Theorem sigapildsyslem 33154

Description: Lemma for sigapildsys 33155. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
sigapildsyslem.n	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
sigapildsyslem.1	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
sigapildsyslem.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
sigapildsyslem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)

Assertion

Ref	Expression
sigapildsyslem	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 5013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2		0iun 5066	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵 = ∅)
4	3	difeq2d 4122	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5		dif0 4372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
6	4, 5	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) = 𝐴)
8		sigapildsyslem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑡)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
10	7, 9	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11		iindif2 5080	. . . 4 ⊢ (𝑁 ≠ ∅ → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵))
13		sigapildsyslem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
15	14	elin1d 4198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝑃)
16		dynkin.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
17	16	ispisys 33145	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ 𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
18	15, 17	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
19	18	simprd 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20		sigapildsyslem.n	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
21		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑁 ≠ ∅
22	20, 21	nfan 1902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅)
23	18	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
24	23	elpwid 4611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
25	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝑡)
26	24, 25	sseldd 3983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
27	26	elpwid 4611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
29		difin2 4291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) = ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴))
31	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
32	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿))
33	14	elin2d 4199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝐿)
34		dynkin.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
35	34	isldsys 33149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
36	33, 35	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
37	36	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
38	37	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
40		sigapildsyslem.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
41	40	adantlr 713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐵 ∈ 𝑡)
42		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡
43		difeq2 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐵))
44	43	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
45	42, 44	rspc 3600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑡 → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
47	39, 46	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
48	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝑡)
49		inelfi 9412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝑃 ∩ 𝐿) ∧ (𝑂 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
50	32, 47, 48, 49	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
51	31, 50	sseldd 3983	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → ((𝑂 ∖ 𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
52	30, 51	eqeltrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛 ∈ 𝑁) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
53	52	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝑛 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡))
54	22, 53	ralrimi 3254	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
55		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56		sigapildsyslem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
57	56	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58		vex 3478	. . . . . 6 ⊢ 𝑡 ∈ V
59		iinfi 9411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
60	58, 59	mpan 688	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
61	54, 55, 57, 60	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
62	19, 61	sseldd 3983	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∩ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝑡)
63	12, 62	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
64	10, 63	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  𝒫 cpw 4602  ∪ cuni 4908  ∪ ciun 4997  ∩ ciin 4998  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  ωcom 7854   ≼ cdom 8936  Fincfn 8938  ficfi 9404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-fin 8942  df-fi 9405

This theorem is referenced by:  sigapildsys  33155