Theorem m1exp1 16353

Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1exp1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12572	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16231	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑛 · 2) → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
5	4	eqcoms 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑(𝑛 · 2)))
6		zcn 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 12271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
9	8	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = (-1↑(2 · 𝑛)))
10		m1expeven 14081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(2 · 𝑛)) = 1)
11	9, 10	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑(𝑛 · 2)) = 1)
12	5, 11	sylan9eqr 2787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = 1)
13	12	rexlimiva 3127	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1)
14	3, 13	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = 1))
15	14	impcom 407	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = 1)
16		simpl 482	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
17	15, 16	2thd 265	. 2 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18		ax-1ne0 11144	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
19		eqcom 2737	. . . . . 6 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = -1)
20		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	20	eqnegi 11918	. . . . . 6 ⊢ (1 = -1 ↔ 1 = 0)
22	19, 21	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (-1 = 1 ↔ 1 = 0)
23	18, 22	nemtbir 3022	. . . 4 ⊢ ¬ -1 = 1
24		odd2np1 16318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
25		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
26	25	eqcoms 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = (-1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27		neg1cn 12178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
29		neg1ne0 12180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
32		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
34	28, 30, 33	expp1zd 14127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1))
35	10	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
36	27	mullidi 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · -1) = -1
37	35, 36	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((-1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
38	34, 37	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
39	26, 38	sylan9eqr 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → (-1↑𝑁) = -1)
40	39	rexlimiva 3127	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1)
41	24, 40	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (-1↑𝑁) = -1))
42	41	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1↑𝑁) = -1)
43	42	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
44	23, 43	mtbiri 327	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (-1↑𝑁) = 1)
45		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
46	44, 45	2falsed 376	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
47	17, 46	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  -cneg 11413  2c2 12248  ℤcz 12536  ↑cexp 14033   ∥ cdvds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034  df-dvds 16230

This theorem is referenced by:  2lgs  27325  2lgsoddprm  27334  cyc3genpm  33116