Theorem mhmlin 18715

Description: A monoid homomorphism commutes with composition. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmlin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
mhmlin.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
mhmlin.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mhmlin	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem mhmlin

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmlin.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
3		mhmlin.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
4		mhmlin.q	. . . . . 6 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ismhm 18707	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇))))
8	7	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g‘𝑆)) = (0g‘𝑇)))
9	8	simp2d 1141	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
10		fvoveq1 7434	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
11		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
12	11	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
13	10, 12	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
14		oveq2 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 + 𝑦) = (𝑋 + 𝑌))
15	14	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)))
16		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
17	16	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))
18	15, 17	eqeq12d 2746	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
19	13, 18	rspc2v 3621	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
20	9, 19	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌))))
21	20	3impib 1114	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ⨣ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389  Mndcmnd 18659   MndHom cmhm 18703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-mhm 18705

This theorem is referenced by:  mhmf1o  18718  resmhm  18737  resmhm2  18738  resmhm2b  18739  mhmco  18740  mhmimalem  18741  mhmeql  18743  pwsco2mhm  18750  gsumwmhm  18762  mhmmulg  19031  ghmmhmb  19141  cntzmhm  19246  gsumzmhm  19846  rhmmul  20377  rhmimasubrnglem  20453  evlslem1  21864  mpfind  21889  mhmvlin  22119  mdetunilem7  22340  dchrzrhmul  26985  dchrmulcl  26988  dchrn0  26989  dchrinvcl  26992  dchrsum2  27007  sum2dchr  27013  mhmimasplusg  32466  mhmhmeotmd  33205