Theorem carsgclctunlem3 34719

Description: Lemma for carsgclctun 34720. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13463	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
4	3	elpwincl1 32882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
5	2, 4	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7	3	elpwdifcl 32883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8	2, 7	ffvelcdmd 7080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 8	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
10	6, 9	xaddcld 13333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12		pnfge 13161	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
14		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → (𝑀‘𝐸) = +∞)
15	13, 14	breqtrrd 5138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
16		unieq 4882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
17		uni0 4900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ ∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
19	18	ineq2d 4172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20		in0 4351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∩ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
22	21	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
23	18	difeq2d 4080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24		dif0 4333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
25	23, 24	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = 𝐸)
26	25	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘𝐸))
27	22, 26	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
31	30	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
32	2, 3	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ (0[,]+∞))
33	1, 32	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
35		xaddlid 13274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
37	28, 31, 36	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸))
38	37, 34	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39		xeqlelt 33132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
40	38, 34, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸)))
42	41	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
43	42	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45		fvex 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
46	45	ssex 5290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47		0sdomg 9092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
48	44, 46, 47	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
49	48	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
50	49	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
52		nnenom 14023	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
53	52	ensymi 8999	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
54		domentr 9008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
55	51, 53, 54	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ℕ)
56	55	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57		fodomr 9114	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
58	50, 56, 57	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59		fveq2 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
60	59	iundisj 25718	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
61		fofn 6794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓 Fn ℕ)
62		fniunfv 7245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
64		forn 6795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
65	64	unieqd 4884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝐴)
66	63, 65	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
67	66	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
68	60, 67	eqtr3id 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) = ∪ 𝐴)
69	68	ineq2d 4172	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∩ ∪ 𝐴))
70	69	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)))
71	68	difeq2d 4080	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∖ ∪ 𝐴))
72	71	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))))
74		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
75	74	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
76	2	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
77	29	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
79	78	3adant1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
80	79	3adant1r 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
81	80	3adant1r 1195	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
83	82	3adant1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
84	83	3adant1r 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
85	84	3adant1r 1195	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
86	59	iundisj2 25719	. . . . . . 7 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))
88	75	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ 𝑉)
89	76	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
90	44	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91		fof 6792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
92	91	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
94	92, 93	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
95	90, 94	sseldd 3937	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
96	77	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97	81	3adant1r 1195	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 34714	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑔)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑔)))
99	91	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100		fzossnn 13747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102	101	sselda 3936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
103	99, 102	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
105		dfiun2g 4993	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
107		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘))
108	107	rnmpt 5946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)}
109		fzofi 14017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
110		mptfi 9306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
111		rnfi 9295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin
113	108, 112	eqeltrri 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin)
115	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116	115, 103	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117	116	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118	107	rnmptss 7118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119	117, 118	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120	108, 119	eqsstrrid 3975	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 34715	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122	106, 121	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 34712	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
124	3	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘𝐸) ≠ +∞)
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 34718	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) ≤ (𝑀‘𝐸))
127	73, 126	eqbrtrrd 5134	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
128	58, 127	exlimddv 1964	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
129	43, 128	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
130	15, 129	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4561  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ωcom 7860   ≈ cen 8938   ≼ cdom 8939   ≺ csdm 8940  Fincfn 8941  0cc0 11106  1c1 11107  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℕcn 12239   +_𝑒 cxad 13141  [,]cicc 13381  ..^cfzo 13689  Σ^*cesum 34426  toCaraSigaccarsg 34700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-ac2 10453  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9894  df-card 9932  df-acn 9935  df-ac 10107  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-ordt 17561  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-ps 18628  df-tsr 18629  df-plusf 18703  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-abv 20923  df-lmod 20994  df-scaf 20995  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-tmd 24240  df-tgp 24241  df-tsms 24295  df-trg 24328  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-nm 24750  df-ngp 24751  df-nrg 24753  df-nlm 24754  df-ii 25047  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-esum 34427  df-carsg 34701

This theorem is used by:  carsgclctun  34720