Theorem carsgclctunlem3 34952

Description: Lemma for carsgclctun 34953. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
carsgsiga.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
carsgclctun.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
carsgclctunlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13561	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		carsgval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3		carsgclctunlem3.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
4	3	elpwincl1 33121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
5	2, 4	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
7	3	elpwdifcl 33122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8	2, 7	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
9	1, 8	sselid 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) ∈ ℝ*)
10	6, 9	xaddcld 13431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12		pnfge 13259	. . . 4 ⊢ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ +∞)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → (𝑀‘𝐸) = +∞)
15	13, 14	breqtrrd 5132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
16		unieq 4877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∪ ∅)
17		uni0 4895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ ∅ = ∅
18	16, 17	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∪ 𝐴 = ∅)
19	18	ineq2d 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20		in0 4344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∩ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∩ ∪ 𝐴) = ∅)
22	21	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘∅))
23	18	difeq2d 4063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24		dif0 4326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐸 ∖ ∪ 𝐴) = 𝐸)
26	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)) = (𝑀‘𝐸))
27	22, 26	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +e (𝑀‘𝐸)))
28	27	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +e (𝑀‘𝐸)))
29		carsgsiga.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
31	30	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +e (𝑀‘𝐸)) = (0 +e (𝑀‘𝐸)))
32	2, 3	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ (0[,]+∞))
33	1, 32	sselid 3906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*)
35		xaddlid 13372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀‘𝐸) ∈ ℝ* → (0 +e (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (0 +e (𝑀‘𝐸)) = (𝑀‘𝐸))
37	28, 31, 36	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸))
38	37, 34	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39		xeqlelt 33368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
40	38, 34, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) = (𝑀‘𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸))))
41	37, 40	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) < (𝑀‘𝐸)))
42	41	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
43	42	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
44		carsgclctun.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
46	45	ssex 5281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47		0sdomg 9125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
48	44, 46, 47	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
49	48	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
50	49	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51		carsgclctun.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ω)
52		nnenom 14123	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
53	52	ensymi 9031	. . . . . . 7 ⊢ ω ≈ ℕ
54		domentr 9040	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
55	51, 53, 54	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼ ℕ)
56	55	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57		fodomr 9147	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
58	50, 56, 57	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑓‘𝑛) = (𝑓‘𝑘))
60	59	iundisj 25869	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
61		fofn 6798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓 Fn ℕ)
62		fniunfv 7251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ℕ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
63	61, 62	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ ran 𝑓)
64		forn 6799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
65	64	unieqd 4879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ ran 𝑓 = ∪ 𝐴)
66	63, 65	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
67	66	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑓‘𝑛) = ∪ 𝐴)
68	60, 67	eqtr3id 2809	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) = ∪ 𝐴)
69	68	ineq2d 4117	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∩ ∪ 𝐴))
70	69	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)))
71	68	difeq2d 4063	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))) = (𝐸 ∖ ∪ 𝐴))
72	71	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴)))
73	70, 72	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))))
74		carsgval.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
75	74	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑂 ∈ 𝑉)
76	2	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
77	29	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78		carsgsiga.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
79	78	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
80	79	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
81	80	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
82		carsgsiga.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
83	82	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
84	83	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
85	84	3adant1r 1196	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦))
86	59	iundisj2 25870	. . . . . . 7 ⊢ Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))
87	86	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))
88	75	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ 𝑉)
89	76	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
90	44	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91		fof 6796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:ℕ–onto→𝐴 → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
92	91	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
94	92, 93	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ 𝐴)
95	90, 94	sseldd 3909	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
96	77	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97	81	3adant1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∪ 𝑥) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦))
98	88, 89, 96, 97	carsgsigalem 34947	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒 ∪ 𝑔)) ≤ ((𝑀‘𝑒) +e (𝑀‘𝑔)))
99	91	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100		fzossnn 13846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102	101	sselda 3908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
103	99, 102	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
104	103	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴)
105		dfiun2g 4987	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
106	104, 105	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) = ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)})
107		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘))
108	107	rnmpt 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)}
109		fzofi 14117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1..^𝑛) ∈ Fin
110		mptfi 9340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
111		rnfi 9329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin)
112	109, 110, 111	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ Fin
113	108, 112	eqeltrri 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ Fin)
115	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116	115, 103	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117	116	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118	107	rnmptss 7123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119	117, 118	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓‘𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120	108, 119	eqsstrrid 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
121	88, 89, 96, 97, 114, 120	fiunelcarsg 34948	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓‘𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122	106, 121	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
123	88, 89, 95, 98, 122	difelcarsg2 34945	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
124	3	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → (𝑀‘𝐸) ≠ +∞)
126	75, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125	carsgclctunlem2 34951	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘)))) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑛) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓‘𝑘))))) ≤ (𝑀‘𝐸))
127	73, 126	eqbrtrrd 5128	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
128	58, 127	exlimddv 1967	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
129	43, 128	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀‘𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))
130	15, 129	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 ∩ ∪ 𝐴)) +e (𝑀‘(𝐸 ∖ ∪ 𝐴))) ≤ (𝑀‘𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  –onto→wfo 6536  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971   ≺ csdm 8972  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201  +∞cpnf 11340  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335   +_e cxad 13239  [,]cicc 13479  ..^cfzo 13788  Σ^*cesum 34659  toCaraSigaccarsg 34933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-ordt 17673  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-ps 18740  df-tsr 18741  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-abv 21066  df-lmod 21137  df-scaf 21138  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-tmd 24391  df-tgp 24392  df-tsms 24446  df-trg 24479  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-nm 24901  df-ngp 24902  df-nrg 24904  df-nlm 24905  df-ii 25198  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-esum 34660  df-carsg 34934

This theorem is used by:  carsgclctun  34953