Theorem dvdssqim 16539

Description: Unidirectional form of dvdssq 16547. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16242	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2		zsqcl 14135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
3		zsqcl 14135	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
4		dvdsmul2 16265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
5	2, 3, 4	syl2anr 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
6		zcn 12603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7		zcn 12603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		sqmul 14125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
9	6, 7, 8	syl2anr 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
10	5, 9	breqtrrd 5180	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2))
11		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = (𝑁↑2))
12	11	breq2d 5164	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
13	10, 12	syl5ibcom 244	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
14	13	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
15	14	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
16	1, 15	sylbid 239	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℂcc 11146   · cmul 11153  2c2 12307  ℤcz 12598  ↑cexp 14068   ∥ cdvds 16240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-exp 14069  df-dvds 16241

This theorem is referenced by:  sqgcd  16545  dvdssqlem  16546  2sqcoprm  27396  2sqmod  27397