MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restt0 21966
Description: A subspace of a T0 topology is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
restt0 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Kol2)

Proof of Theorem restt0
StepHypRef Expression
1 t0top 21929 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
2 cnt0 21946 . 2 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)):(𝐴 𝐽)–1-1→(𝐴 𝐽) ∧ ( I ↾ (𝐴 𝐽)) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐽)) → (𝐽t 𝐴) ∈ Kol2)
31, 2resthauslem 21963 1 ((𝐽 ∈ Kol2 ∧ 𝐴𝑉) → (𝐽t 𝐴) ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2107  cin 3933   cuni 4830   I cid 5452  cres 5550  (class class class)co 7148  t crest 16686  Kol2ct0 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-fin 8505  df-fi 8867  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cn 21827  df-t0 21913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator