MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ralima 7224
Description: Universal quantification under an image in terms of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexima.x (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ralima ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem ralima
StepHypRef Expression
1 fvexd 6893 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐹𝑦) ∈ V)
2 fvelimab 6950 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) = 𝑥))
3 eqcom 2738 . . . 4 ((𝐹𝑦) = 𝑥𝑥 = (𝐹𝑦))
43rexbii 3093 . . 3 (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) = 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝐹𝑦))
52, 4bitrdi 286 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐹𝐵) ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥 = (𝐹𝑦)))
6 rexima.x . . 3 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (𝜑𝜓))
76adantl 482 . 2 (((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) ∧ 𝑥 = (𝐹𝑦)) → (𝜑𝜓))
81, 5, 7ralxfr2d 5401 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (∀𝑥 ∈ (𝐹𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑦𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3473  wss 3944  cima 5672   Fn wfn 6527  cfv 6532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-fv 6540
This theorem is referenced by:  supisolem  9450  ordtypelem6  9500  ordtypelem7  9501  limsupgle  15403  mrcuni  17547  ipodrsima  18476  mhmima  18681  ghmnsgima  19082  cntzmhm  19169  qtopeu  23149  kqdisj  23165  ghmcnp  23548  qustgplem  23554  qtopbaslem  24204  bndth  24403  fmcfil  24718  ovoliunlem1  24948  volsup2  25051  mbflimsup  25112  itg2gt0  25207  mdegleb  25511  efopn  26095  fsumdvdsmul  26626  imaelshi  31174  cvmopnlem  34098  ovoliunnfl  36332  voliunnfl  36334  volsupnfl  36335  gicabl  41610  mgmhmima  46342
  Copyright terms: Public domain W3C validator