Theorem abrexfi 9346

Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
abrexfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem abrexfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5939	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
3		mptfi 9345	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
4		rnfi 9334	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
6	2, 5	eqeltrrid 2865	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∃wrex 3086   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  Fincfn 8978

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-1o 8481  df-en 8979  df-dom 8980  df-fin 8982

This theorem is used by:  rankfilimbi  9907  fimaxre3  12268  mertenslem2  16061  iinopn  23227  cncmp  23717  cmpsublem  23724  ptbasfi  23907  alexsublem  24370  ptcmplem3  24380  prdsbl  24817  aannenlem2  26663  aalioulem2  26667  rencldnfilem  43934