Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem10 36688
Description: Lemma for heibor 36689. The last remaining piece of the proof is to find an element 𝐢 such that 𝐢𝐺0, i.e. 𝐢 is an element of (πΉβ€˜0) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 36679, since (πΉβ€˜0) is a finite cover of 𝑋, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of π‘ˆ that covers 𝑋, i.e. 𝑋 is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
heibor.3 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
heibor.6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
heibor.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
Assertion
Ref Expression
heiborlem10 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝑒,𝐹   π‘š,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧,𝐷   𝐡,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦   π‘š,𝐽,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   π‘š,𝑋,𝑛,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧   𝑛,𝐾,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐡(𝑧,π‘š)   π‘ˆ(π‘š)   𝐹(𝑧,𝑣,π‘š)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑒,π‘š,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑒,π‘š)

Proof of Theorem heiborlem10
Dummy variables 𝑑 π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.7 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
2 0nn0 12487 . . . . . . . 8 0 ∈ β„•0
3 inss2 4230 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑋 ∩ Fin) βŠ† Fin
4 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
53, 4sselid 3981 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
61, 2, 5sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ Fin)
7 heibor.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
8 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜0))
9 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 β†’ (𝑦𝐡𝑛) = (𝑦𝐡0))
108, 9iuneq12d 5026 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1110eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ↔ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)))
1211rspccva 3612 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛) ∧ 0 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
137, 2, 12sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
14 eqimss 4041 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0))
16 heibor.1 . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
17 heibor.3 . . . . . . . . . 10 𝐾 = {𝑒 ∣ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣}
18 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐡0) ∈ V
1916, 17, 18heiborlem1 36679 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾)
20 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝐡0) = (π‘₯𝐡0))
2120eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2221cbvrexvw 3236 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∈ 𝐾 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
2319, 22sylib 217 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0) ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)
24233expia 1122 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜0) ∈ Fin ∧ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜0)(𝑦𝐡0)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
256, 15, 24syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
2625adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
27 heibor.4 . . . . . . . . . 10 𝐺 = {βŸ¨π‘¦, π‘›βŸ© ∣ (𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›) ∧ (𝑦𝐡𝑛) ∈ 𝐾)}
28 vex 3479 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
29 c0ex 11208 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3016, 17, 27, 28, 29heiborlem2 36680 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐺0 ↔ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾))
31 heibor.5 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (𝑧 ∈ 𝑋, π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑧(ballβ€˜π·)(1 / (2β†‘π‘š))))
32 heibor.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
3316, 17, 27, 31, 32, 1, 7heiborlem3 36681 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
3532ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
361ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ 𝐹:β„•0⟢(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
377ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 𝑋 = βˆͺ 𝑦 ∈ (πΉβ€˜π‘›)(𝑦𝐡𝑛))
38 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π‘”β€˜π‘₯) = (π‘”β€˜π‘‘))
40 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (2nd β€˜π‘₯) = (2nd β€˜π‘‘))
4140oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((2nd β€˜π‘₯) + 1) = ((2nd β€˜π‘‘) + 1))
4239, 41breq12d 5162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ↔ (π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (π΅β€˜π‘₯) = (π΅β€˜π‘‘))
4439, 41oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1)) = ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1)))
4543, 44ineq12d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) = ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))))
4645eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾 ↔ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4742, 46anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾)))
4847cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
4938, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘‘)𝐺((2nd β€˜π‘‘) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘‘) ∩ ((π‘”β€˜π‘‘)𝐡((2nd β€˜π‘‘) + 1))) ∈ 𝐾))
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘₯𝐺0)
51 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 = 0 ↔ π‘š = 0))
52 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 = π‘š β†’ (𝑔 βˆ’ 1) = (π‘š βˆ’ 1))
5351, 52ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = π‘š β†’ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)) = if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
5453cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))
55 seqeq3 13971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))) β†’ seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1)))))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1)))) = seq0(𝑔, (π‘š ∈ β„•0 ↦ if(π‘š = 0, π‘₯, (π‘š βˆ’ 1))))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ⟨(seq0(𝑔, (𝑔 ∈ β„•0 ↦ if(𝑔 = 0, π‘₯, (𝑔 βˆ’ 1))))β€˜π‘›), (3 / (2↑𝑛))⟩)
58 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
59 cmetmet 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
60 metxmet 23840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6116mopnuni 23947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6232, 59, 60, 614syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6362adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
64 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)
6563, 64eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ βˆͺ π‘ˆ = 𝑋)
6716, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66heiborlem9 36687 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (π‘₯𝐺0 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾))) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
6867expr 458 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
6968exlimdv 1937 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ (βˆƒπ‘”βˆ€π‘₯ ∈ 𝐺 ((π‘”β€˜π‘₯)𝐺((2nd β€˜π‘₯) + 1) ∧ ((π΅β€˜π‘₯) ∩ ((π‘”β€˜π‘₯)𝐡((2nd β€˜π‘₯) + 1))) ∈ 𝐾) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7034, 69mpd 15 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ π‘₯𝐺0) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
7130, 70sylan2br 596 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ (0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) ∧ (π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
72713exp2 1355 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (0 ∈ β„•0 β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))))
732, 72mpi 20 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯ ∈ (πΉβ€˜0) β†’ ((π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)))
7473rexlimdv 3154 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (πΉβ€˜0)(π‘₯𝐡0) ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7526, 74syld 47 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
7675pm2.01d 189 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾)
77 elfvdm 6929 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom CMet)
78 sseq1 4008 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑋 β†’ (𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ 𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
7978rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8079notbid 318 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑋 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑒 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8180, 17elab2g 3671 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom CMet β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8232, 77, 813syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8382adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐾 ↔ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣))
8483con2bid 355 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐾))
8576, 84mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣)
8662ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
8786sseq1d 4014 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣))
88 inss1 4229 . . . . . . . . 9 (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) βŠ† 𝒫 π‘ˆ
8988sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 π‘ˆ)
9089elpwid 4612 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin) β†’ 𝑣 βŠ† π‘ˆ)
91 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
92 sstr 3991 . . . . . . . 8 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐽)
9392unissd 4919 . . . . . . 7 ((𝑣 βŠ† π‘ˆ ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐽) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9490, 91, 93syl2anr 598 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)
9594biantrud 533 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽)))
96 eqss 3998 . . . . 5 (βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣 ↔ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ∧ βˆͺ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝐽))
9795, 96bitr4di 289 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (βˆͺ 𝐽 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9887, 97bitrd 279 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)) β†’ (𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
9998rexbidva 3177 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)𝑋 βŠ† βˆͺ 𝑣 ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣))
10085, 99mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝐽 ∧ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝒫 π‘ˆ ∩ Fin)βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149  {copab 5211   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  CMetccmet 24771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lm 22733  df-haus 22819  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774
This theorem is referenced by:  heibor  36689
  Copyright terms: Public domain W3C validator