Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carsgclctunlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carsgclctunlem3 31477
Description: Lemma for carsgclctun 31478. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
carsgsiga.2 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
carsgsiga.3 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
carsgclctun.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
carsgclctun.2 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
carsgclctunlem3.1 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑂,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem carsgclctunlem3
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑘 𝑛 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12807 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 carsgval.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
3 carsgclctunlem3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
43elpwincl1 30213 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
52, 4ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
73elpwdifcl 30214 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
82, 7ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 8sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) ∈ ℝ*)
106, 9xaddcld 12682 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
12 pnfge 12513 . . . 4 (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
1311, 12syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ +∞)
14 simpr 485 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → (𝑀𝐸) = +∞)
1513, 14breqtrrd 5085 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) = +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
16 unieq 4838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
17 uni0 4857 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = ∅
1816, 17syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1918ineq2d 4186 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∩ ∅))
20 in0 4342 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∩ ∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = ∅)
2221fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀‘∅))
2318difeq2d 4096 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = (𝐸 ∖ ∅))
24 dif0 4329 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∖ ∅) = 𝐸
2523, 24syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (𝐸 𝐴) = 𝐸)
2625fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (𝑀‘(𝐸 𝐴)) = (𝑀𝐸))
2722, 26oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
2827adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)))
29 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
3130oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘∅) +𝑒 (𝑀𝐸)) = (0 +𝑒 (𝑀𝐸)))
322, 3ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ (0[,]+∞))
331, 32sseldi 3962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
3433adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = ∅) → (𝑀𝐸) ∈ ℝ*)
35 xaddid2 12623 . . . . . . . 8 ((𝑀𝐸) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → (0 +𝑒 (𝑀𝐸)) = (𝑀𝐸))
3728, 31, 363eqtrd 2857 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸))
3837, 34eqeltrd 2910 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ*)
39 xeqlelt 30425 . . . . . . 7 ((((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐸) ∈ ℝ*) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4038, 34, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) = (𝑀𝐸) ↔ (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸))))
4137, 40mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = ∅) → (((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸) ∧ ¬ ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) < (𝑀𝐸)))
4241simpld 495 . . . 4 ((𝜑𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
4342adantlr 711 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
44 carsgclctun.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
45 fvex 6676 . . . . . . . . 9 (toCaraSiga‘𝑀) ∈ V
4645ssex 5216 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀) → 𝐴 ∈ V)
47 0sdomg 8634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4844, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
4948biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
5049adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
51 carsgclctun.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≼ ω)
52 nnenom 13336 . . . . . . . 8 ℕ ≈ ω
5352ensymi 8547 . . . . . . 7 ω ≈ ℕ
54 domentr 8556 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≼ ℕ)
5551, 53, 54sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≼ ℕ)
5655ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ ℕ)
57 fodomr 8656 . . . . 5 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ℕ) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
5850, 56, 57syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–onto𝐴)
59 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑘))
6059iundisj 24076 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
61 fofn 6585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓 Fn ℕ)
62 fniunfv 6997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = ran 𝑓)
64 forn 6586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:ℕ–onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
6564unieqd 4840 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:ℕ–onto𝐴 ran 𝑓 = 𝐴)
6663, 65eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑓𝑛) = 𝐴)
6860, 67syl5eqr 2867 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) = 𝐴)
6968ineq2d 4186 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7069fveq2d 6667 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7168difeq2d 4096 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))) = (𝐸 𝐴))
7271fveq2d 6667 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) = (𝑀‘(𝐸 𝐴)))
7370, 72oveq12d 7163 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) = ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))))
74 carsgval.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑂𝑉)
7574ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑂𝑉)
762ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
7729ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
78 carsgsiga.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
79783adant1r 1169 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
80793adant1r 1169 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
81803adant1r 1169 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
82 carsgsiga.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
83823adant1r 1169 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
84833adant1r 1169 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
85843adant1r 1169 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑥𝑦𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑥) ≤ (𝑀𝑦))
8659iundisj2 24077 . . . . . . 7 Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))
8786a1i 11 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → Disj 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))
8875adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂𝑉)
8976adantr 481 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
9044ad4antr 728 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
91 fof 6583 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ–onto𝐴𝑓:ℕ⟶𝐴)
9291ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
93 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
9492, 93ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ 𝐴)
9590, 94sseldd 3965 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑓𝑛) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
9677adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑀‘∅) = 0)
97813adant1r 1169 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 𝑂) → (𝑀 𝑥) ≤ Σ*𝑦𝑥(𝑀𝑦))
9888, 89, 96, 97carsgsigalem 31472 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑔 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑔)) ≤ ((𝑀𝑒) +𝑒 (𝑀𝑔)))
9991ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑓:ℕ⟶𝐴)
100 fzossnn 13074 . . . . . . . . . . . . 13 (1..^𝑛) ⊆ ℕ
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1..^𝑛) ⊆ ℕ)
102101sselda 3964 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
10399, 102ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
104103ralrimiva 3179 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴)
105 dfiun2g 4946 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ 𝐴 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)})
107 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘))
108107rnmpt 5820 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) = {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)}
109 fzofi 13330 . . . . . . . . . . . 12 (1..^𝑛) ∈ Fin
110 mptfi 8811 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^𝑛) ∈ Fin → (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
111 rnfi 8795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin)
112109, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ Fin
113108, 112eqeltrri 2907 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin
114113a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ Fin)
11590adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → 𝐴 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
116115, 103sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)) → (𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
117116ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
118107rnmptss 6878 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ran (𝑘 ∈ (1..^𝑛) ↦ (𝑓𝑘)) ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
120108, 119eqsstrrid 4013 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ⊆ (toCaraSiga‘𝑀))
12188, 89, 96, 97, 114, 120fiunelcarsg 31473 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑧 ∣ ∃𝑘 ∈ (1..^𝑛)𝑧 = (𝑓𝑘)} ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
122106, 121eqeltrd 2910 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
12388, 89, 95, 98, 122difelcarsg2 31470 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)) ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
1243ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
125 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → (𝑀𝐸) ≠ +∞)
12675, 76, 77, 81, 85, 87, 123, 124, 125carsgclctunlem2 31476 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘)))) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝑛 ∈ ℕ ((𝑓𝑛) ∖ 𝑘 ∈ (1..^𝑛)(𝑓𝑘))))) ≤ (𝑀𝐸))
12773, 126eqbrtrrd 5081 . . . 4 ((((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑓:ℕ–onto𝐴) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12858, 127exlimddv 1927 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
12943, 128pm2.61dane 3101 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝐸) ≠ +∞) → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
13015, 129pm2.61dane 3101 1 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐸 𝐴)) +𝑒 (𝑀‘(𝐸 𝐴))) ≤ (𝑀𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cuni 4830   ciun 4910  Disj wdisj 5022   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  ontowfo 6346  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cen 8494  cdom 8495  csdm 8496  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cn 11626   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  ..^cfzo 13021  Σ*cesum 31185  toCaraSigaccarsg 31458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-ordt 16762  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-ps 17798  df-tsr 17799  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-subrg 19462  df-abv 19517  df-lmod 19565  df-scaf 19566  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-tmd 22608  df-tgp 22609  df-tsms 22662  df-trg 22695  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-nm 23119  df-ngp 23120  df-nrg 23122  df-nlm 23123  df-ii 23412  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-esum 31186  df-carsg 31459
This theorem is referenced by:  carsgclctun  31478
  Copyright terms: Public domain W3C validator