Theorem new0 27621

Description: The only surreal new on day ∅ is 0_s. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
new0	⊢ ( N ‘∅) = { 0s }

Proof of Theorem new0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		newval 27602	. 2 ⊢ ( N ‘∅) = (( M ‘∅) ∖ ( O ‘∅))
2		made0 27620	. . 3 ⊢ ( M ‘∅) = { 0s }
3		old0 27606	. . 3 ⊢ ( O ‘∅) = ∅
4	2, 3	difeq12i 4120	. 2 ⊢ (( M ‘∅) ∖ ( O ‘∅)) = ({ 0s } ∖ ∅)
5		dif0 4372	. 2 ⊢ ({ 0s } ∖ ∅) = { 0s }
6	1, 4, 5	3eqtri 2763	1 ⊢ ( N ‘∅) = { 0s }

Syntax hints:   = wceq 1540   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {csn 4628  ‘cfv 6543   0_s c0s 27575   M cmade 27589   O cold 27590   N cnew 27591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-1o 8472  df-2o 8473  df-no 27397  df-slt 27398  df-bday 27399  df-sslt 27534  df-scut 27536  df-0s 27577  df-made 27594  df-old 27595  df-new 27596

This theorem is referenced by: (None)