Theorem efgi0 19686

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4707	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8406	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19685	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 705	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
10		tru 1546	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, ∅⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
12		dif0 4319	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
13	12	opeq2i 4821	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
15	11, 14	s2eqd 14816	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩)
16		oteq3 4828	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7371	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576   class class class wbr 5086   I cid 5518   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392  0cc0 11029  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Word cword 14466   splice csplice 14702  ⟨“cs2 14794   ~_FG cefg 19672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-s2 14801  df-efg 19675

This theorem is referenced by: (None)