Theorem dib1dim 42046

Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ℎ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,ℎ,𝑇,𝑠   ℎ,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔, 𝑠)   𝑅(𝑔, ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑔, ℎ)   𝐼(𝑔, ℎ, 𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂(ℎ)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim

Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 41045	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 41065	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dib1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11		dib1dim.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 7, 3, 4, 9, 10, 11	dibval2 42025	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
13	1, 6, 8, 12	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
14		relxp 5677	. . . 4 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂})
15		opelxp 5695	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16		dib1dim.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 4, 5, 16, 10	dia1dim 41942	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)})
18	17	eqabrd 2903	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)))
19	18	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
20	3, 4, 16	tendocl 41648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
21	20	3expa 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	21	an32s 665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
23	2, 3, 4, 16, 9	tendo0cl 41671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
25	22, 24	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸))
26		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) → (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇))
27		eleq1 2850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑂 → (𝑡 ∈ 𝐸 ↔ 𝑂 ∈ 𝐸))
28	26, 27	bi2anan9 650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸)))
29	25, 28	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
30	29	rexlimdva 3165	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
31	30	pm4.71rd 572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32		velsn 4603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
33	32	anbi2i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34		r19.41v 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
35	33, 34	bitr4i 281	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36		df-3an 1105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
37	31, 35, 36	3bitr4g 317	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
38	19, 37	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
39	15, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
40	14, 39	opabbi2dv 5833	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
41	13, 40	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42		eqeq1 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩))
43		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
44		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
45	43, 44	opth 5456	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
46	42, 45	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
47	46	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
48	47	rabxp 5707	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
49	41, 48	eqtr4di 2815	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  {crab 3414  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  {copab 5171   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  lecple 17355  HLchlt 40231  LHypclh 40865  LTrncltrn 40982  trLctrl 41039  TEndoctendo 41633  DIsoAcdia 41909  DIsoBcdib 42019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-riotaBAD 39834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-undef 8275  df-map 8832  df-proset 18388  df-poset 18407  df-plt 18422  df-lub 18438  df-glb 18439  df-join 18440  df-meet 18441  df-p0 18517  df-p1 18518  df-lat 18526  df-clat 18593  df-oposet 40057  df-ol 40059  df-oml 40060  df-covers 40147  df-ats 40148  df-atl 40179  df-cvlat 40203  df-hlat 40232  df-llines 40379  df-lplanes 40380  df-lvols 40381  df-lines 40382  df-psubsp 40384  df-pmap 40385  df-padd 40677  df-lhyp 40869  df-laut 40870  df-ldil 40985  df-ltrn 40986  df-trl 41040  df-tendo 41636  df-disoa 41910  df-dib 42020

This theorem is used by:  dib1dim2  42049