Theorem cnvimamptfin 9372

Description: A preimage of a mapping with a finite domain under any class is finite. In contrast to fisuppfi 9390, the range of the mapping needs not to be known. (Contributed by AV, 21-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnvimamptfin.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
cnvimamptfin	⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑋(𝑝)   𝑌(𝑝)

Proof of Theorem cnvimamptfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvimamptfin.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
2		cnvimass 6081	. . 3 ⊢ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ dom (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) = (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋)
4	3	dmmptss 6241	. . 3 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) ⊆ 𝑁
5	2, 4	sstri 3983	. 2 ⊢ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ 𝑁
6		ssfi 9191	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ⊆ 𝑁) → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)
7	1, 5, 6	sylancl 584	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ 𝑁 ↦ 𝑋) “ 𝑌) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941   ↦ cmpt 5227  ^◡ccnv 5672  dom cdm 5673   “ cima 5676  Fincfn 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7866  df-1o 8480  df-en 8958  df-fin 8961

This theorem is referenced by: (None)