Theorem bcth2 23934

Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
bcth.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
bcth2	⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝑀   𝑘,𝑋

Proof of Theorem bcth2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽))
3		cmetmet 23890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
5		metxmet 22941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6		bcth.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
7	6	mopntopon 23046	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
8	4, 5, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9		topontop 21518	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝐽 ∈ Top)
11		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 = 𝑋)
12		toponmax 21531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐽)
14	11, 13	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15		isopn3i 21687	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∪ ran 𝑀 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
16	10, 14, 15	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = ∪ ran 𝑀)
17	16, 11	eqtrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) = 𝑋)
18		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → 𝑋 ≠ ∅)
19	17, 18	eqnetrd 3054	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅)
20	6	bcth 23933	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ((int‘𝐽)‘∪ ran 𝑀) ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)
21	1, 2, 19, 20	syl3anc 1368	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑀:ℕ⟶(Clsd‘𝐽) ∧ ∪ ran 𝑀 = 𝑋)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((int‘𝐽)‘(𝑀‘𝑘)) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  ∪ cuni 4800  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  ℕcn 11625  ∞Metcxmet 20076  Metcmet 20077  MetOpencmopn 20081  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  Clsdccld 21621  intcnt 21622  CMetccmet 23858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-dc 9857  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lm 21834  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-cfil 23859  df-cau 23860  df-cmet 23861

This theorem is referenced by:  ubthlem1  28653