Theorem heiborlem9 37781

Description: Lemma for heibor 37783. Discharge the hypotheses of heiborlem8 37780 by applying caubl 25363 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
heiborlem9.14	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem9	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9

Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		heibor.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24472	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16		heibor.12	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
17	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem5 37777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
18	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem6 37778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘𝑘)))
19	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem7 37779	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
21	4, 17, 18, 20	caubl 25363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
22	5	cmetcau 25344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
23	1, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
24	5	methaus 24556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
26		lmfun 23412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
27		funfvbrb 7086	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
29	23, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
30		lmcl 23328	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
31	7, 29, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
32		heiborlem9.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)
33	31, 32	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈)
34		eluni2 4935	. . 3 ⊢ (((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
35	33, 34	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
36	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
37	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
39	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
40	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41		heibor.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
43		fvex 6935	. . 3 ⊢ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ V
44		simprr 772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
45		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
46	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
47	5, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46	heiborlem8 37780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
48	35, 47	rexlimddv 3167	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704  Fun wfun 6569  ⟶wf 6571  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450   ∈ cmpo 7452  1^st c1st 8030  2^nd c2nd 8031  Fincfn 9005  0cc0 11186  1c1 11187   + caddc 11189   < clt 11326   − cmin 11522   / cdiv 11949  ℕcn 12295  2c2 12350  3c3 12351  ℕ₀cn0 12555  ℝ⁺crp 13059  seqcseq 14054  ↑cexp 14114  ∞Metcxmet 21374  Metcmet 21375  ballcbl 21376  MetOpencmopn 21379  TopOnctopon 22939  ⇝_𝑡clm 23257  Hauscha 23339  Cauccau 25308  CMetccmet 25309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-pre-sup 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-pm 8889  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11950  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-q 13016  df-rp 13060  df-xneg 13177  df-xadd 13178  df-xmul 13179  df-ico 13415  df-icc 13416  df-fl 13845  df-seq 14055  df-exp 14115  df-rest 17484  df-topgen 17505  df-psmet 21381  df-xmet 21382  df-met 21383  df-bl 21384  df-mopn 21385  df-fbas 21386  df-fg 21387  df-top 22923  df-topon 22940  df-bases 22976  df-cld 23050  df-ntr 23051  df-cls 23052  df-nei 23129  df-lm 23260  df-haus 23346  df-fil 23877  df-fm 23969  df-flim 23970  df-flf 23971  df-cfil 25310  df-cau 25311  df-cmet 25312

This theorem is referenced by:  heiborlem10  37782