Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bfp 34242
 Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
bfp (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
2 n0 4158 . . . 4 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑋)
31, 2sylib 210 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤 𝑤𝑋)
4 bfp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
54adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
61adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
87adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9 bfp.5 . . . . 5 (𝜑𝐾 < 1)
109adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐾 < 1)
11 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
1211adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑋)
13 bfp.7 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
1413adantlr 705 . . . 4 (((𝜑𝑤𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15 eqid 2777 . . . 4 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
17 eqid 2777 . . . 4 seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 34241 . . 3 ((𝜑𝑤𝑋) → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
193, 18exlimddv 1978 . 2 (𝜑 → ∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
20 oveq12 6931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2120adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
2213adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
2321, 22eqbrtrrd 4910 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24 cmetmet 23492 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
254, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2625ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27 simplrl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝑋)
28 simplrr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑦𝑋)
29 metcl 22545 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
317rpred 12181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
3231ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332, 30remulcld 10407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
3430, 33suble0d 10966 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
3523, 34mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36 1cnd 10371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
3732recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3830recnd 10405 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
3936, 37, 38subdird 10832 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4038mulid2d 10395 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
4140oveq1d 6937 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
4239, 41eqtrd 2813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43 1re 10376 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 resubcl 10687 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4543, 31, 44sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4645ad2antrr 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 10405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
4847mul01d 10575 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
4935, 42, 483brtr4d 4918 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50 0red 10380 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51 posdif 10868 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
5231, 43, 51sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
539, 52mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
5453ad2antrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55 lemul2 11230 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5630, 50, 46, 54, 55syl112anc 1442 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
5749, 56mpbird 249 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58 metge0 22558 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
5926, 27, 28, 58syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60 0re 10378 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
61 letri3 10462 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6230, 60, 61sylancl 580 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
6357, 59, 62mpbir2and 703 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64 meteq0 22552 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6526, 27, 28, 64syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
6663, 65mpbid 224 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ ((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
6766ex 403 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
6867ralrimivva 3152 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69 fveq2 6446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
70 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
7169, 70eqeq12d 2792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
7271anbi1d 623 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦)))
73 equequ1 2071 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦𝑧 = 𝑦))
7472, 73imbi12d 336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7574ralbidv 3167 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
7675cbvralv 3366 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
7768, 76sylib 210 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78 fveq2 6446 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
79 id 22 . . . 4 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
8078, 79eqeq12d 2792 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
8180reu4 3611 . 2 (∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦𝑋 (((𝐹𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
8219, 77, 81sylanbrc 578 1 (𝜑 → ∃!𝑧𝑋 (𝐹𝑧) = 𝑧)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3091  ∅c0 4140  {csn 4397   class class class wbr 4886   × cxp 5353   ∘ ccom 5359  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1st c1st 7443  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606  ℕcn 11374  ℝ+crp 12137  seqcseq 13119  Metcmet 20128  MetOpencmopn 20132  CMetccmet 23460 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-rest 16469  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-ntr 21232  df-nei 21310  df-lm 21441  df-haus 21527  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator