Theorem opeo 16345

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opeo	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opeo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		2z 12627	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		divides 16236	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
4	2, 3	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
5	1, 4	bi2anan9 636	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6		reeanv 3216	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7		zaddcl 12635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
8		zcn 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9		zcn 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10		2cn 12320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		adddi 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
12	10, 11	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
13	12	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1))
14		mulcl 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
15	10, 14	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16		mulcl 11224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
17	10, 16	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		add32 11464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
20	18, 19	mp3an3 1446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
21	15, 17, 20	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
22		mulcom 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
23	10, 22	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
24	23	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
25	24	oveq2d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
27	8, 9, 26	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
28		oveq2 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎 + 𝑏)))
29	28	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1))
30	29	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))))
31	30	rspcev 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
32	7, 27, 31	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
33		oveq12 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) = (𝐴 + 𝐵))
34	33	eqeq2d 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
35	34	rexbidv 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
36	32, 35	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
37	36	rexlimivv 3189	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
38	6, 37	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
39	5, 38	biimtrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
40	39	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
41	40	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
42		zaddcl 12635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
43	42	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
44		odd2np1 16321	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
46	41, 45	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  ℂcc 11138  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  2c2 12300  ℤcz 12591   ∥ cdvds 16234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-dvds 16235

This theorem is referenced by:  sumodd  16368  vtxdgoddnumeven  29439