Theorem restt0 23308

Description: A subspace of a T₀ topology is T₀. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restt0	⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Kol2)

Proof of Theorem restt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 23271	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnt0 23288	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)):(𝐴 ∩ ∪ 𝐽)–1-1→(𝐴 ∩ ∪ 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 ∩ ∪ 𝐽)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Kol2)
3	1, 2	resthauslem 23305	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Kol2)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ∪ cuni 4861   I cid 5516   ↾ cres 5624  (class class class)co 7356   ↾_t crest 17338  Kol2ct0 23248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8763  df-en 8882  df-fin 8885  df-fi 9312  df-rest 17340  df-topgen 17361  df-top 22836  df-topon 22853  df-bases 22888  df-cn 23169  df-t0 23255

This theorem is referenced by: (None)