Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 33618
Description: Lemma for carsgclctun 33619. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
carsgclctun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem3.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13412 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 32031 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 32032 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sselid 3980 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 13285 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 13115 . . . 4 (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
14 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
1513, 14breqtrrd 5176 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
16 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆ…)
17 uni0 4939 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ βˆ… = βˆ…
1816, 17eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
1918ineq2d 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝐸 ∩ βˆ…))
20 in0 4391 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2119, 20eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
2318difeq2d 4122 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = (𝐸 βˆ– βˆ…))
24 dif0 4372 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 βˆ– βˆ…) = 𝐸
2523, 24eqtrdi 2787 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜πΈ))
2722, 26oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (𝐴 = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3130oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
322, 3ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sselid 3980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
35 xaddlid 13226 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3728, 31, 363eqtrd 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
3837, 34eqeltrd 2832 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 32255 . . . . . . 7 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4038, 34, 39syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4137, 40mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ)))
4241simpld 494 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
4342adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
45 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (toCaraSigaβ€˜π‘€) ∈ V
4645ssex 5321 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 9108 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4948biimpar 477 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
5049adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
52 nnenom 13950 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
5352ensymi 9004 . . . . . . 7 Ο‰ β‰ˆ β„•
54 domentr 9013 . . . . . . 7 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5551, 53, 54sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5655ad2antrr 723 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
57 fodomr 9132 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
6059iundisj 25298 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
61 fofn 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓 Fn β„•)
62 fniunfv 7249 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
64 forn 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4922 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ ran 𝑓 = βˆͺ 𝐴)
6663, 65eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6766adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6860, 67eqtr3id 2785 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝐴)
6968ineq2d 4212 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
7069fveq2d 6895 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
7168difeq2d 4122 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))
7271fveq2d 6895 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
7370, 72oveq12d 7430 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
7574ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
762ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
79783adant1r 1176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
80793adant1r 1176 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
81803adant1r 1176 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
83823adant1r 1176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
84833adant1r 1176 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
85843adant1r 1176 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
8659iundisj2 25299 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))
8875adantr 480 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
8976adantr 480 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
9044ad4antr 729 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
91 fof 6805 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
9291ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
93 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9492, 93ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3983 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
9677adantr 480 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
97813adant1r 1176 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 33613 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆͺ 𝑔)) ≀ ((π‘€β€˜π‘’) +𝑒 (π‘€β€˜π‘”)))
9991ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
100 fzossnn 13686 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) βŠ† β„•
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† β„•)
102101sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10399, 102ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 5033 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
107 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
108107rnmpt 5954 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)}
109 fzofi 13944 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 9355 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
111 rnfi 9339 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2829 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin)
11590adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
116115, 103sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
117116ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
118107rnmptss 7124 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
120108, 119eqsstrrid 4031 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 33614 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
122106, 121eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 33611 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
1243ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 773 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 33617 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12773, 126eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12858, 127exlimddv 1937 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12943, 128pm2.61dane 3028 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
13015, 129pm2.61dane 3028 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  {cab 2708   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859   β‰ˆ cen 8940   β‰Ό cdom 8941   β‰Ί csdm 8942  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  ..^cfzo 13632  Ξ£*cesum 33324  toCaraSigaccarsg 33599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-esum 33325  df-carsg 33600
This theorem is referenced by:  carsgclctun  33619
  Copyright terms: Public domain W3C validator