Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 31483
Description: Lemma for carsgclctun 31484. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
carsgsiga.3 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
carsgclctun.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12814 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 30219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3969 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 30220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelrnd 6850 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sseldi 3969 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 12689 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 12520 . . . 4 (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
14 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → (𝑀𝐸) = +∞)
1513, 14breqtrrd 5091 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
16 unieq 4845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
17 uni0 4864 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1816, 17syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1918ineq2d 4193 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20 in0 4349 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = ∅)
2221fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀‘∅))
2318difeq2d 4103 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24 dif0 4336 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
2523, 24syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀𝐸))
2722, 26oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
2827adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3130oveq1d 7165 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐸)))
322, 3ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sseldi 3969 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
35 xaddid2 12630 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3728, 31, 363eqtrd 2865 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸))
3837, 34eqeltrd 2918 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 30431 . . . . . . 7 ((((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4038, 34, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4137, 40mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸)))
4241simpld 495 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
4342adantlr 711 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45 fvex 6682 . . . . . . . . 9 (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
4645ssex 5222 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 8640 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4948biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
5049adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≼ ω)
52 nnenom 13343 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
5352ensymi 8553 . . . . . . 7 ω ≈ ℕ
54 domentr 8562 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
5551, 53, 54sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≼ ℕ)
5655ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57 fodomr 8662 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
59 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
6059iundisj 24083 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
61 fofn 6591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓 Fn ℕ)
62 fniunfv 7002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
64 forn 6592 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4847 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 ran 𝑓 = 𝐴)
6663, 65eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6860, 67syl5eqr 2875 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) = 𝐴)
6968ineq2d 4193 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7069fveq2d 6673 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7168difeq2d 4103 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7271fveq2d 6673 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7370, 72oveq12d 7168 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
7574ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑂𝑉)
762ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
79783adant1r 1171 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
80793adant1r 1171 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
81803adant1r 1171 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
83823adant1r 1171 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
84833adant1r 1171 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
85843adant1r 1171 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
8659iundisj2 24084 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))
8875adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂𝑉)
8976adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9044ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91 fof 6589 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓:ℕ⟶𝐴)
9291ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9492, 93ffvelrnd 6850 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3972 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9677adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97813adant1r 1171 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 31478 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑔)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑔)))
9991ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100 fzossnn 13081 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102101sselda 3971 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10399, 102ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3187 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 4952 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
107 eqid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘))
108107rnmpt 5826 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)}
109 fzofi 13337 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 8817 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
111 rnfi 8801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2915 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin)
11590adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116115, 103sseldd 3972 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117116ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118107rnmptss 6884 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120108, 119eqsstrrid 4020 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 31479 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122106, 121eqeltrd 2918 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 31476 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1243ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀𝐸) ≠ +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 31482 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) ≤ (𝑀𝐸))
12773, 126eqbrtrrd 5087 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12858, 127exlimddv 1929 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12943, 128pm2.61dane 3109 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
13015, 129pm2.61dane 3109 1 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  {cab 2804  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cdif 3937  cin 3939  wss 3940  c0 4295  𝒫 cpw 4542   cuni 4837   ciun 4917  Disj wdisj 5028   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ran crn 5555   Fn wfn 6349  wf 6350  ontowfo 6352  cfv 6354  (class class class)co 7150  ωcom 7573  cen 8500  cdom 8501  csdm 8502  Fincfn 8503  0cc0 10531  1c1 10532  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cn 11632   +𝑒 cxad 12500  [,]cicc 12736  ..^cfzo 13028  Σ*cesum 31191  toCaraSigaccarsg 31464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-ordt 16769  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-ps 17805  df-tsr 17806  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-subrg 19469  df-abv 19524  df-lmod 19572  df-scaf 19573  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-tmd 22615  df-tgp 22616  df-tsms 22669  df-trg 22702  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-nm 23126  df-ngp 23127  df-nrg 23129  df-nlm 23130  df-ii 23419  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-esum 31192  df-carsg 31465
This theorem is referenced by:  carsgclctun  31484
  Copyright terms: Public domain W3C validator