Theorem csbttc 37219

Description: Distribute proper substitution through a transitive closure. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
csbttc	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Proof of Theorem csbttc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3849	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵)
2		csbeq1 3849	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	2	ttceqd 37200	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
4	1, 3	eqeq12d 2776	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
5		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		nfcsb1v 3870	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7	6	nfttc 37201	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
8		csbeq1a 3860	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	8	ttceqd 37200	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	5, 7, 9	csbief 3880	. . 3 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	4, 10	vtoclg 3517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbprc 4366	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ∅)
13		csbprc 4366	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
14	13	ttceqd 37200	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ∅)
15		ttc0 37217	. . . 4 ⊢ TC+ ∅ = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
17	12, 16	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
18	11, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⦋csb 3846  ∅c0 4278  TC+ cttc 37196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-ttc 37197

This theorem is used by: (None)