Theorem bcth2 25657

Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
bcth2	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bcth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
3		cmetmet 25613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 24659	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		bcth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopntopon 24764	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8	4, 5, 7	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		topontop 23237	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
11		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 = 𝑋)
12		toponmax 23250	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
13	8, 12	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
14	11, 13	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15		isopn3i 23406	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
16	10, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
17	16, 11	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = 𝑋)
18		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
19	17, 18	eqnetrd 3022	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅)
20	6	bcth 25656	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  ran crn 5651  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  ℕcn 12339  ∞Metcxmet 21669  Metcmet 21670  MetOpencmopn 21674  Topctop 23217  TopOnctopon 23234  Clsdccld 23340  intcnt 23341  CMetccmet 25581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-dc 10528  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ico 13486  df-rest 17599  df-topgen 17620  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-top 23218  df-topon 23235  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lm 23553  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-cfil 25582  df-cau 25583  df-cmet 25584

This theorem is used by:  ubthlem1  31478