Theorem carsgclctunlem3 34680

Description: Lemma for carsgclctun 34681. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13460	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
4	3	elpwincl1 32841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
5	2, 4	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7	3	elpwdifcl 32842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8	2, 7	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 8	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
10	6, 9	xaddcld 13330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12		pnfge 13158	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
14		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → (𝑀‘𝐸) = +∞)
15	13, 14	breqtrrd 5144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
16		unieq 4888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
17		uni0 4906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ ∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
19	18	ineq2d 4181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20		in0 4359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∩ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
22	21	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
23	18	difeq2d 4089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24		dif0 4341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
25	23, 24	eqtrdi 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = 𝐸)
26	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘𝐸))
27	22, 26	oveq12d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
28	27	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
31	30	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
32	2, 3	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ (0[,]+∞))
33	1, 32	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
35		xaddlid 13271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
37	28, 31, 36	3eqtrd 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸))
38	37, 34	eqeltrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39		xeqlelt 33091	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
40	38, 34, 39	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸)))
42	41	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
43	42	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
46	45	ssex 5295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47		0sdomg 9097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
48	44, 46, 47	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
49	48	biimpar 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
50	49	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
52		nnenom 14019	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
53	52	ensymi 9004	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
54		domentr 9013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
55	51, 53, 54	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ℕ)
56	55	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57		fodomr 9119	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
58	50, 56, 57	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
60	59	iundisj 25690	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
61		fofn 6798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓 Fn ℕ)
62		fniunfv 7249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
64		forn 6799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
65	64	unieqd 4890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝐴)
66	63, 65	eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
67	66	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
68	60, 67	eqtr3id 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) = ∪ 𝐴)
69	68	ineq2d 4181	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∩ ∪ 𝐴))
70	69	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)))
71	68	difeq2d 4089	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∖ ∪ 𝐴))
72	71	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))))
74		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
75	74	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
76	2	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
77	29	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
79	78	3adant1r 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
80	79	3adant1r 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
81	80	3adant1r 1194	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
83	82	3adant1r 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
84	83	3adant1r 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
85	84	3adant1r 1194	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
86	59	iundisj2 25691	. . . . . . 7 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))
88	75	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ 𝑉)
89	76	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
90	44	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91		fof 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
92	91	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
94	92, 93	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
95	90, 94	sseldd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
96	77	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97	81	3adant1r 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 34675	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑔)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑔)))
99	91	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100		fzossnn 13743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102	101	sselda 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
103	99, 102	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
105		dfiun2g 4999	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
107		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘))
108	107	rnmpt 5951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)}
109		fzofi 14013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
110		mptfi 9311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
111		rnfi 9300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin
113	108, 112	eqeltrri 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin)
115	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116	115, 103	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117	116	ralrimiva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118	107	rnmptss 7122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119	117, 118	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120	108, 119	eqsstrrid 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 34676	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122	106, 121	eqeltrd 2870	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 34673	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
124	3	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘𝐸) ≠ +∞)
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 34679	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) ≤ (𝑀‘𝐸))
127	73, 126	eqbrtrrd 5140	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
128	58, 127	exlimddv 1963	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
129	43, 128	pm2.61dane 3052	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
130	15, 129	pm2.61dane 3052	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2150  {cab 2748   ≠ wne 2965  ∀wral 3086  ∃wrex 3096  Vcvv 3462   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4567  ∪ cuni 4877  ∪ ciun 4961  Disj wdisj 5081   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ran crn 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ωcom 7865   ≈ cen 8943   ≼ cdom 8944   ≺ csdm 8945  Fincfn 8946  0cc0 11103  1c1 11104  +∞cpnf 11243  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247  ℕcn 12236   +_𝑒 cxad 13138  [,]cicc 13378  ..^cfzo 13685  Σ^*cesum 34387  toCaraSigaccarsg 34661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-ac2 10450  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182  ax-mulf 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9890  df-card 9928  df-acn 9931  df-ac 10103  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-ioc 13380  df-ico 13381  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15107  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-limsup 15525  df-clim 15542  df-rlim 15543  df-sum 15741  df-ef 16124  df-sin 16126  df-cos 16127  df-pi 16129  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-ordt 17558  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-ps 18625  df-tsr 18626  df-plusf 18700  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-mhm 18844  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-mulg 19137  df-subg 19192  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-cring 20321  df-subrng 20634  df-subrg 20658  df-abv 20895  df-lmod 20966  df-scaf 20967  df-sra 21277  df-rgmod 21278  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-fbas 21502  df-fg 21503  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-nei 23238  df-lp 23276  df-perf 23277  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-fil 23986  df-fm 24078  df-flim 24079  df-flf 24080  df-tmd 24212  df-tgp 24213  df-tsms 24267  df-trg 24300  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-nm 24722  df-ngp 24723  df-nrg 24725  df-nlm 24726  df-ii 25019  df-cncf 25020  df-limc 26008  df-dv 26009  df-log 26701  df-esum 34388  df-carsg 34662

This theorem is referenced by:  carsgclctun  34681