Theorem dib1dim 40122

Description: Two expressions for the 1-dimensional subspaces of vector space H. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dib1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dib1dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dib1dim.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dib1dim.o	⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
dib1dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dib1dim	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

Distinct variable groups:   𝐵,ℎ   𝑔,𝑠,𝐸   𝑔,𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   ℎ,𝑠,𝐾   𝑔,𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑔,ℎ,𝑇,𝑠   ℎ,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐸(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔,ℎ,𝑠)   𝐾(𝑔)   𝑂(ℎ)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem dib1dim

Dummy variables 𝑓 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dib1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		dib1dim.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dib1dim.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		dib1dim.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	trlcl 39121	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵)
7		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8	7, 3, 4, 5	trlle 39141	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)
9		dib1dim.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (ℎ ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
10		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
11		dib1dim.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
12	2, 7, 3, 4, 9, 10, 11	dibval2 40101	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘𝐹)(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
13	1, 6, 8, 12	syl12anc 835	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}))
14		relxp 5694	. . . 4 ⊢ Rel ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂})
15		opelxp 5712	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}))
16		dib1dim.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
17	3, 4, 5, 16, 10	dia1dim 40018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑓 ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)})
18	17	eqabrd 2876	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹)))
19	18	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂})))
20	3, 4, 16	tendocl 39724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
21	20	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
22	21	an32s 650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇)
23	2, 3, 4, 16, 9	tendo0cl 39747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
24	23	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
25	22, 24	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸))
26		eleq1 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) → (𝑓 ∈ 𝑇 ↔ (𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇))
27		eleq1 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑂 → (𝑡 ∈ 𝐸 ↔ 𝑂 ∈ 𝐸))
28	26, 27	bi2anan9 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ↔ ((𝑠‘𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸)))
29	25, 28	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸) → ((𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
30	29	rexlimdva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) → (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)))
31	30	pm4.71rd 563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
32		velsn 4644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑂} ↔ 𝑡 = 𝑂)
33	32	anbi2i 623	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
34		r19.41v 3188	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
35	33, 34	bitr4i 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
36		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
37	31, 35, 36	3bitr4g 313	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
38	19, 37	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑓 ∈ (((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) ∧ 𝑡 ∈ {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
39	15, 38	bitrid 282	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (⟨𝑓, 𝑡⟩ ∈ ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) ↔ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))))
40	14, 39	opabbi2dv 5849	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑅‘𝐹)) × {𝑂}) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
41	13, 40	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))})
42		eqeq1 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩))
43		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑓 ∈ V
44		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
45	43, 44	opth 5476	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑓, 𝑡⟩ = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))
46	42, 45	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
47	46	rexbidv 3178	. . 3 ⊢ (𝑔 = ⟨𝑓, 𝑡⟩ → (∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩ ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂)))
48	47	rabxp 5724	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩} = {⟨𝑓, 𝑡⟩ ∣ (𝑓 ∈ 𝑇 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐸 (𝑓 = (𝑠‘𝐹) ∧ 𝑡 = 𝑂))}
49	41, 48	eqtr4di 2790	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐹)) = {𝑔 ∈ (𝑇 × 𝐸) ∣ ∃𝑠 ∈ 𝐸 𝑔 = ⟨(𝑠‘𝐹), 𝑂⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  {crab 3432  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   × cxp 5674   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  Basecbs 17146  lecple 17206  HLchlt 38306  LHypclh 38941  LTrncltrn 39058  trLctrl 39115  TEndoctendo 39709  DIsoAcdia 39985  DIsoBcdib 40095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-riotaBAD 37909

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-undef 8260  df-map 8824  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tendo 39712  df-disoa 39986  df-dib 40096

This theorem is referenced by:  dib1dim2  40125