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Theorem sigapildsyslem 32129
Description: Lemma for sigapildsys 32130. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
sigapildsyslem.n 𝑛𝜑
sigapildsyslem.1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
sigapildsyslem.2 (𝜑𝐴𝑡)
sigapildsyslem.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
Assertion
Ref Expression
sigapildsyslem (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4940 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 4992 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
31, 2eqtrdi 2794 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = ∅)
43difeq2d 4057 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5 dif0 4306 . . . . 5 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
64, 5eqtrdi 2794 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
8 sigapildsyslem.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑡)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝐴𝑡)
107, 9eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11 iindif2 5006 . . . 4 (𝑁 ≠ ∅ → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
1211adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
13 sigapildsyslem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1514elin1d 4132 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝑃)
16 dynkin.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
1716ispisys 32120 . . . . . 6 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1815, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1918simprd 496 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20 sigapildsyslem.n . . . . . . 7 𝑛𝜑
21 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑛 𝑁 ≠ ∅
2220, 21nfan 1902 . . . . . 6 𝑛(𝜑𝑁 ≠ ∅)
2318simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
2423elpwid 4544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
258adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑡)
2624, 25sseldd 3922 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
2726elpwid 4544 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑂)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑂)
29 difin2 4225 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3119adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
3214adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
3314elin2d 4133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝐿)
34 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3534isldsys 32124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3633, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3736simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
3837simp2d 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
40 sigapildsyslem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
4140adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
42 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑂𝐵) ∈ 𝑡
43 difeq2 4051 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐵 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐵))
4443eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4542, 44rspc 3549 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡)
4825adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑡)
49 inelfi 9177 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡𝐴𝑡) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5131, 50sseldd 3922 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
5230, 51eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
5352ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑛𝑁 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡))
5422, 53ralrimi 3141 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
55 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56 sigapildsyslem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58 vex 3436 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
59 iinfi 9176 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6058, 59mpan 687 . . . . 5 ((∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6154, 55, 57, 60syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6219, 61sseldd 3922 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
6312, 62eqeltrrd 2840 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
6410, 63pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wnf 1786  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  cdif 3884  cin 3886  wss 3887  c0 4256  𝒫 cpw 4533   cuni 4839   ciun 4924   ciin 4925  Disj wdisj 5039   class class class wbr 5074  cfv 6433  ωcom 7712  cdom 8731  Fincfn 8733  ficfi 9169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-fin 8737  df-fi 9170
This theorem is referenced by:  sigapildsys  32130
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