MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem1 19658
Description: Lemma for frgpnabl 19660. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) (Revised by AV, 25-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpnabl.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpnabl.p + = (+gβ€˜πΊ)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
frgpnabl.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
frgpnabl.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpnabl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpnabl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
frgpnabl.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   𝑣,𝑛,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   πœ‘,π‘₯   π‘₯, ∼ ,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐡(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   + (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem frgpnabllem1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
2 0ex 5269 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ V
32prid1 4728 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
4 df2o3 8425 . . . . . . . 8 2o = {βˆ…, 1o}
53, 4eleqtrri 2837 . . . . . . 7 βˆ… ∈ 2o
6 opelxpi 5675 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
71, 5, 6sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
8 frgpnabl.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐼)
9 opelxpi 5675 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
108, 5, 9sylancl 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
117, 10s2cld 14767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
12 frgpnabl.w . . . . . 6 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
13 frgpnabl.i . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
14 2on 8431 . . . . . . . 8 2o ∈ On
15 xpexg 7689 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
1613, 14, 15sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
17 wrdexg 14419 . . . . . . 7 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
18 fvi 6922 . . . . . . 7 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2012, 19eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
2111, 20eleqtrrd 2841 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
22 1n0 8439 . . . . . . 7 1o β‰  βˆ…
23 2cn 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„‚
2423addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 2) = 2
25 s2len 14785 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = 2
2624, 25eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 2) = (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
27 frgpnabl.r . . . . . . . . . . . . . 14 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
28 frgpnabl.m . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
29 frgpnabl.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
3012, 27, 28, 29efgtlen 19515 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (β™―β€˜βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3226, 31eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2))
3332ex 414 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2)))
34 0cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 0 ∈ β„‚)
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ π‘Š)
3612efgrcl 19504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3736simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
3837adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
3935, 38eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
40 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
4241nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
43 2cnd 12238 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ 2 ∈ β„‚)
4434, 42, 43addcan2d 11366 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ ((0 + 2) = ((β™―β€˜π‘₯) + 2) ↔ 0 = (β™―β€˜π‘₯)))
4533, 44sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 0 = (β™―β€˜π‘₯)))
4612, 27, 28, 29efgtf 19511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜βˆ…):((0...(β™―β€˜βˆ…)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
4746adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ ((π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜βˆ…):((0...(β™―β€˜βˆ…)) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
4847simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (π‘‡β€˜βˆ…) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
4948rneqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ ran (π‘‡β€˜βˆ…) = ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)))
5049eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))))
51 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) = (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
52 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ∈ V
5351, 52elrnmpo 7497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
54 wrd0 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
56 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
5728efgmf 19502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
5857ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
5956, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
6056, 59s2cld 14767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
61 ccatidid 14485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
6261oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…) = (βˆ… ++ βˆ…)
6362, 61eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 βˆ… = ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… = ((βˆ… ++ βˆ…) ++ βˆ…))
65 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)))
66 hash0 14274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β™―β€˜βˆ…) = 0
6766oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0...(β™―β€˜βˆ…)) = (0...0)
6865, 67eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ (0...0))
69 elfz1eq 13459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž ∈ (0...0) β†’ π‘Ž = 0)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = 0)
7170, 66eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (β™―β€˜βˆ…))
7266oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž + (β™―β€˜βˆ…)) = (π‘Ž + 0)
73 0cn 11154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ β„‚
7470, 73eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
7574addid1d 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž + 0) = π‘Ž)
7672, 75eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (π‘Ž + (β™―β€˜βˆ…)))
7755, 55, 55, 60, 64, 71, 76splval2 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…))
78 ccatlid 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
7978oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ βˆ…))
80 ccatrid 14482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8179, 80eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8260, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((βˆ… ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ βˆ…) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8377, 82eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8483eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
851ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
86 1on 8429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1o ∈ On
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 1o ∈ On)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
8988fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1))
90 opex 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V
91 s2fv1 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝐡, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜1) = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©
93 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘€β€˜π‘) ∈ V
94 s2fv1 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘€β€˜π‘) ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1) = (π‘€β€˜π‘))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜1) = (π‘€β€˜π‘)
9689, 92, 953eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐡, βˆ…βŸ© = (π‘€β€˜π‘))
9788fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0))
98 opex 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V
99 s2fv0 14783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ V β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©)
10098, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©β€˜0) = ⟨𝐴, βˆ…βŸ©
101 s2fv0 14783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 ∈ V β†’ (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0) = 𝑏)
102101elv 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©β€˜0) = 𝑏
10397, 100, 1023eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© = 𝑏)
104103fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©) = (π‘€β€˜π‘))
10528efgmval 19501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ (π΄π‘€βˆ…) = ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩)
10685, 5, 105sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π΄π‘€βˆ…) = ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩)
107 df-ov 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π΄π‘€βˆ…) = (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)
108 dif0 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1o βˆ– βˆ…) = 1o
109108opeq2i 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⟨𝐴, (1o βˆ– βˆ…)⟩ = ⟨𝐴, 1o⟩
110106, 107, 1093eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ (π‘€β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©) = ⟨𝐴, 1o⟩)
11196, 104, 1103eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ ⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©)
112 opthg 5439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ On) β†’ (⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ© ↔ (𝐴 = 𝐡 ∧ 1o = βˆ…)))
113112simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 1o ∈ On) ∧ ⟨𝐴, 1o⟩ = ⟨𝐡, βˆ…βŸ©) β†’ 1o = βˆ…)
11485, 87, 111, 113syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) β†’ 1o = βˆ…)
115114ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© β†’ 1o = βˆ…))
11684, 115sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) ∧ (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ 1o = βˆ…))
117116rexlimdvva 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…))βˆƒπ‘ ∈ (𝐼 Γ— 2o)βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) β†’ 1o = βˆ…))
11853, 117biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘Ž ∈ (0...(β™―β€˜βˆ…)), 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (βˆ… splice βŸ¨π‘Ž, π‘Ž, βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©)) β†’ 1o = βˆ…))
11950, 118sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ βˆ… ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…) β†’ 1o = βˆ…))
120119expimpd 455 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)) β†’ 1o = βˆ…))
121 hasheq0 14270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = βˆ…))
122121elv 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘₯) = 0 ↔ π‘₯ = βˆ…)
123 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ π‘Š ↔ βˆ… ∈ π‘Š))
124 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜βˆ…))
125124rneqd 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ ran (π‘‡β€˜π‘₯) = ran (π‘‡β€˜βˆ…))
126125eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) ↔ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)))
127123, 126anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
128122, 127sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π‘₯) = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
129128eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) ↔ (βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…))))
130129imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ (((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ 1o = βˆ…) ↔ ((βˆ… ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜βˆ…)) β†’ 1o = βˆ…)))
131120, 130syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ 1o = βˆ…)))
132131com23 86 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)) β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…)))
133132expdimp 454 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (0 = (β™―β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…)))
13445, 133mpdd 43 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 1o = βˆ…))
135134necon3ad 2957 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ (1o β‰  βˆ… β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯)))
13622, 135mpi 20 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ π‘Š) β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
137136nrexdv 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Š βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
138 eliun 4963 . . . . 5 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘Š βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ran (π‘‡β€˜π‘₯))
139137, 138sylnibr 329 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
14021, 139eldifd 3926 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯)))
141 frgpnabl.d . . 3 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
142140, 141eleqtrrdi 2849 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ 𝐷)
143 df-s2 14744 . . . . 5 βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© = (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
14412, 27efger 19507 . . . . . . 7 ∼ Er π‘Š
145144a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∼ Er π‘Š)
146145, 21erref 8675 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
147143, 146eqbrtrrid 5146 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
148143ovexi 7396 . . . . 5 βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ V
149 ovex 7395 . . . . 5 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∈ V
150148, 149elec 8699 . . . 4 (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ ↔ (βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©) ∼ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)
151147, 150sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
152 frgpnabl.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
15327, 152vrgpval 19556 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15413, 1, 153syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15527, 152vrgpval 19556 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
15613, 8, 155syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΅) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
157154, 156oveq12d 7380 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
1587s1cld 14498 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
159158, 20eleqtrrd 2841 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
16010s1cld 14498 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
161160, 20eleqtrrd 2841 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
162 frgpnabl.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
163 frgpnabl.p . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
16412, 162, 27, 163frgpadd 19552 . . . . 5 ((βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š) β†’ ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
165159, 161, 164syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ([βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ + [βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
166157, 165eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)) = [(βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ++ βŸ¨β€œβŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ©)] ∼ )
167151, 166eleqtrrd 2841 . 2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅)))
168142, 167elind 4159 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©βŸ¨π΅, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ (𝐷 ∩ ((π‘ˆβ€˜π΄) + (π‘ˆβ€˜π΅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914  βˆ…c0 4287  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597  βŸ¨cotp 4599  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  ran crn 5639  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1oc1o 8410  2oc2o 8411   Er wer 8652  [cec 8653  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  2c2 12215  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490   splice csplice 14644  βŸ¨β€œcs2 14737  +gcplusg 17140   ~FG cefg 19495  freeGrpcfrgp 19496  varFGrpcvrgp 19497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-s2 14744  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-frmd 18666  df-efg 19498  df-frgp 19499  df-vrgp 19500
This theorem is referenced by:  frgpnabllem2  19659
  Copyright terms: Public domain W3C validator