Theorem dib1dim 41462

Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ℎ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,ℎ,𝑇,𝑠   ℎ,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂(ℎ)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim

Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 40461	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 40481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dib1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11		dib1dim.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 7, 3, 4, 9, 10, 11	dibval2 41441	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
13	1, 6, 8, 12	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
14		relxp 5643	. . . 4 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂})
15		opelxp 5661	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16		dib1dim.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 4, 5, 16, 10	dia1dim 41358	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)})
18	17	eqabrd 2878	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)))
19	18	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
20	3, 4, 16	tendocl 41064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
21	20	3expa 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	21	an32s 653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
23	2, 3, 4, 16, 9	tendo0cl 41087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
25	22, 24	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸))
26		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) → (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇))
27		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑂 → (𝑡 ∈ 𝐸 ↔ 𝑂 ∈ 𝐸))
28	26, 27	bi2anan9 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸)))
29	25, 28	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
30	29	rexlimdva 3138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
31	30	pm4.71rd 562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32		velsn 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
33	32	anbi2i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34		r19.41v 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
35	33, 34	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
37	31, 35, 36	3bitr4g 314	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
38	19, 37	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
39	15, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
40	14, 39	opabbi2dv 5799	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
41	13, 40	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42		eqeq1 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩))
43		vex 3445	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
44		vex 3445	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
45	43, 44	opth 5425	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
46	42, 45	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
47	46	rexbidv 3161	. . 3 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
48	47	rabxp 5673	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
49	41, 48	eqtr4di 2790	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3400  {csn 4581  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099  {copab 5161   ↦ cmpt 5180   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  lecple 17188  HLchlt 39647  LHypclh 40281  LTrncltrn 40398  trLctrl 40455  TEndoctendo 41049  DIsoAcdia 41325  DIsoBcdib 41435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-riotaBAD 39250

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-undef 8217  df-map 8769  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-p1 18351  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39473  df-ol 39475  df-oml 39476  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619  df-hlat 39648  df-llines 39795  df-lplanes 39796  df-lvols 39797  df-lines 39798  df-psubsp 39800  df-pmap 39801  df-padd 40093  df-lhyp 40285  df-laut 40286  df-ldil 40401  df-ltrn 40402  df-trl 40456  df-tendo 41052  df-disoa 41326  df-dib 41436

This theorem is referenced by:  dib1dim2  41465