Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 33319
Description: Lemma for carsgclctun 33320. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
carsgclctun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem3.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13407 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 31763 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 31764 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sselid 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 13280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 13110 . . . 4 (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
14 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
1513, 14breqtrrd 5177 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
16 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆ…)
17 uni0 4940 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ βˆ… = βˆ…
1816, 17eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
1918ineq2d 4213 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝐸 ∩ βˆ…))
20 in0 4392 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2119, 20eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
2318difeq2d 4123 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = (𝐸 βˆ– βˆ…))
24 dif0 4373 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 βˆ– βˆ…) = 𝐸
2523, 24eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜πΈ))
2722, 26oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (𝐴 = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
2827adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3130oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
322, 3ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
35 xaddlid 13221 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3728, 31, 363eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
3837, 34eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 31987 . . . . . . 7 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4038, 34, 39syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4137, 40mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ)))
4241simpld 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
4342adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
45 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (toCaraSigaβ€˜π‘€) ∈ V
4645ssex 5322 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 9104 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4948biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
5049adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
52 nnenom 13945 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
5352ensymi 9000 . . . . . . 7 Ο‰ β‰ˆ β„•
54 domentr 9009 . . . . . . 7 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5551, 53, 54sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5655ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
57 fodomr 9128 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
6059iundisj 25065 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
61 fofn 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓 Fn β„•)
62 fniunfv 7246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
64 forn 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4923 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ ran 𝑓 = βˆͺ 𝐴)
6663, 65eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6766adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6860, 67eqtr3id 2787 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝐴)
6968ineq2d 4213 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
7069fveq2d 6896 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
7168difeq2d 4123 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))
7271fveq2d 6896 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
7370, 72oveq12d 7427 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
7574ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
762ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
79783adant1r 1178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
80793adant1r 1178 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
81803adant1r 1178 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
83823adant1r 1178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
84833adant1r 1178 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
85843adant1r 1178 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
8659iundisj2 25066 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))
8875adantr 482 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
8976adantr 482 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
9044ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
91 fof 6806 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
9291ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
93 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9492, 93ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3984 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
9677adantr 482 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
97813adant1r 1178 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 33314 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆͺ 𝑔)) ≀ ((π‘€β€˜π‘’) +𝑒 (π‘€β€˜π‘”)))
9991ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
100 fzossnn 13681 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) βŠ† β„•
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† β„•)
102101sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10399, 102ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 5034 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
107 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
108107rnmpt 5955 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)}
109 fzofi 13939 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 9351 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
111 rnfi 9335 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2831 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin)
11590adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
116115, 103sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
117116ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
118107rnmptss 7122 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
120108, 119eqsstrrid 4032 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 33315 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
122106, 121eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 33312 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
1243ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 33318 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12773, 126eqbrtrrd 5173 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12858, 127exlimddv 1939 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12943, 128pm2.61dane 3030 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
13015, 129pm2.61dane 3030 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212   +𝑒 cxad 13090  [,]cicc 13327  ..^cfzo 13627  Ξ£*cesum 33025  toCaraSigaccarsg 33300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-abv 20425  df-lmod 20473  df-scaf 20474  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-tmd 23576  df-tgp 23577  df-tsms 23631  df-trg 23664  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-ii 24393  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-esum 33026  df-carsg 33301
This theorem is referenced by:  carsgclctun  33320
  Copyright terms: Public domain W3C validator