MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m1exp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1exp1 16192
Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
m1exp1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))

Proof of Theorem m1exp1
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12465 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„ค
2 divides 16072 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘))
31, 2mpan 688 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘))
4 oveq2 7357 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘› ยท 2) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)))
54eqcoms 2745 . . . . . . 7 ((๐‘› ยท 2) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)))
6 zcn 12437 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
7 2cnd 12164 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
86, 7mulcomd 11109 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 2) = (2 ยท ๐‘›))
98oveq2d 7365 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)) = (-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)))
10 m1expeven 13943 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) = 1)
119, 10eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘(๐‘› ยท 2)) = 1)
125, 11sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
1312rexlimiva 3142 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
143, 13syl6bi 252 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1))
1514impcom 408 . . 3 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = 1)
16 simpl 483 . . 3 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ ๐‘)
1715, 162thd 264 . 2 ((2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
18 ax-1ne0 11053 . . . . 5 1 โ‰  0
19 eqcom 2744 . . . . . 6 (-1 = 1 โ†” 1 = -1)
20 ax-1cn 11042 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
2120eqnegi 11817 . . . . . 6 (1 = -1 โ†” 1 = 0)
2219, 21bitri 274 . . . . 5 (-1 = 1 โ†” 1 = 0)
2318, 22nemtbir 3038 . . . 4 ยฌ -1 = 1
24 odd2np1 16157 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
25 oveq2 7357 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))
2625eqcoms 2745 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)))
27 neg1cn 12200 . . . . . . . . . . . 12 -1 โˆˆ โ„‚
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
29 neg1ne0 12202 . . . . . . . . . . . 12 -1 โ‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -1 โ‰  0)
311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3331, 32zmulcld 12545 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
3428, 30, 33expp1zd 13986 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1))
3510oveq1d 7364 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1) = (1 ยท -1))
3627mulid2i 11093 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท -1) = -1
3735, 36eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘(2 ยท ๐‘›)) ยท -1) = -1)
3834, 37eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-1โ†‘((2 ยท ๐‘›) + 1)) = -1)
3926, 38sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4039rexlimiva 3142 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4124, 40syl6bi 252 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1))
4241impcom 408 . . . . 5 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-1โ†‘๐‘) = -1)
4342eqeq1d 2739 . . . 4 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” -1 = 1))
4423, 43mtbiri 326 . . 3 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ (-1โ†‘๐‘) = 1)
45 simpl 483 . . 3 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)
4644, 452falsed 376 . 2 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
4717, 46pm2.61ian 810 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((-1โ†‘๐‘) = 1 โ†” 2 โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984  1c1 10985   + caddc 10987   ยท cmul 10989  -cneg 11319  2c2 12141  โ„คcz 12432  โ†‘cexp 13895   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-seq 13835  df-exp 13896  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  2lgs  26677  2lgsoddprm  26686  cyc3genpm  31795
  Copyright terms: Public domain W3C validator