Theorem dibss 41805

Description: The partial isomorphism B maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 1-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dibss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dibss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dibss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dibss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibss.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibss.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	diass 41678	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
9	1, 3, 4, 7, 8	tendo0cl 41426	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
10	9	snssd 4748	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
12		xpss12 5667	. . 3 ⊢ (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
13	6, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
14		dibss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 2, 3, 4, 8, 5, 14	dibval2 41780	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
16		dibss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dibss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
18	3, 4, 7, 16, 17	dvhvbase 41723	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
19	18	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
20	13, 15, 19	3sstr4d 3994	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186   I cid 5546   × cxp 5650   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  lecple 17307  HLchlt 39986  LHypclh 40620  LTrncltrn 40737  TEndoctendo 41388  DIsoAcdia 41664  DVecHcdvh 41714  DIsoBcdib 41774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39589

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18374  df-lub 18390  df-glb 18391  df-join 18392  df-meet 18393  df-p0 18469  df-p1 18470  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39812  df-ol 39814  df-oml 39815  df-covers 39902  df-ats 39903  df-atl 39934  df-cvlat 39958  df-hlat 39987  df-llines 40134  df-lplanes 40135  df-lvols 40136  df-lines 40137  df-psubsp 40139  df-pmap 40140  df-padd 40432  df-lhyp 40624  df-laut 40625  df-ldil 40740  df-ltrn 40741  df-trl 40795  df-tendo 41391  df-disoa 41665  df-dvech 41715  df-dib 41775

This theorem is referenced by:  diblss  41806