Theorem cnvimamptfin 9310

Description: A preimage of a mapping with a finite domain under any class is finite. In contrast to fisuppfi 9331, the range of the mapping needs not to be known. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvimamptfin.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
cnvimamptfin	⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem cnvimamptfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimamptfin.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		cnvimass 6085	. . 3 ⊢ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ dom (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
4	3	dmmptss 6243	. . 3 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ⊆ 𝑁
5	2, 4	sstri 3954	. 2 ⊢ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ 𝑁
6		ssfi 9157	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ 𝑁) → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)
7	1, 5, 6	sylancl 597	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   “ cima 5665  Fincfn 8943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7863  df-1o 8453  df-en 8944  df-fin 8947

This theorem is referenced by:  elrgspnsubrunlem2  33509