Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dib1dim 37053
Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib1dim.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dib1dim (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,,𝑇,𝑠   ,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,)   𝐸()   𝐹()   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔,,𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂()   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim
Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dib1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 dib1dim.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dib1dim.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 dib1dim.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5trlcl 36052 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
7 eqid 2765 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
87, 3, 4, 5trlle 36072 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9 dib1dim.o . . . . 5 𝑂 = (𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10 eqid 2765 . . . . 5 ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11 dib1dim.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
122, 7, 3, 4, 9, 10, 11dibval2 37032 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
131, 6, 8, 12syl12anc 865 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}))
14 relxp 5295 . . . 4 Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂})
15 opelxp 5313 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16 dib1dim.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
173, 4, 5, 16, 10dia1dim 36949 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)})
1817abeq2d 2877 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ↔ ∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹)))
1918anbi1d 623 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
203, 4, 16tendocl 36655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
21203expa 1147 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
2221an32s 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → (𝑠𝐹) ∈ 𝑇)
232, 3, 4, 16, 9tendo0cl 36678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
2423ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → 𝑂𝐸)
2522, 24jca 507 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸))
26 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑠𝐹) → (𝑓𝑇 ↔ (𝑠𝐹) ∈ 𝑇))
27 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑂 → (𝑡𝐸𝑂𝐸))
2826, 27bi2anan9 629 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ↔ ((𝑠𝐹) ∈ 𝑇𝑂𝐸)))
2925, 28syl5ibrcom 238 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ 𝑠𝐸) → ((𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3029rexlimdva 3178 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓𝑇𝑡𝐸)))
3130pm4.71rd 558 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32 velsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
3332anbi2i 616 . . . . . . . 8 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34 r19.41v 3236 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
3533, 34bitr4i 269 . . . . . . 7 ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36 df-3an 1109 . . . . . . 7 ((𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓𝑇𝑡𝐸) ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
3731, 35, 363bitr4g 305 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((∃𝑠𝐸 𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3819, 37bitrd 270 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
3915, 38syl5bb 274 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
4014, 39opabbi2dv 5440 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
4113, 40eqtrd 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42 eqeq1 2769 . . . . 5 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩))
43 vex 3353 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
44 vex 3353 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
4543, 44opth 5100 . . . . 5 (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
4642, 45syl6bb 278 . . . 4 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4746rexbidv 3199 . . 3 (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
4847rabxp 5322 . 2 {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓𝑇𝑡𝐸 ∧ ∃𝑠𝐸 (𝑓 = (𝑠𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
4941, 48syl6eqr 2817 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠𝐹), 𝑂⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3056  {crab 3059  {csn 4334  cop 4340   class class class wbr 4809  {copab 4871  cmpt 4888   I cid 5184   × cxp 5275  cres 5279  cfv 6068  Basecbs 16132  lecple 16223  HLchlt 35238  LHypclh 35872  LTrncltrn 35989  trLctrl 36046  TEndoctendo 36640  DIsoAcdia 36916  DIsoBcdib 37026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-undef 7602  df-map 8062  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-p1 17308  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tendo 36643  df-disoa 36917  df-dib 37027
This theorem is referenced by:  dib1dim2  37056
  Copyright terms: Public domain W3C validator