Theorem dvdssqim 15653

Description: Unidirectional form of dvdssq 15660. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqim	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqim

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 15366	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2		zsqcl 13235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘↑2) ∈ ℤ)
3		zsqcl 13235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
4		dvdsmul2 15388	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑀↑2) ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
5	2, 3, 4	syl2anr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
6		zcn 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
7		zcn 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		sqmul 13227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
9	6, 7, 8	syl2anr 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = ((𝑘↑2) · (𝑀↑2)))
10	5, 9	breqtrrd 4903	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2))
11		oveq1 6917	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑘 · 𝑀)↑2) = (𝑁↑2))
12	11	breq2d 4887	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → ((𝑀↑2) ∥ ((𝑘 · 𝑀)↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
13	10, 12	syl5ibcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
14	13	rexlimdva 3240	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
15	14	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
16	1, 15	sylbid 232	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∃wrex 3118   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℂcc 10257   · cmul 10264  2c2 11413  ℤcz 11711  ↑cexp 13161   ∥ cdvds 15364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-exp 13162  df-dvds 15365

This theorem is referenced by:  sqgcd  15658  dvdssqlem  15659  2sqcoprm  30188  2sqmod  30189