Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem10 36217
Description: Lemma for heibor 36218. The last remaining piece of the proof is to find an element 𝐢 such that 𝐢𝐺0, i.e. 𝐢 is an element of (πΉβ€˜0) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 36208, since (πΉβ€˜0) is a finite cover of 𝑋, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of π‘ˆ that covers 𝑋, i.e. 𝑋 is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
Assertion
Ref Expression
heiborlem10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝑒,𝐹   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧,𝐷   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘š)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2 0nn0 12386 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
3 inss2 4187 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) βŠ† Fin
4 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
53, 4sselid 3940 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
61, 2, 5sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
7 heibor.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
8 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜0))
9 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (𝑦𝐡𝑛) = (𝑦𝐡0))
108, 9iuneq12d 4980 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1110eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)))
1211rspccva 3578 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
137, 2, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
14 eqimss 3998 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
18 ovex 7384 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐡0) ∈ V
1916, 17, 18heiborlem1 36208 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾)
20 oveq1 7358 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝐡0) = (π‘₯𝐡0))
2120eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2221cbvrexvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
2319, 22sylib 217 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
24233expia 1121 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
256, 15, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2625adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
28 vex 3447 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
29 c0ex 11107 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 36209 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐺0 ↔ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 36210 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3532ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
361ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
377ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
39 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘‘))
40 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (2nd β€˜π‘₯) = (2nd β€˜π‘‘))
4140oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((2nd β€˜π‘₯) + 1) = ((2nd β€˜π‘‘) + 1))
4239, 41breq12d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ↔ (π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
43 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π΅β€˜π‘₯) = (π΅β€˜π‘‘))
4439, 41oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1)) = ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
4543, 44ineq12d 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) = ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))))
4645eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4742, 46anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾)))
4847cbvralvw 3223 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4938, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘₯𝐺0)
51 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 = 0 ↔ π‘š = 0))
52 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 βˆ’ 1) = (π‘š βˆ’ 1))
5351, 52ifbieq2d 4510 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = π‘š β†’ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)) = if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
5453cbvmptv 5216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
55 seqeq3 13865 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))) β†’ seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))))
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
58 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
59 cmetmet 24602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
60 metxmet 23639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6116mopnuni 23746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6232, 59, 60, 614syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)
6563, 64eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6716, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66heiborlem9 36216 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
6867expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
6968exlimdv 1936 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7034, 69mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
7130, 70sylan2br 595 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
72713exp2 1354 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (0 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))))
732, 72mpi 20 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)))
7473rexlimdv 3148 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7526, 74syld 47 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7675pm2.01d 189 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
77 elfvdm 6876 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
78 sseq1 3967 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
7978rexbidv 3173 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8079notbid 317 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8180, 17elab2g 3630 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom CMet β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8232, 77, 813syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8382adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8483con2bid 354 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
8576, 84mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣)
8662ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8786sseq1d 3973 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣))
88 inss1 4186 . . . . . . . . 9 (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) βŠ† 𝒫 π‘ˆ
8988sseli 3938 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
9089elpwid 4567 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† π‘ˆ)
91 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
92 sstr 3950 . . . . . . . 8 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐽)
9392unissd 4873 . . . . . . 7 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9490, 91, 93syl2anr 597 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9594biantrud 532 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
96 eqss 3957 . . . . 5 (βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9795, 96bitr4di 288 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9887, 97bitrd 278 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9998rexbidva 3171 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
10085, 99mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  {cab 2714  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  ifcif 4484  π’« cpw 4558  βŸ¨cop 4590  βˆͺ cuni 4863  βˆͺ ciun 4952   class class class wbr 5103  {copab 5165   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5631  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353  2nd c2nd 7912  Fincfn 8841  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   βˆ’ cmin 11343   / cdiv 11770  β„•cn 12111  2c2 12166  3c3 12167  β„•0cn0 12371  seqcseq 13860  β†‘cexp 13921  βˆžMetcxmet 20734  Metcmet 20735  ballcbl 20736  MetOpencmopn 20739  CMetccmet 24570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-acn 9836  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fl 13651  df-seq 13861  df-exp 13922  df-rest 17264  df-topgen 17285  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-lm 22532  df-haus 22618  df-fil 23149  df-fm 23241  df-flim 23242  df-flf 23243  df-cfil 24571  df-cau 24572  df-cmet 24573
This theorem is referenced by:  heibor  36218
  Copyright terms: Public domain W3C validator