Theorem heiborlem9 36991

Description: Lemma for heibor 36993. Discharge the hypotheses of heiborlem8 36990 by applying caubl 25057 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3	⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
heibor.4	⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5	⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10	⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
heibor.11	⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12	⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
heiborlem9.14	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
heiborlem9	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9

Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		cmetmet 25035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		metxmet 24061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		heibor.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
6	5	mopntopon 24166	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8		heibor.3	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 ⊆ ∪ 𝑣}
9		heibor.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10		heibor.5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝑧 ∈ 𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11		heibor.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12		heibor.8	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13		heibor.9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14		heibor.10	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝐺0)
15		heibor.11	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16		heibor.12	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆‘𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
17	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem5 36987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
18	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem6 36988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘𝑘)))
19	5, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16	heiborlem7 36989	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀‘𝑘)) < 𝑟)
21	4, 17, 18, 20	caubl 25057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
22	5	cmetcau 25038	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
23	1, 21, 22	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽))
24	5	methaus 24250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Haus)
26		lmfun 23106	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘𝐽))
27		funfvbrb 7052	. . . . . . 7 ⊢ (Fun (⇝𝑡‘𝐽) → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1st ∘ 𝑀) ∈ dom (⇝𝑡‘𝐽) ↔ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))))
29	23, 28	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
30		lmcl 23022	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀))) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
31	7, 29, 30	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑋)
32		heiborlem9.14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑈 = 𝑋)
33	31, 32	eleqtrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈)
34		eluni2 4912	. . 3 ⊢ (((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ ∪ 𝑈 ↔ ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
35	33, 34	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑈 ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
36	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
37	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
38	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = ∪ 𝑦 ∈ (𝐹‘𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
39	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥 ∈ 𝐺 ((𝑇‘𝑥)𝐺((2nd ‘𝑥) + 1) ∧ ((𝐵‘𝑥) ∩ ((𝑇‘𝑥)𝐵((2nd ‘𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
40	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41		heibor.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈 ⊆ 𝐽)
43		fvex 6904	. . 3 ⊢ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ V
44		simprr 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)
45		simprl 768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝑈)
46	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st ∘ 𝑀)(⇝𝑡‘𝐽)((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)))
47	5, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46	heiborlem8 36990	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ 𝑈 ∧ ((⇝𝑡‘𝐽)‘(1st ∘ 𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
48	35, 47	rexlimddv 3160	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602  ⟨cop 4634  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7977  2^nd c2nd 7978  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  2c2 12272  3c3 12273  ℕ₀cn0 12477  ℝ⁺crp 12979  seqcseq 13971  ↑cexp 14032  ∞Metcxmet 21130  Metcmet 21131  ballcbl 21132  MetOpencmopn 21135  TopOnctopon 22633  ⇝_𝑡clm 22951  Hauscha 23033  Cauccau 25002  CMetccmet 25003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lm 22954  df-haus 23040  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-cfil 25004  df-cau 25005  df-cmet 25006

This theorem is referenced by:  heiborlem10  36992