Theorem efgi0 19634

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5247	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	prid1 4714	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8399	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2832	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
7	5, 6	efgi 19633	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
8	4, 7	mpanr2 704	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
9	8	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩))
10		tru 1545	. . . 4 ⊢ ⊤
11		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, ∅⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
12		dif0 4327	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∖ ∅) = 1o
13	12	opeq2i 4828	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩ = ⟨𝐽, 1o⟩)
15	11, 14	s2eqd 14772	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩)
16		oteq3 4835	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
17	10, 15, 16	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩
18	17	oveq2i 7363	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, (1o ∖ ∅)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩)
19	9, 18	breqtrdi 5134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, ∅⟩⟨𝐽, 1o⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895  ∅c0 4282  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ⟨cotp 4583   class class class wbr 5093   I cid 5513   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  1_oc1o 8384  2_oc2o 8385  0cc0 11013  ...cfz 13409  ♯chash 14239  Word cword 14422   splice csplice 14658  ⟨“cs2 14750   ~_FG cefg 19620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-substr 14551  df-pfx 14581  df-splice 14659  df-s2 14757  df-efg 19623

This theorem is referenced by: (None)