Theorem carsgclctunlem3 34872

Description: Lemma for carsgclctun 34873. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13516	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
4	3	elpwincl1 33040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
5	2, 4	ffvelcdmd 7074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7	3	elpwdifcl 33041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8	2, 7	ffvelcdmd 7074	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 8	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
10	6, 9	xaddcld 13386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12		pnfge 13214	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → (𝑀‘𝐸) = +∞)
15	13, 14	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
16		unieq 4878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
17		uni0 4896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ ∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
19	18	ineq2d 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20		in0 4345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∩ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
22	21	fveq2d 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
23	18	difeq2d 4074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24		dif0 4327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = 𝐸)
26	25	fveq2d 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘𝐸))
27	22, 26	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
28	27	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
31	30	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)))
32	2, 3	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ (0[,]+∞))
33	1, 32	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
35		xaddlid 13327	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
37	28, 31, 36	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸))
38	37, 34	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39		xeqlelt 33287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
40	38, 34, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸)))
42	41	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
43	42	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45		fvex 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
46	45	ssex 5282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47		0sdomg 9104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
48	44, 46, 47	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
49	48	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
50	49	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
52		nnenom 14077	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
53	52	ensymi 9010	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
54		domentr 9019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
55	51, 53, 54	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ℕ)
56	55	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57		fodomr 9126	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
58	50, 56, 57	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59		fveq2 6874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
60	59	iundisj 25816	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
61		fofn 6787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓 Fn ℕ)
62		fniunfv 7240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
64		forn 6788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
65	64	unieqd 4880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝐴)
66	63, 65	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
68	60, 67	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) = ∪ 𝐴)
69	68	ineq2d 4166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∩ ∪ 𝐴))
70	69	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)))
71	68	difeq2d 4074	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∖ ∪ 𝐴))
72	71	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))))
74		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
75	74	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
76	2	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
77	29	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
79	78	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
80	79	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
81	80	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
83	82	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
84	83	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
85	84	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
86	59	iundisj2 25817	. . . . . . 7 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))
88	75	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ 𝑉)
89	76	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
90	44	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91		fof 6785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
92	91	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
94	92, 93	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
95	90, 94	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
96	77	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97	81	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 34867	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑔)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +𝑒 (𝑀‘𝑔)))
99	91	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100		fzossnn 13800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102	101	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
103	99, 102	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
105		dfiun2g 4988	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
107		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘))
108	107	rnmpt 5936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)}
109		fzofi 14071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
110		mptfi 9318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
111		rnfi 9307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin
113	108, 112	eqeltrri 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin)
115	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116	115, 103	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117	116	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118	107	rnmptss 7112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119	117, 118	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120	108, 119	eqsstrrid 3970	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 34868	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122	106, 121	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 34865	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
124	3	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘𝐸) ≠ +∞)
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 34871	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) ≤ (𝑀‘𝐸))
127	73, 126	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
128	58, 127	exlimddv 1968	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
129	43, 128	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
130	15, 129	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5649   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  –onto→wfo 6526  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ωcom 7861   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950   ≺ csdm 8951  Fincfn 8952  0cc0 11157  1c1 11158  +∞cpnf 11297  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   ≤ cle 11301  ℕcn 12290   +_𝑒 cxad 13194  [,]cicc 13434  ..^cfzo 13742  Σ^*cesum 34578  toCaraSigaccarsg 34853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236  ax-mulf 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-ordt 17620  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-ps 18687  df-tsr 18688  df-plusf 18762  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-sbg 19096  df-mulg 19225  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-subrng 20745  df-subrg 20769  df-abv 21013  df-lmod 21084  df-scaf 21085  df-sra 21395  df-rgmod 21396  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-tmd 24338  df-tgp 24339  df-tsms 24393  df-trg 24426  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-nm 24848  df-ngp 24849  df-nrg 24851  df-nlm 24852  df-ii 25145  df-cncf 25146  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-esum 34579  df-carsg 34854

This theorem is used by:  carsgclctun  34873