Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem10 36991
Description: Lemma for heibor 36992. The last remaining piece of the proof is to find an element 𝐢 such that 𝐢𝐺0, i.e. 𝐢 is an element of (πΉβ€˜0) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 36982, since (πΉβ€˜0) is a finite cover of 𝑋, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of π‘ˆ that covers 𝑋, i.e. 𝑋 is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
Assertion
Ref Expression
heiborlem10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝑒,𝐹   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧,𝐷   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘š)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2 0nn0 12491 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
3 inss2 4228 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) βŠ† Fin
4 ffvelcdm 7082 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
53, 4sselid 3979 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
61, 2, 5sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
7 heibor.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
8 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜0))
9 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (𝑦𝐡𝑛) = (𝑦𝐡0))
108, 9iuneq12d 5024 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1110eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)))
1211rspccva 3610 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
137, 2, 12sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
14 eqimss 4039 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
18 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐡0) ∈ V
1916, 17, 18heiborlem1 36982 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾)
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝐡0) = (π‘₯𝐡0))
2120eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2221cbvrexvw 3233 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
2319, 22sylib 217 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
24233expia 1119 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
256, 15, 24syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2625adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
28 vex 3476 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
29 c0ex 11212 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 36983 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐺0 ↔ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 36984 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3433ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3532ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
361ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
377ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
38 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
39 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘‘))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (2nd β€˜π‘₯) = (2nd β€˜π‘‘))
4140oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((2nd β€˜π‘₯) + 1) = ((2nd β€˜π‘‘) + 1))
4239, 41breq12d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ↔ (π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
43 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π΅β€˜π‘₯) = (π΅β€˜π‘‘))
4439, 41oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1)) = ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
4543, 44ineq12d 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) = ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))))
4645eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4742, 46anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾)))
4847cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4938, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
50 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘₯𝐺0)
51 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 = 0 ↔ π‘š = 0))
52 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 βˆ’ 1) = (π‘š βˆ’ 1))
5351, 52ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = π‘š β†’ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)) = if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
5453cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
55 seqeq3 13975 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))) β†’ seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))))
57 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
58 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
59 cmetmet 25034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
60 metxmet 24060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6116mopnuni 24167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6232, 59, 60, 614syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6362adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)
6563, 64eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6716, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66heiborlem9 36990 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
6867expr 455 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
6968exlimdv 1934 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7034, 69mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
7130, 70sylan2br 593 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
72713exp2 1352 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (0 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))))
732, 72mpi 20 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)))
7473rexlimdv 3151 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7526, 74syld 47 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7675pm2.01d 189 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
77 elfvdm 6927 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
78 sseq1 4006 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
7978rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8079notbid 317 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8180, 17elab2g 3669 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom CMet β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8232, 77, 813syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8382adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8483con2bid 353 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
8576, 84mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣)
8662ad2antrr 722 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8786sseq1d 4012 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣))
88 inss1 4227 . . . . . . . . 9 (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) βŠ† 𝒫 π‘ˆ
8988sseli 3977 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
9089elpwid 4610 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† π‘ˆ)
91 simprl 767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
92 sstr 3989 . . . . . . . 8 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐽)
9392unissd 4917 . . . . . . 7 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9490, 91, 93syl2anr 595 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9594biantrud 530 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
96 eqss 3996 . . . . 5 (βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9795, 96bitr4di 288 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9887, 97bitrd 278 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9998rexbidva 3174 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
10085, 99mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  π’« cpw 4601  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147  {copab 5209   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  2nd c2nd 7976  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  CMetccmet 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lm 22953  df-haus 23039  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005
This theorem is referenced by:  heibor  36992
  Copyright terms: Public domain W3C validator