Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dibss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dibss 40636
Description: The partial isomorphism B maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 1-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dibss.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dibss.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dibss.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dibss.i 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibss.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dibss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dibss (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
Proof of Theorem dibss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dibss.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 dibss.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dibss.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 eqid 2728 . . . 4 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 eqid 2728 . . . 4 ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
61, 2, 3, 4, 5diass 40509 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
7 eqid 2728 . . . . . 6 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
91, 3, 4, 7, 8tendo0cl 40257 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
109snssd 4808 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
1110adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
12 xpss12 5687 . . 3 (((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) βŠ† ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))} βŠ† ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
136, 11, 12syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}) βŠ† (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
14 dibss.i . . 3 𝐼 = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
151, 2, 3, 4, 8, 5, 14dibval2 40611 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = ((((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‹) Γ— {(𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))}))
16 dibss.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 dibss.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
183, 4, 7, 16, 17dvhvbase 40554 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
1918adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ 𝑉 = (((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) Γ— ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
2013, 15, 193sstr4d 4025 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3945  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  HLchlt 38816  LHypclh 39451  LTrncltrn 39568  TEndoctendo 40219  DIsoAcdia 40495  DVecHcdvh 40545  DIsoBcdib 40605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38419
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967  df-lines 38968  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-padd 39263  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626  df-tendo 40222  df-disoa 40496  df-dvech 40546  df-dib 40606
This theorem is referenced by:  diblss  40637
  Copyright terms: Public domain W3C validator