Theorem abrexfi 9355

Description: An image set from a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
abrexfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem abrexfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2	1	rnmpt 5954	. 2 ⊢ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵}
3		mptfi 9354	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
4		rnfi 9338	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ Fin)
6	2, 5	eqeltrrid 2837	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∃wrex 3069   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946

This theorem is referenced by:  fimaxre3  12165  mertenslem2  15836  iinopn  22625  cncmp  23117  cmpsublem  23124  ptbasfi  23306  alexsublem  23769  ptcmplem3  23779  prdsbl  24221  aannenlem2  26079  aalioulem2  26083  rencldnfilem  41861