MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ralima 7240
Description: Universal quantification under an image in terms of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexima.x (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ralima ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralima
StepHypRef Expression
1 fvexd 6907 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ V)
2 fvelimab 6965 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) = 𝑥))
3 eqcom 2740 . . . 4 ((𝐹𝑦) = 𝑥𝑥 = (𝐹𝑦))
43rexbii 3095 . . 3 (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝐹𝑦))
52, 4bitrdi 287 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝐹𝑦)))
6 rexima.x . . 3 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
76adantl 483 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑦)) → (𝜑𝜓))
81, 5, 7ralxfr2d 5409 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3949  cima 5680   Fn wfn 6539  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  supisolem  9468  ordtypelem6  9518  ordtypelem7  9519  limsupgle  15421  mrcuni  17565  ipodrsima  18494  mhmimalem  18705  ghmnsgima  19116  cntzmhm  19205  qtopeu  23220  kqdisj  23236  ghmcnp  23619  qustgplem  23625  qtopbaslem  24275  bndth  24474  fmcfil  24789  ovoliunlem1  25019  volsup2  25122  mbflimsup  25183  itg2gt0  25278  mdegleb  25582  efopn  26166  fsumdvdsmul  26699  imaelshi  31311  cvmopnlem  34269  ovoliunnfl  36530  voliunnfl  36532  volsupnfl  36533  gicabl  41841  mgmhmima  46572  rhmimasubrnglem  46744
  Copyright terms: Public domain W3C validator