Theorem efgi0 19241

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5226	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4695	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8282	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2838	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19240	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 700	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
10		tru 1543	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, ∅⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
12		dif0 4303	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
13	12	opeq2i 4805	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
15	11, 14	s2eqd 14504	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩)
16		oteq3 4812	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7266	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5111	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟨cotp 4566   class class class wbr 5070   I cid 5479   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260  2_oc2o 8261  0cc0 10802  ...cfz 13168  ♯chash 13972  Word cword 14145   splice csplice 14390  ⟨“cs2 14482   ~_FG cefg 19227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-s2 14489  df-efg 19230

This theorem is referenced by: (None)