MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcth2 25271
Description: Baire's Category Theorem, version 2: If countably many closed sets cover 𝑋, then one of them has an interior. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
bcth.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
bcth2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐽   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem bcth2
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
2 simprl 770 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½))
3 cmetmet 25227 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
5 metxmet 24253 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6 bcth.2 . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
76mopntopon 24358 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
84, 5, 73syl 18 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
9 topontop 22828 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
108, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
11 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)
12 toponmax 22841 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
138, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
1411, 13eqeltrd 2829 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆͺ ran 𝑀 ∈ 𝐽)
15 isopn3i 22999 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆͺ ran 𝑀 ∈ 𝐽) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆͺ ran 𝑀)
1610, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = βˆͺ ran 𝑀)
1716, 11eqtrd 2768 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) = 𝑋)
18 simplr 768 . . 3 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
1917, 18eqnetrd 3005 . 2 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…)
206bcth 25270 . 2 ((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ ((intβ€˜π½)β€˜βˆͺ ran 𝑀) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
211, 2, 19, 20syl3anc 1369 1 (((𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑀:β„•βŸΆ(Clsdβ€˜π½) ∧ βˆͺ ran 𝑀 = 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• ((intβ€˜π½)β€˜(π‘€β€˜π‘˜)) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4908  ran crn 5679  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  β„•cn 12243  βˆžMetcxmet 21264  Metcmet 21265  MetOpencmopn 21269  Topctop 22808  TopOnctopon 22825  Clsdccld 22933  intcnt 22934  CMetccmet 25195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-dc 10470  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ico 13363  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lm 23146  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-cfil 25196  df-cau 25197  df-cmet 25198
This theorem is referenced by:  ubthlem1  30693
  Copyright terms: Public domain W3C validator