Theorem dibss 41668

Description: The partial isomorphism B maps to a set of vectors in full vector space H. (Contributed by NM, 1-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dibss.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dibss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dibss.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dibss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dibss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dibss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem dibss

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dibss.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dibss.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		dibss.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	diass 41541	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
9	1, 3, 4, 7, 8	tendo0cl 41289	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
10	9	snssd 4725	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
12		xpss12 5640	. . 3 ⊢ (((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) ⊆ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))} ⊆ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
13	6, 11, 12	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
14		dibss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
15	1, 2, 3, 4, 8, 5, 14	dibval2 41643	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘𝑋) × {(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))}))
16		dibss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
17		dibss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
18	3, 4, 7, 16, 17	dvhvbase 41586	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
19	18	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → 𝑉 = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
20	13, 15, 19	3sstr4d 3977	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑋) ⊆ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  lecple 17225  HLchlt 39849  LHypclh 40483  LTrncltrn 40600  TEndoctendo 41251  DIsoAcdia 41527  DVecHcdvh 41577  DIsoBcdib 41637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-riotaBAD 39452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-llines 39997  df-lplanes 39998  df-lvols 39999  df-lines 40000  df-psubsp 40002  df-pmap 40003  df-padd 40295  df-lhyp 40487  df-laut 40488  df-ldil 40603  df-ltrn 40604  df-trl 40658  df-tendo 41254  df-disoa 41528  df-dvech 41578  df-dib 41638

This theorem is referenced by:  diblss  41669