Theorem sigapildsyslem 34727

Description: Lemma for sigapildsys 34728. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
sigapildsyslem.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sigapildsyslem.1	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
sigapildsyslem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
sigapildsyslem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
sigapildsyslem	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑛, 𝑠)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑡, 𝑠)   𝐵(𝑦, 𝑡, 𝑛, 𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦, 𝑡, 𝑠)   𝑂(𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5020	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∅)
4	3	difeq2d 4073	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5		dif0 4326	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
6	4, 5	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
7	6	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
8		sigapildsyslem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
10	7, 9	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11		iindif2 5036	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
13		sigapildsyslem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	14	elin1d 4149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
16		dynkin.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
17	16	ispisys 34718	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
18	15, 17	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
19	18	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20		sigapildsyslem.n	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
21		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑁 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅)
23	18	simpld 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
24	23	elpwid 4565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
25	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
26	24, 25	sseldd 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
27	26	elpwid 4565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
29		difin2 4246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	19	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
32	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
33	14	elin2d 4150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝐿)
34		dynkin.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
35	34	isldsys 34722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
36	33, 35	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
37	36	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
38	37	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
40		sigapildsyslem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
41	40	adantlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
42		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡
43		difeq2 4067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐵))
44	43	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
45	42, 44	rspc 3564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
46	41, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
47	39, 46	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
48	25	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑡)
49		inelfi 9388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
50	32, 47, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
51	31, 50	sseldd 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
52	30, 51	eqeltrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
53	52	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
54	22, 53	ralrimi 3260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
55		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56		sigapildsyslem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
57	56	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
59		iinfi 9387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
60	58, 59	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
61	54, 55, 57, 60	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
62	19, 61	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
63	12, 62	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
64	10, 63	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866  ∪ ciun 4950  ∩ ciin 4951  Disj wdisj 5069   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  ωcom 7860   ≼ cdom 8949  Fincfn 8951  ficfi 9380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-om 7861  df-1o 8454  df-2o 8455  df-en 8952  df-dom 8953  df-fin 8955  df-fi 9381

This theorem is used by:  sigapildsys  34728