Theorem m1exp1 16282

Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1exp1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12499	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16160	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4		oveq2 7349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
5	4	eqcoms 2739	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6		zcn 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 12198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
9	8	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10		m1expeven 14011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
11	9, 10	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
12	5, 11	sylan9eqr 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
13	12	rexlimiva 3125	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
14	3, 13	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
15	14	impcom 407	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16		simpl 482	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
17	15, 16	2thd 265	. 2 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18		ax-1ne0 11070	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
19		eqcom 2738	. . . . . 6 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
20		ax-1cn 11059	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	20	eqnegi 11845	. . . . . 6 ⊢ (1 = -1 ↔ 1 = 0)
22	19, 21	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
23	18, 22	nemtbir 3024	. . . 4 ⊢ ¬ -1 = 1
24		odd2np1 16247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
25		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
26	25	eqcoms 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27		neg1cn 12105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
29		neg1ne0 12107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
34	28, 30, 33	expp1zd 14057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
35	10	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
36	27	mullidi 11112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · -1) = -1
37	35, 36	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
38	34, 37	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
39	26, 38	sylan9eqr 2788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
40	39	rexlimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
41	24, 40	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
42	41	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
43	42	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
44	23, 43	mtbiri 327	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
45		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
46	44, 45	2falsed 376	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
47	17, 46	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  -cneg 11340  2c2 12175  ℤcz 12463  ↑cexp 13963   ∥ cdvds 16158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904  df-exp 13964  df-dvds 16159

This theorem is referenced by:  2lgs  27340  2lgsoddprm  27349  cyc3genpm  33113