Theorem heiborlem9 38395

Description: Lemma for heibor 38397. Discharge the hypotheses of heiborlem8 38394 by applying caubl 25438 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
heiborlem9.14	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem9	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9

Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		heibor.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24567	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	4, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16		heibor.12	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
17	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem5 38391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
18	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem6 38392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘𝑘)))
19	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem7 38393	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
21	4, 17, 18, 20	caubl 25438	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
22	5	cmetcau 25419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
23	1, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
24	5	methaus 24648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
25	4, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
26		lmfun 23509	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
27		funfvbrb 7049	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
29	23, 28	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
30		lmcl 23425	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
31	7, 29, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
32		heiborlem9.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)
33	31, 32	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈)
34		eluni2 4880	. . 3 ⊢ (((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
35	33, 34	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
36	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
37	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
39	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
40	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41		heibor.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
42	41	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
43		fvex 6897	. . 3 ⊢ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ V
44		simprr 784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
45		simprl 782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
46	29	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
47	5, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46	heiborlem8 38394	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
48	35, 47	rexlimddv 3178	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876  ∪ ciun 4960   class class class wbr 5113  {copab 5177   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5664   ∘ ccom 5668  Fun wfun 6533  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1^st c1st 7986  2^nd c2nd 7987  Fincfn 8945  0cc0 11102  1c1 11103   + caddc 11105   < clt 11245   − cmin 11443   / cdiv 11873  ℕcn 12235  2c2 12297  3c3 12298  ℕ₀cn0 12506  ℝ⁺crp 13018  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  ∞Metcxmet 21478  Metcmet 21479  ballcbl 21480  MetOpencmopn 21483  TopOnctopon 23038  ⇝_𝑡clm 23354  Hauscha 23436  Cauccau 25383  CMetccmet 25384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-rest 17477  df-topgen 17498  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-fbas 21490  df-fg 21491  df-top 23022  df-topon 23039  df-bases 23074  df-cld 23147  df-ntr 23148  df-cls 23149  df-nei 23226  df-lm 23357  df-haus 23443  df-fil 23974  df-fm 24066  df-flim 24067  df-flf 24068  df-cfil 25385  df-cau 25386  df-cmet 25387

This theorem is referenced by:  heiborlem10  38396