Theorem efgi0 18517

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5026	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4528	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 7857	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2857	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 18516	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 694	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1097	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
10		tru 1606	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2778	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, ∅⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
12		dif0 4180	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
13	12	opeq2i 4640	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
15	11, 14	s2eqd 14014	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩)
16		oteq3 4647	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 6933	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
19	9, 18	syl6breq 4927	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ⊤wtru 1602   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3788  ∅c0 4140  {cpr 4399  ⟨cop 4403  ⟨cotp 4405   class class class wbr 4886   I cid 5260   × cxp 5353  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1_oc1o 7836  2_oc2o 7837  0cc0 10272  ...cfz 12643  ♯chash 13435  Word cword 13599   splice csplice 13885  ⟨“cs2 13992   ~_FG cefg 18503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-splice 13887  df-s2 13999  df-efg 18506

This theorem is referenced by: (None)