Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim 41167
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dib1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,,𝑇,𝑠   ,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,)   𝐸()   𝐹()   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔,,𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂()   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim
Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dib1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5trlcl 40166 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
7 eqid 2737 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 3, 4, 5trlle 40186 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9 dib1dim.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10 eqid 2737 . . . . 5 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11 dib1dim.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
122, 7, 3, 4, 9, 10, 11dibval2 41146 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
131, 6, 8, 12syl12anc 837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
14 relxp 5703 . . . 4 Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂})
15 opelxp 5721 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16 dib1dim.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
173, 4, 5, 16, 10dia1dim 41063 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)})
1817eqabrd 2884 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ↔ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)))
1918anbi1d 631 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
203, 4, 16tendocl 40769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
21203expa 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
2221an32s 652 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
232, 3, 4, 16, 9tendo0cl 40792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑂𝐸)
2522, 24jca 511 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸))
26 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑠𝐹) → (𝑓𝑇 ↔ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇))
27 eleq1 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑂 → (𝑡𝐸𝑂𝐸))
2826, 27bi2anan9 638 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ↔ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸)))
2925, 28syl5ibrcom 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3029rexlimdva 3155 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3130pm4.71rd 562 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32 velsn 4642 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
3332anbi2i 623 . . . . . . . 8 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34 r19.41v 3189 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
3533, 34bitr4i 278 . . . . . . 7 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
3731, 35, 363bitr4g 314 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3819, 37bitrd 279 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3915, 38bitrid 283 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
4014, 39opabbi2dv 5860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
4113, 40eqtrd 2777 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩))
43 vex 3484 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
44 vex 3484 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
4543, 44opth 5481 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
4642, 45bitrdi 287 . . . 4 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4746rexbidv 3179 . . 3 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4847rabxp 5733 . 2 {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
4941, 48eqtr4di 2795 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225   I cid 5577   × cxp 5683  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  TEndoctendo 40754  DIsoAcdia 41030  DIsoBcdib 41140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-undef 8298  df-map 8868  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-disoa 41031  df-dib 41141
This theorem is referenced by:  dib1dim2  41170
  Copyright terms: Public domain W3C validator