Theorem csbttc 36964

Description: Distribute proper substitution through a transitive closure. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
csbttc	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Proof of Theorem csbttc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3855	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵)
2		csbeq1 3855	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	2	ttceqd 36945	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
4	1, 3	eqeq12d 2777	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
5		vex 3457	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		nfcsb1v 3876	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7	6	nfttc 36946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
8		csbeq1a 3866	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	8	ttceqd 36945	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	5, 7, 9	csbief 3886	. . 3 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	4, 10	vtoclg 3521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbprc 4373	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ∅)
13		csbprc 4373	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
14	13	ttceqd 36945	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ∅)
15		ttc0 36962	. . . 4 ⊢ TC+ ∅ = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
17	12, 16	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
18	11, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⦋csb 3852  ∅c0 4285  TC+ cttc 36941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-ttc 36942

This theorem is referenced by: (None)