Theorem csbttc 36697

Description: Distribute proper substitution through a transitive closure. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
csbttc	⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Proof of Theorem csbttc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 3841	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵)
2		csbeq1 3841	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
3	2	ttceqd 36678	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
4	1, 3	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵))
5		vex 3434	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
6		nfcsb1v 3862	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
7	6	nfttc 36679	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
8		csbeq1a 3852	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
9	8	ttceqd 36678	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
10	5, 7, 9	csbief 3872	. . 3 ⊢ ⦋𝑦 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
11	4, 10	vtoclg 3500	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
12		csbprc 4350	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = ∅)
13		csbprc 4350	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
14	13	ttceqd 36678	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = TC+ ∅)
15		ttc0 36695	. . . 4 ⊢ TC+ ∅ = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵 = ∅)
17	12, 16	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵)
18	11, 17	pm2.61i 182	1 ⊢ ⦋𝐴 / 𝑥⦌TC+ 𝐵 = TC+ ⦋𝐴 / 𝑥⦌𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⦋csb 3838  ∅c0 4274  TC+ cttc 36674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-ttc 36675

This theorem is referenced by: (None)