Theorem bfp 36283

Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if 𝐹 has two fixed points, then the distance between them is less than 𝐾 times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
bfp.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
bfp.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
bfp.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
bfp	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem bfp

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
2		n0 4306	. . . 4 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑋)
4		bfp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
6	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑋 ≠ ∅)
7		bfp.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 ∈ ℝ+)
9		bfp.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐾 < 1)
11		bfp.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑋)
13		bfp.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
14	13	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
16		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤})) = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝑤}))
18	5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17	bfplem2 36282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
19	3, 18	exlimddv 1938	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)
20		oveq12 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
22	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹‘𝑥)𝐷(𝐹‘𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
23	21, 22	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
24		cmetmet 24650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
25	4, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
26	25	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
27		simplrl 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
28		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
29		metcl 23685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ)
31	7	rpred 12957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
32	31	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32, 30	remulcld 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ∈ ℝ)
34	30, 33	suble0d 11746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0 ↔ (𝑥𝐷𝑦) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
35	23, 34	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) ≤ 0)
36		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 1 ∈ ℂ)
37	32	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝐾 ∈ ℂ)
38	30	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ∈ ℂ)
39	36, 37, 38	subdird 11612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
40	38	mulid2d 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝑥𝐷𝑦))
41	40	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 · (𝑥𝐷𝑦)) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
42	39, 41	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) = ((𝑥𝐷𝑦) − (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦))))
43		1re 11155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
44		resubcl 11465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
45	43, 31, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
48	47	mul01d 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · 0) = 0)
49	35, 42, 48	3brtr4d 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0))
50		0red 11158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ∈ ℝ)
51		posdif 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
52	31, 43, 51	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝐾)))
53	9, 52	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − 𝐾))
54	53	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 < (1 − 𝐾))
55		lemul2 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ ((1 − 𝐾) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝐾))) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
56	30, 50, 46, 54, 55	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ↔ ((1 − 𝐾) · (𝑥𝐷𝑦)) ≤ ((1 − 𝐾) · 0)))
57	49, 56	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) ≤ 0)
58		metge0 23698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
59	26, 27, 28, 58	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))
60		0re 11157	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		letri3 11240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥𝐷𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
62	30, 60, 61	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ ((𝑥𝐷𝑦) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (𝑥𝐷𝑦))))
63	57, 59, 62	mpbir2and 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → (𝑥𝐷𝑦) = 0)
64		meteq0 23692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
65	26, 27, 28, 64	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → ((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
66	63, 65	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
67	66	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
68	67	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
69		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
70		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
71	69, 70	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑧))
72	71	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦)))
73		equequ1 2028	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
74	72, 73	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
75	74	ralbidv 3174	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
76	75	cbvralvw 3225	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑥) = 𝑥 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
77	68, 76	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦))
78		fveq2 6842	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
79		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → 𝑧 = 𝑦)
80	78, 79	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (𝐹‘𝑦) = 𝑦))
81	80	reu4 3689	. 2 ⊢ (∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ↔ (∃𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝐹‘𝑧) = 𝑧 ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑦) → 𝑧 = 𝑦)))
82	19, 77, 81	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑧) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃!wreu 3351  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1^st c1st 7919  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℝ⁺crp 12915  seqcseq 13906  Metcmet 20782  MetOpencmopn 20786  CMetccmet 24618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-nei 22449  df-lm 22580  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621

This theorem is referenced by: (None)