 52	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55		lemul2 11995	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
56	30, 50, 46, 54, 55	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
57	49, 56	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58		metge0 24249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
59	26, 27, 28, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60		0re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		letri3 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
62	30, 60, 61	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63	57, 59, 62	mpbir2and 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64		meteq0 24243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
65	26, 27, 28, 64	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
66	63, 65	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
67	66	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
68	67	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69		fveq2 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
71	69, 70	eqeq12d 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
72	71	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)))
73		equequ1 2025	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
74	72, 73	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
75	74	ralbidv 3152	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
76	75	cbvralvw 3207	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
77	68, 76	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78		fveq2 6826	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
79		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦)
80	78, 79	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑦) = 𝑦))
81	80	reu4 3693	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
82	19, 77, 81	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  ∃!wreu 3343  ∅c0 4286  {csn 4579   class class class wbr 5095   × cxp 5621   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕcn 12146  ℝ⁺crp 12911  seqcseq 13926  Metcmet 21265  MetOpencmopn 21269  CMetccmet 25170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-ntr 22923  df-nei 23001  df-lm 23132  df-haus 23218  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-cfil 25171  df-cau 25172  df-cmet 25173

This theorem is referenced by: (None)