Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 32960
Description: Lemma for carsgclctun 32961. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctun.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
carsgclctun.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem3.1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 π‘˜ 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13354 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 31495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelcdmd 7041 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 31496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelcdmd 7041 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 13227 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 13058 . . . 4 (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ +∞)
14 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
1513, 14breqtrrd 5138 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) = +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
16 unieq 4881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ βˆ…)
17 uni0 4901 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ βˆ… = βˆ…
1816, 17eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
1918ineq2d 4177 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = (𝐸 ∩ βˆ…))
20 in0 4356 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ βˆ…) = βˆ…
2119, 20eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴) = βˆ…)
2221fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
2318difeq2d 4087 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = (𝐸 βˆ– βˆ…))
24 dif0 4337 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 βˆ– βˆ…) = 𝐸
2523, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)) = (π‘€β€˜πΈ))
2722, 26oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (𝐴 = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
2827adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
3130oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜βˆ…) +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)))
322, 3ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sselid 3947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
35 xaddid2 13168 . . . . . . . 8 ((π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ* β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (0 +𝑒 (π‘€β€˜πΈ)) = (π‘€β€˜πΈ))
3728, 31, 363eqtrd 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
3837, 34eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 31721 . . . . . . 7 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4038, 34, 39syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ) ↔ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ))))
4137, 40mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ) ∧ Β¬ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) < (π‘€β€˜πΈ)))
4241simpld 496 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
4342adantlr 714 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
45 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (toCaraSigaβ€˜π‘€) ∈ V
4645ssex 5283 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 9055 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ… β‰Ί 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
4948biimpar 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
5049adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… β‰Ί 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
52 nnenom 13892 . . . . . . . 8 β„• β‰ˆ Ο‰
5352ensymi 8951 . . . . . . 7 Ο‰ β‰ˆ β„•
54 domentr 8960 . . . . . . 7 ((𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Ο‰ β‰ˆ β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5551, 53, 54sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
5655ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό β„•)
57 fodomr 9079 . . . . 5 ((βˆ… β‰Ί 𝐴 ∧ 𝐴 β‰Ό β„•) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:ℕ–onto→𝐴)
59 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘˜))
6059iundisj 24928 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
61 fofn 6763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓 Fn β„•)
62 fniunfv 7199 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝑓)
64 forn 6764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4884 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ ran 𝑓 = βˆͺ 𝐴)
6663, 65eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6766adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘“β€˜π‘›) = βˆͺ 𝐴)
6860, 67eqtr3id 2791 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝐴)
6968ineq2d 4177 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴))
7069fveq2d 6851 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)))
7168difeq2d 4087 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))) = (𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))
7271fveq2d 6851 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴)))
7370, 72oveq12d 7380 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
7574ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
762ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
79783adant1r 1178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
80793adant1r 1178 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
81803adant1r 1178 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
83823adant1r 1178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
84833adant1r 1178 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
85843adant1r 1178 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
8659iundisj2 24929 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))
8875adantr 482 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
8976adantr 482 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
9044ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
91 fof 6761 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto→𝐴 β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
9291ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
93 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9492, 93ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3950 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
9677adantr 482 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
97813adant1r 1178 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 32955 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ 𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆͺ 𝑔)) ≀ ((π‘€β€˜π‘’) +𝑒 (π‘€β€˜π‘”)))
9991ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ΄)
100 fzossnn 13628 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) βŠ† β„•
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1..^𝑛) βŠ† β„•)
102101sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
10399, 102ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 4995 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝐴 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) = βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)})
107 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
108107rnmpt 5915 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)}
109 fzofi 13886 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 9302 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
111 rnfi 9286 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2835 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ Fin)
11590adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ 𝐴 βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
116115, 103sseldd 3950 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
117116ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
118107rnmptss 7075 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1..^𝑛) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
120108, 119eqsstrrid 3998 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 32956 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (π‘“β€˜π‘˜)} ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
122106, 121eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 32953 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
1243ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 775 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 32959 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜)))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((π‘“β€˜π‘›) βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1..^𝑛)(π‘“β€˜π‘˜))))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12773, 126eqbrtrrd 5134 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑓:ℕ–onto→𝐴) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12858, 127exlimddv 1939 . . 3 (((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
12943, 128pm2.61dane 3033 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
13015, 129pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888   β‰Ί csdm 8889  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„•cn 12160   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  ..^cfzo 13574  Ξ£*cesum 32666  toCaraSigaccarsg 32941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667  df-carsg 32942
This theorem is referenced by:  carsgclctun  32961
  Copyright terms: Public domain W3C validator