Theorem efgi0 19762

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5325	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4787	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8530	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2843	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19761	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
10		tru 1541	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, ∅⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
12		dif0 4400	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
13	12	opeq2i 4901	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
15	11, 14	s2eqd 14912	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩)
16		oteq3 4908	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7459	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5207	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973  ∅c0 4352  {cpr 4650  ⟨cop 4654  ⟨cotp 4656   class class class wbr 5166   I cid 5592   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516  0cc0 11184  ...cfz 13567  ♯chash 14379  Word cword 14562   splice csplice 14797  ⟨“cs2 14890   ~_FG cefg 19748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-s2 14897  df-efg 19751

This theorem is referenced by: (None)