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Theorem sigapildsyslem 32824
Description: Lemma for sigapildsys 32825. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
sigapildsyslem.n 𝑛𝜑
sigapildsyslem.1 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
sigapildsyslem.2 (𝜑𝐴𝑡)
sigapildsyslem.3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
sigapildsyslem.4 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
Assertion
Ref Expression
sigapildsyslem (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝐿,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑃,𝑛,𝑡,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛   𝑥,𝐵   𝑛,𝑁,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑡,𝑛,𝑠)   𝑃(𝑠)   𝐿(𝑠)   𝑁(𝑦,𝑡,𝑠)   𝑂(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem sigapildsyslem
StepHypRef Expression
1 iuneq1 4974 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = 𝑛 ∈ ∅ 𝐵)
2 0iun 5027 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
31, 2eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → 𝑛𝑁 𝐵 = ∅)
43difeq2d 4086 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = (𝐴 ∖ ∅))
5 dif0 4336 . . . . 5 (𝐴 ∖ ∅) = 𝐴
64, 5eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
76adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) = 𝐴)
8 sigapildsyslem.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑡)
98adantr 482 . . 3 ((𝜑𝑁 = ∅) → 𝐴𝑡)
107, 9eqeltrd 2834 . 2 ((𝜑𝑁 = ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
11 iindif2 5041 . . . 4 (𝑁 ≠ ∅ → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
1211adantl 483 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) = (𝐴 𝑛𝑁 𝐵))
13 sigapildsyslem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
1514elin1d 4162 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝑃)
16 dynkin.p . . . . . . 7 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
1716ispisys 32815 . . . . . 6 (𝑡𝑃 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1815, 17sylib 217 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡))
1918simprd 497 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
20 sigapildsyslem.n . . . . . . 7 𝑛𝜑
21 nfv 1918 . . . . . . 7 𝑛 𝑁 ≠ ∅
2220, 21nfan 1903 . . . . . 6 𝑛(𝜑𝑁 ≠ ∅)
2318simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
2423elpwid 4573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡 ⊆ 𝒫 𝑂)
258adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑡)
2624, 25sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
2726elpwid 4573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝐴𝑂)
2827adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑂)
29 difin2 4255 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑂 → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) = ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴))
3119adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (fi‘𝑡) ⊆ 𝑡)
3214adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝑡 ∈ (𝑃𝐿))
3314elin2d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑡𝐿)
34 dynkin.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
3534isldsys 32819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3633, 35sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
3736simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
3837simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
3938adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
40 sigapildsyslem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
4140adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐵𝑡)
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑂𝐵) ∈ 𝑡
43 difeq2 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐵 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐵))
4443eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4542, 44rspc 3571 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑡 → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡))
4739, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝑂𝐵) ∈ 𝑡)
4825adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → 𝐴𝑡)
49 inelfi 9362 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (𝑃𝐿) ∧ (𝑂𝐵) ∈ 𝑡𝐴𝑡) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5032, 47, 48, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ (fi‘𝑡))
5131, 50sseldd 3949 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → ((𝑂𝐵) ∩ 𝐴) ∈ 𝑡)
5230, 51eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ ∅) ∧ 𝑛𝑁) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
5352ex 414 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝑛𝑁 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑡))
5422, 53ralrimi 3239 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → ∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
55 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ ∅)
56 sigapildsyslem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5756adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑁 ∈ Fin)
58 vex 3451 . . . . . 6 𝑡 ∈ V
59 iinfi 9361 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ V ∧ (∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin)) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6058, 59mpan 689 . . . . 5 ((∀𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑁 ∈ Fin) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6154, 55, 57, 60syl3anc 1372 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑡))
6219, 61sseldd 3949 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → 𝑛𝑁 (𝐴𝐵) ∈ 𝑡)
6312, 62eqeltrrd 2835 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ ∅) → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
6410, 63pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑁 𝐵) ∈ 𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  cin 3913  wss 3914  c0 4286  𝒫 cpw 4564   cuni 4869   ciun 4958   ciin 4959  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  cfv 6500  ωcom 7806  cdom 8887  Fincfn 8889  ficfi 9354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7807  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-fin 8893  df-fi 9355
This theorem is referenced by:  sigapildsys  32825
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