MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1exp1 16193
Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12466 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
2 divides 16073 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘))
31, 2mpan 689 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘))
4 oveq2 7358 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘› ยท 2) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)))
54eqcoms 2746 . . . . . . 7 ((๐‘› ยท 2) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)))
6 zcn 12438 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 12165 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
86, 7mulcomd 11110 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 2) = (2 ยท ๐‘›))
98oveq2d 7366 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)) = (-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)))
10 m1expeven 13944 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) = 1)
119, 10eqtrd 2778 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2800 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
1312rexlimiva 3143 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
143, 13syl6bi 253 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1))
1514impcom 409 . . 3 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
16 simpl 484 . . 3 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
1715, 162thd 265 . 2 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
18 ax-1ne0 11054 . . . . 5 1 โ‰  0
19 eqcom 2745 . . . . . 6 (-1 = 1 โ†” 1 = -1)
20 ax-1cn 11043 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2120eqnegi 11818 . . . . . 6 (1 = -1 โ†” 1 = 0)
2219, 21bitri 275 . . . . 5 (-1 = 1 โ†” 1 = 0)
2318, 22nemtbir 3039 . . . 4 ยฌ -1 = 1
24 odd2np1 16158 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
25 oveq2 7358 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))
2625eqcoms 2746 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))
27 neg1cn 12201 . . . . . . . . . . . 12 -1 โˆˆ โ„‚
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
29 neg1ne0 12203 . . . . . . . . . . . 12 -1 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โ‰  0)
311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12546 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3428, 30, 33expp1zd 13987 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1))
3510oveq1d 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1) = (1 ยท -1))
3627mulid2i 11094 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท -1) = -1
3735, 36eqtrdi 2794 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1) = -1)
3834, 37eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = -1)
3926, 38sylan9eqr 2800 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4039rexlimiva 3143 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4124, 40syl6bi 253 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1))
4241impcom 409 . . . . 5 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4342eqeq1d 2740 . . . 4 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” -1 = 1))
4423, 43mtbiri 327 . . 3 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ (-1โ†‘๐‘) = 1)
45 simpl 484 . . 3 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
4644, 452falsed 377 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
4717, 46pm2.61ian 811 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942  โˆƒwrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   ยท cmul 10990  -cneg 11320  2c2 12142  โ„คcz 12433  โ†‘cexp 13896   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-seq 13836  df-exp 13897  df-dvds 16072
This theorem is referenced by:  2lgs  26677  2lgsoddprm  26686  cyc3genpm  31783
  Copyright terms: Public domain W3C validator