Theorem bcth2 24490

Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
bcth2	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bcth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		simprl 768	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
3		cmetmet 24446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 23483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		bcth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopntopon 23588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		topontop 22058	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
11		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 = 𝑋)
12		toponmax 22071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
14	11, 13	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15		isopn3i 22229	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
17	16, 11	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = 𝑋)
18		simplr 766	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
19	17, 18	eqnetrd 3013	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅)
20	6	bcth 24489	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1370	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067  ∅c0 4262  ∪ cuni 4845  ran crn 5590  ⟶wf 6427  ‘cfv 6431  ℕcn 11971  ∞Metcxmet 20578  Metcmet 20579  MetOpencmopn 20583  Topctop 22038  TopOnctopon 22055  Clsdccld 22163  intcnt 22164  CMetccmet 24414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-dc 10201  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-sup 9177  df-inf 9178  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ico 13082  df-rest 17129  df-topgen 17150  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-fbas 20590  df-fg 20591  df-top 22039  df-topon 22056  df-bases 22092  df-cld 22166  df-ntr 22167  df-cls 22168  df-nei 22245  df-lm 22376  df-fil 22993  df-fm 23085  df-flim 23086  df-flf 23087  df-cfil 24415  df-cau 24416  df-cmet 24417

This theorem is referenced by:  ubthlem1  29226