MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1exp1 15704
Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11992 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
2 divides 15588 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 689 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4 oveq2 7138 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
54eqcoms 2829 . . . . . . 7 ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6 zcn 11964 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7 2cnd 11693 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
86, 7mulcomd 10639 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
98oveq2d 7146 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10 m1expeven 13460 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
119, 10eqtrd 2856 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2878 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
1312rexlimiva 3267 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
143, 13syl6bi 256 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
1514impcom 411 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16 simpl 486 . . 3 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
1715, 162thd 268 . 2 ((2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18 ax-1ne0 10583 . . . . 5 1 ≠ 0
19 eqcom 2828 . . . . . 6 (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
20 ax-1cn 10572 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
2120eqnegi 11346 . . . . . 6 (1 = -1 ↔ 1 = 0)
2219, 21bitri 278 . . . . 5 (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
2318, 22nemtbir 3102 . . . 4 ¬ -1 = 1
24 odd2np1 15669 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
25 oveq2 7138 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
2625eqcoms 2829 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27 neg1cn 11729 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
29 neg1ne0 11731 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
3331, 32zmulcld 12071 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
3428, 30, 33expp1zd 13503 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
3510oveq1d 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
3627mulid2i 10623 . . . . . . . . . . 11 (1 · -1) = -1
3735, 36syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
3834, 37eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
3926, 38sylan9eqr 2878 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
4039rexlimiva 3267 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
4124, 40syl6bi 256 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
4241impcom 411 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
4342eqeq1d 2823 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
4423, 43mtbiri 330 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
45 simpl 486 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
4644, 452falsed 380 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
4717, 46pm2.61ian 811 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wrex 3127   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  -cneg 10848  2c2 11670  cz 11959  cexp 13413  cdvds 15586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-exp 13414  df-dvds 15587
This theorem is referenced by:  2lgs  25969  2lgsoddprm  25978  cyc3genpm  30801
  Copyright terms: Public domain W3C validator