Theorem dvdssqim 16753

Description: Unidirectional form of dvdssq 16768. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16450	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2		zsqcl 14296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
3		zsqcl 14296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
4		dvdsmul2 16474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
5	2, 3, 4	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
6		zcn 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7		zcn 12722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		sqmul 14286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
9	6, 7, 8	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
10	5, 9	breqtrrd 5136	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2))
11		oveq1 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = (𝑁↑2))
12	11	breq2d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
13	10, 12	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
14	13	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
15	14	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
16	1, 15	sylbid 243	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  ℂcc 11222   · cmul 11229  2c2 12421  ℤcz 12717  ↑cexp 14228   ∥ cdvds 16448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-seq 14169  df-exp 14229  df-dvds 16449

This theorem is used by:  sqgcd  16762  2sqcoprm  27789  2sqmod  27790