Theorem sigapildsyslem 32129

Description: Lemma for sigapildsys 32130. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
sigapildsyslem.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sigapildsyslem.1	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
sigapildsyslem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
sigapildsyslem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
sigapildsyslem	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 4992	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∅)
4	3	difeq2d 4057	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5		dif0 4306	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
6	4, 5	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
8		sigapildsyslem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
10	7, 9	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11		iindif2 5006	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
13		sigapildsyslem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	14	elin1d 4132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
16		dynkin.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
17	16	ispisys 32120	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
18	15, 17	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
19	18	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20		sigapildsyslem.n	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
21		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑁 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅)
23	18	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
24	23	elpwid 4544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
25	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
26	24, 25	sseldd 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
27	26	elpwid 4544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
29		difin2 4225	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
32	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
33	14	elin2d 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝐿)
34		dynkin.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
35	34	isldsys 32124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
36	33, 35	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
37	36	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
38	37	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
40		sigapildsyslem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
41	40	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
42		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡
43		difeq2 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐵))
44	43	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
45	42, 44	rspc 3549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
48	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑡)
49		inelfi 9177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
50	32, 47, 48, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
51	31, 50	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
52	30, 51	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
53	52	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
54	22, 53	ralrimi 3141	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
55		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56		sigapildsyslem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
57	56	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58		vex 3436	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
59		iinfi 9176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
60	58, 59	mpan 687	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
61	54, 55, 57, 60	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
62	19, 61	sseldd 3922	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
63	12, 62	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
64	10, 63	pm2.61dane 3032	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4924  ∩ ciin 4925  Disj wdisj 5039   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  ωcom 7712   ≼ cdom 8731  Fincfn 8733  ficfi 9169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737  df-fi 9170

This theorem is referenced by:  sigapildsys  32130