Theorem m1exp1 16553

Description: Exponentiation of negative one is one iff the exponent is even. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
m1exp1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (( -1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem m1exp1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12733	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16431	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
4		oveq2 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (𝑛 · 2) → ( -1↑𝑁) = ( -1↑(𝑛 · 2)))
5	4	eqcoms 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = ( -1↑(𝑛 · 2)))
6		zcn 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
7		2cnd 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
9	8	oveq2d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑(𝑛 · 2)) = ( -1↑(2 · 𝑛)))
10		m1expeven 14257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑(2 · 𝑛)) = 1)
11	9, 10	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑(𝑛 · 2)) = 1)
12	5, 11	sylan9eqr 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝑁) → ( -1↑𝑁) = 1)
13	12	rexlimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = 1)
14	3, 13	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 → ( -1↑𝑁) = 1))
15	14	impcom 413	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑁) = 1)
16		simpl 488	. . 3 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 2 ∥ 𝑁)
17	15, 16	2thd 268	. 2 ⊢ ((2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
18		ax-1ne0 11274	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
19		eqcom 2767	. . . . . 6 ⊢ ( -1 = 1 ↔ 1 = -1)
20		ax-1cn 11263	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
21	20	eqnegi 12051	. . . . . 6 ⊢ (1 = -1 ↔ 1 = 0)
22	19, 21	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ( -1 = 1 ↔ 1 = 0)
23	18, 22	nemtbir 3051	. . . 4 ⊢ ¬ -1 = 1
24		odd2np1 16518	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
25		oveq2 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ((2 · 𝑛) + 1) → ( -1↑𝑁) = ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)))
26	25	eqcoms 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)))
27		neg1cn 12310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ∈ ℂ)
29		neg1ne0 12312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -1 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -1 ≠ 0)
31	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
32		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
33	31, 32	zmulcld 12814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
34	28, 30, 33	expp1zd 14303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)) = (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1))
35	10	oveq1d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1) = (1 · -1))
36	27	mullidi 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · -1) = -1
37	35, 36	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (( -1↑(2 · 𝑛)) · -1) = -1)
38	34, 37	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -1↑((2 · 𝑛) + 1)) = -1)
39	26, 38	sylan9eqr 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) → ( -1↑𝑁) = -1)
40	39	rexlimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ( -1↑𝑁) = -1)
41	24, 40	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ( -1↑𝑁) = -1))
42	41	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑁) = -1)
43	42	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑁) = 1 ↔ -1 = 1))
44	23, 43	mtbiri 330	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ( -1↑𝑁) = 1)
45		simpl 488	. . 3 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
46	44, 45	2falsed 379	. 2 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))
47	17, 46	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (( -1↑𝑁) = 1 ↔ 2 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   -cneg 11547  2c2 12402  ℤcz 12698  ↑cexp 14209   ∥ cdvds 16429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-seq 14150  df-exp 14210  df-dvds 16430

This theorem is used by:  2lgs  27741  2lgsoddprm  27750  cyc3genpm  33761