Theorem csbttc 36679

Description: Distribute proper substitution through a transitive closure. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
csbttc	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Proof of Theorem csbttc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3836	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵)
2		csbeq1 3836	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	2	ttceqd 36660	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
4	1, 3	eqeq12d 2751	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
5		vex 3431	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		nfcsb1v 3857	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7	6	nfttc 36661	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
8		csbeq1a 3847	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	8	ttceqd 36660	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	5, 7, 9	csbief 3867	. . 3 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	4, 10	vtoclg 3497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbprc 4339	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ∅)
13		csbprc 4339	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
14	13	ttceqd 36660	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ∅)
15		ttc0 36677	. . . 4 ⊢ TC+ ∅ = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
17	12, 16	eqtr4d 2773	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
18	11, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3427  ⦋csb 3833  ∅c0 4263  TC+ cttc 36656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-ttc 36657

This theorem is referenced by: (None)