Theorem csbttc 37475

Description: Distribute proper substitution through a transitive closure. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
csbttc	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Proof of Theorem csbttc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3854	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵)
2		csbeq1 3854	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	2	ttceqd 37456	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
4	1, 3	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
5		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		nfcsb1v 3875	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7	6	nfttc 37457	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
8		csbeq1a 3865	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	8	ttceqd 37456	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	5, 7, 9	csbief 3885	. . 3 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	4, 10	vtoclg 3521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbprc 4370	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ∅)
13		csbprc 4370	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
14	13	ttceqd 37456	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ∅)
15		ttc0 37473	. . . 4 ⊢ TC+ ∅ = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
17	12, 16	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
18	11, 17	pm2.61i 184	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⦋csb 3851  ∅c0 4281  TC+ cttc 37452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-ttc 37453

This theorem is used by: (None)