Theorem carsgclctunlem3 34311

Description: Lemma for carsgclctun 34312. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13391	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
4	3	elpwincl1 32454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
5	2, 4	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7	3	elpwdifcl 32455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8	2, 7	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 8	sselid 3944	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
10	6, 9	xaddcld 13261	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12		pnfge 13090	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → (𝑀‘𝐸) = +∞)
15	13, 14	breqtrrd 5135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
16		unieq 4882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
17		uni0 4899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ ∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
19	18	ineq2d 4183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20		in0 4358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∩ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
22	21	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
23	18	difeq2d 4089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24		dif0 4341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = 𝐸)
26	25	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘𝐸))
27	22, 26	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
28	27	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
31	30	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
32	2, 3	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ (0[,]+∞))
33	1, 32	sselid 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
35		xaddlid 13202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
37	28, 31, 36	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸))
38	37, 34	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39		xeqlelt 32699	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
40	38, 34, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
41	37, 40	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸)))
42	41	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
43	42	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45		fvex 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
46	45	ssex 5276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47		0sdomg 9070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
48	44, 46, 47	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
49	48	biimpar 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
50	49	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
52		nnenom 13945	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
53	52	ensymi 8975	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
54		domentr 8984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
55	51, 53, 54	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ℕ)
56	55	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57		fodomr 9092	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
58	50, 56, 57	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
60	59	iundisj 25449	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
61		fofn 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓 Fn ℕ)
62		fniunfv 7221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
64		forn 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
65	64	unieqd 4884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝐴)
66	63, 65	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
67	66	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
68	60, 67	eqtr3id 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) = ∪ 𝐴)
69	68	ineq2d 4183	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∩ ∪ 𝐴))
70	69	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)))
71	68	difeq2d 4089	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∖ ∪ 𝐴))
72	71	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))))
74		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
75	74	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
76	2	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
77	29	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
79	78	3adant1r 1178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
80	79	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
81	80	3adant1r 1178	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
83	82	3adant1r 1178	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
84	83	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
85	84	3adant1r 1178	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
86	59	iundisj2 25450	. . . . . . 7 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))
88	75	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ 𝑉)
89	76	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
90	44	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91		fof 6772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
92	91	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
94	92, 93	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
95	90, 94	sseldd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
96	77	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97	81	3adant1r 1178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 34306	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑔)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑔)))
99	91	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100		fzossnn 13672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102	101	sselda 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
103	99, 102	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
105		dfiun2g 4994	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
107		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘))
108	107	rnmpt 5921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)}
109		fzofi 13939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
110		mptfi 9302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
111		rnfi 9291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin
113	108, 112	eqeltrri 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin)
115	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116	115, 103	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117	116	ralrimiva 3125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118	107	rnmptss 7095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120	108, 119	eqsstrrid 3986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 34307	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122	106, 121	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 34304	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
124	3	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘𝐸) ≠ +∞)
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 34310	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) ≤ (𝑀‘𝐸))
127	73, 126	eqbrtrrd 5131	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
128	58, 127	exlimddv 1935	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
129	43, 128	pm2.61dane 3012	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
130	15, 129	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916   ≺ csdm 8917  Fincfn 8918  0cc0 11068  1c1 11069  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186   +_𝑒 cxad 13070  [,]cicc 13309  ..^cfzo 13615  Σ^*cesum 34017  toCaraSigaccarsg 34292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-ac2 10416  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-ac 10069  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-ordt 17464  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-plusf 18566  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-abv 20718  df-lmod 20768  df-scaf 20769  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-tmd 23959  df-tgp 23960  df-tsms 24014  df-trg 24047  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-nm 24470  df-ngp 24471  df-nrg 24473  df-nlm 24474  df-ii 24770  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-esum 34018  df-carsg 34293

This theorem is referenced by:  carsgclctun  34312