Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  heiborlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem heiborlem9 35257
Description: Lemma for heibor 35259. Discharge the hypotheses of heiborlem8 35256 by applying caubl 23912 to get a convergent point and adding the open cover assumption. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
heibor.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
heibor.3 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
heibor.4 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
heibor.5 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
heibor.6 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
heibor.7 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
heibor.8 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
heibor.9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
heibor.10 (𝜑𝐶𝐺0)
heibor.11 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
heibor.12 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
heibor.13 (𝜑𝑈𝐽)
heiborlem9.14 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
heiborlem9 (𝜑𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦,𝑢,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑚,𝑀,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑚,𝐽,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑦,𝑧   𝑆,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑋,𝑛,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑚,𝑛,𝑢,𝑣,𝑦   𝑛,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑧,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑧)   𝑇(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑚)   𝐹(𝑧,𝑣,𝑚)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑚,𝑛)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑚)   𝑀(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem heiborlem9
Dummy variables 𝑡 𝑘 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 heibor.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 23890 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22941 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41, 2, 33syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 heibor.1 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
65mopntopon 23046 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8 heibor.3 . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑢 ∣ ¬ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝑈 ∩ Fin)𝑢 𝑣}
9 heibor.4 . . . . . . . . 9 𝐺 = {⟨𝑦, 𝑛⟩ ∣ (𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (𝐹𝑛) ∧ (𝑦𝐵𝑛) ∈ 𝐾)}
10 heibor.5 . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝑧𝑋, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧(ball‘𝐷)(1 / (2↑𝑚))))
11 heibor.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
12 heibor.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
13 heibor.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
14 heibor.10 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐺0)
15 heibor.11 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq0(𝑇, (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑚 = 0, 𝐶, (𝑚 − 1))))
16 heibor.12 . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨(𝑆𝑛), (3 / (2↑𝑛))⟩)
175, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem5 35253 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:ℕ⟶(𝑋 × ℝ+))
185, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem6 35254 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ((ball‘𝐷)‘(𝑀‘(𝑘 + 1))) ⊆ ((ball‘𝐷)‘(𝑀𝑘)))
195, 8, 9, 10, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16heiborlem7 35255 . . . . . . . . 9 𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ (2nd ‘(𝑀𝑘)) < 𝑟)
214, 17, 18, 20caubl 23912 . . . . . . 7 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷))
225cmetcau 23893 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ (1st𝑀) ∈ (Cau‘𝐷)) → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
231, 21, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
245methaus 23127 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
26 lmfun 21986 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
27 funfvbrb 6798 . . . . . . 7 (Fun (⇝𝑡𝐽) → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2825, 26, 273syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((1st𝑀) ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))))
2923, 28mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
30 lmcl 21902 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀))) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
317, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑋)
32 heiborlem9.14 . . . 4 (𝜑 𝑈 = 𝑋)
3331, 32eleqtrrd 2893 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈)
34 eluni2 4804 . . 3 (((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
3533, 34sylib 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑈 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
361adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
3711adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐹:ℕ0⟶(𝒫 𝑋 ∩ Fin))
3812adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 𝑋 = 𝑦 ∈ (𝐹𝑛)(𝑦𝐵𝑛))
3913adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ∀𝑥𝐺 ((𝑇𝑥)𝐺((2nd𝑥) + 1) ∧ ((𝐵𝑥) ∩ ((𝑇𝑥)𝐵((2nd𝑥) + 1))) ∈ 𝐾))
4014adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝐶𝐺0)
41 heibor.13 . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
4241adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑈𝐽)
43 fvex 6658 . . 3 ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ V
44 simprr 772 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)
45 simprl 770 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝑡𝑈)
4629adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → (1st𝑀)(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)))
475, 8, 9, 10, 36, 37, 38, 39, 40, 15, 16, 42, 43, 44, 45, 46heiborlem8 35256 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑡𝑈 ∧ ((⇝𝑡𝐽)‘(1st𝑀)) ∈ 𝑡)) → 𝜓)
4835, 47rexlimddv 3250 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  {cab 2776  wral 3106  wrex 3107  cin 3880  wss 3881  ifcif 4425  𝒫 cpw 4497  cop 4531   cuni 4800   ciun 4881   class class class wbr 5030  {copab 5092  cmpt 5110  dom cdm 5519  ccom 5523  Fun wfun 6318  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  cmpo 7137  1st c1st 7669  2nd c2nd 7670  Fincfn 8492  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  0cn0 11885  +crp 12377  seqcseq 13364  cexp 13425  ∞Metcxmet 20076  Metcmet 20077  ballcbl 20078  MetOpencmopn 20081  TopOnctopon 21515  𝑡clm 21831  Hauscha 21913  Cauccau 23857  CMetccmet 23858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lm 21834  df-haus 21920  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-cfil 23859  df-cau 23860  df-cmet 23861
This theorem is referenced by:  heiborlem10  35258
  Copyright terms: Public domain W3C validator