MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem1 19819
Description: Lemma for frgpnabl 19821. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpnabl.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpnabl.p + = (+gβ€˜πΊ)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
frgpnabl.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
frgpnabl.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   𝑣,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   + (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
2 0ex 5301 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
32prid1 4762 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
4 df2o3 8488 . . . . . . . 8 2o = {βˆ…, 1o}
53, 4eleqtrri 2827 . . . . . . 7 βˆ… ∈ 2o
6 opelxpi 5709 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
71, 5, 6sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
8 frgpnabl.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
9 opelxpi 5709 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
108, 5, 9sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
117, 10s2cld 14846 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
12 frgpnabl.w . . . . . 6 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
13 frgpnabl.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 2on 8494 . . . . . . . 8 2o ∈ On
15 xpexg 7746 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
17 wrdexg 14498 . . . . . . 7 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
18 fvi 6968 . . . . . . 7 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2012, 19eqtrid 2779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
2111, 20eleqtrrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
22 1n0 8502 . . . . . . 7 1o β‰  βˆ…
23 2cn 12309 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
2423addlidi 11424 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 2) = 2
25 s2len 14864 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = 2
2624, 25eqtr4i 2758 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 2) = (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
27 frgpnabl.r . . . . . . . . . . . . . 14 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
28 frgpnabl.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
29 frgpnabl.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
3012, 27, 28, 29efgtlen 19672 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3226, 31eqtrid 2779 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3332ex 412 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2)))
34 0cnd 11229 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 0 ∈ β„‚)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
3612efgrcl 19661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3736simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
3935, 38eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
40 lencl 14507 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4241nn0cnd 12556 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
43 2cnd 12312 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 2 ∈ β„‚)
4434, 42, 43addcan2d 11440 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2) ↔ 0 = (β™―β€˜π‘₯)))
4533, 44sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 0 = (β™―β€˜π‘₯)))
4612, 27, 28, 29efgtf 19668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜βˆ…):((0...(β™―β€˜βˆ…)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜βˆ…):((0...(β™―β€˜βˆ…)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
4847simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
4948rneqd 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘‡β€˜βˆ…) = ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5049eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))))
51 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
52 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ V
5351, 52elrnmpo 7551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
54 wrd0 14513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
56 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
5728efgmf 19659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
5857ffvelcdmi 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
6056, 59s2cld 14846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
61 ccatidid 14564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
6261oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…) = (βˆ… ++ βˆ…)
6362, 61eqtr2i 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆ… = ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… = ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…))
65 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)))
66 hash0 14350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β™―β€˜βˆ…) = 0
6766oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0...(β™―β€˜βˆ…)) = (0...0)
6865, 67eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...0))
69 elfz1eq 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž ∈ (0...0) β†’ π‘Ž = 0)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = 0)
7170, 66eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (β™―β€˜βˆ…))
7266oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž + (β™―β€˜βˆ…)) = (π‘Ž + 0)
73 0cn 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ β„‚
7470, 73eqeltrdi 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
7574addridd 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž + 0) = π‘Ž)
7672, 75eqtr2id 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (π‘Ž + (β™―β€˜βˆ…)))
7755, 55, 55, 60, 64, 71, 76splval2 14731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…))
78 ccatlid 14560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
7978oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ βˆ…))
80 ccatrid 14561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8179, 80eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8260, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8377, 82eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8483eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
851ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
86 1on 8492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o ∈ On
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 1o ∈ On)
88 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8988fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1))
90 opex 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V
91 s2fv1 14863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©
93 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘€β€˜π‘) ∈ V
94 s2fv1 14863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘€β€˜π‘) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1) = (π‘€β€˜π‘))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1) = (π‘€β€˜π‘)
9689, 92, 953eqtr3g 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© = (π‘€β€˜π‘))
9788fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0))
98 opex 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V
99 s2fv0 14862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©)
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©
101 s2fv0 14862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0) = 𝑏)
102101elv 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0) = 𝑏
10397, 100, 1023eqtr3g 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = 𝑏)
104103fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©) = (π‘€β€˜π‘))
10528efgmval 19658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ (π΄π‘€βˆ…) = ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩)
10685, 5, 105sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π΄π‘€βˆ…) = ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩)
107 df-ov 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π΄π‘€βˆ…) = (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)
108 dif0 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1o βˆ– βˆ…) = 1o
109108opeq2i 4873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
110106, 107, 1093eqtr3g 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©) = ⟨𝐴, 1o⟩)
11196, 104, 1103eqtr2rd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
112 opthg 5473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ On) β†’ (⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ↔ (𝐴 = 𝐡 ∧ 1o = βˆ…)))
113112simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ On) ∧ ⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©) β†’ 1o = βˆ…)
11485, 87, 111, 113syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 1o = βˆ…)
115114ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© β†’ 1o = βˆ…))
11684, 115sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ 1o = βˆ…))
117116rexlimdvva 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ 1o = βˆ…))
11853, 117biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) β†’ 1o = βˆ…))
11950, 118sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…) β†’ 1o = βˆ…))
120119expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)) β†’ 1o = βˆ…))
121 hasheq0 14346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = βˆ…))
122121elv 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = βˆ…)
123 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ βˆ… ∈ π‘Š))
124 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜βˆ…))
125124rneqd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ ran (π‘‡β€˜π‘₯) = ran (π‘‡β€˜βˆ…))
126125eleq2d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)))
127123, 126anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
128122, 127sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
129128eqcoms 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
130129imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ 1o = βˆ…) ↔ ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)) β†’ 1o = βˆ…)))
131120, 130syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ 1o = βˆ…)))
132131com23 86 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…)))
133132expdimp 452 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…)))
13445, 133mpdd 43 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…))
135134necon3ad 2948 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (1o β‰  βˆ… β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)))
13622, 135mpi 20 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
137136nrexdv 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Š βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
138 eliun 4995 . . . . 5 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Š βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
139137, 138sylnibr 329 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
14021, 139eldifd 3955 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯)))
141 frgpnabl.d . . 3 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
142140, 141eleqtrrdi 2839 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
143 df-s2 14823 . . . . 5 βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
14412, 27efger 19664 . . . . . . 7 ∼ Er π‘Š
145144a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
146145, 21erref 8738 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
147143, 146eqbrtrrid 5178 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
148143ovexi 7448 . . . . 5 βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ V
149 ovex 7447 . . . . 5 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∈ V
150148, 149elec 8763 . . . 4 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ ↔ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
151147, 150sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
152 frgpnabl.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
15327, 152vrgpval 19713 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15413, 1, 153syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15527, 152vrgpval 19713 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15613, 8, 155syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
157154, 156oveq12d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
1587s1cld 14577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
159158, 20eleqtrrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
16010s1cld 14577 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
161160, 20eleqtrrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
162 frgpnabl.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
163 frgpnabl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
16412, 162, 27, 163frgpadd 19709 . . . . 5 ((βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š) β†’ ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
165159, 161, 164syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
166157, 165eqtrd 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
167151, 166eleqtrrd 2831 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
168142, 167elind 4190 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943  βˆ…c0 4318  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  βŸ¨cotp 4632  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569   Γ— cxp 5670  ran crn 5673  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  1oc1o 8473  2oc2o 8474   Er wer 8715  [cec 8716  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  2c2 12289  β„•0cn0 12494  ...cfz 13508  β™―chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544  βŸ¨β€œcs1 14569   splice csplice 14723  βŸ¨β€œcs2 14816  +gcplusg 17224   ~FG cefg 19652  freeGrpcfrgp 19653  varFGrpcvrgp 19654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-s1 14570  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-splice 14724  df-s2 14823  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-frmd 18792  df-efg 19655  df-frgp 19656  df-vrgp 19657
This theorem is referenced by:  frgpnabllem2  19820
  Copyright terms: Public domain W3C validator