MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcth2 24697
Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem bcth2
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 simprl 770 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
3 cmetmet 24653 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 metxmet 23690 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 bcth.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopntopon 23795 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
84, 5, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 topontop 22265 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
11 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)
12 toponmax 22278 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
1411, 13eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆͺ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15 isopn3i 22436 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ ran 𝑀 ∈ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆͺ ran 𝑀)
1610, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆͺ ran 𝑀)
1716, 11eqtrd 2777 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = 𝑋)
18 simplr 768 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1917, 18eqnetrd 3012 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…)
206bcth 24696 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
211, 2, 19, 20syl3anc 1372 1 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„•cn 12154  βˆžMetcxmet 20784  Metcmet 20785  MetOpencmopn 20789  Topctop 22245  TopOnctopon 22262  Clsdccld 22370  intcnt 22371  CMetccmet 24621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-dc 10383  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ico 13271  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-fbas 20796  df-fg 20797  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lm 22583  df-fil 23200  df-fm 23292  df-flim 23293  df-flf 23294  df-cfil 24622  df-cau 24623  df-cmet 24624
This theorem is referenced by:  ubthlem1  29815
  Copyright terms: Public domain W3C validator