Theorem coskpi2 46702

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi2	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem coskpi2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12654	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16350	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
4	3	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
5		zcn 12624	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
6		2cnd 12347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		picn 26701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mulassd 11260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
10	9	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
12		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
14	11, 13	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (𝑛 · (2 · π)))
15	14	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(𝑛 · (2 · π))))
16		cos2kpi 26729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
18	15, 17	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
19	18	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
20		iftrue 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
21	20	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
23	19, 22	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
24	23	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
26	25	rexlimdv 3163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
27	4, 26	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
28		odd2np1 16437	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
29	28	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
30	6, 5	mulcld 11257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
31		1cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	30, 31, 8	adddird 11262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)))
33	6, 5	mulcomd 11258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
34	33	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = ((𝑛 · 2) · π))
35	34, 9	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
36	7	mullidi 11242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · π) = π
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
38	35, 37	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)) = ((𝑛 · (2 · π)) + π))
39		2cn 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
40	39, 7	mulcli 11244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
42	5, 41	mulcld 11257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	42, 8	addcomd 11440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · (2 · π)) + π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
44	32, 38, 43	3eqtrrd 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
46		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
48	45, 47	eqtr2d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
49	48	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))))
50		cosper 26727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
51	7, 50	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
53		cospi 26717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘π) = -1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘π) = -1)
55	49, 52, 54	3eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
56	55	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
57		iffalse 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
58	57	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
60	56, 59	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
61	60	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
62	61	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
63	62	rexlimdv 3163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
64	29, 63	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
65	27, 64	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133  -cneg 11470  2c2 12323  ℤcz 12619  cosccos 16156  πcpi 16158   ∥ cdvds 16348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-sin 16161  df-cos 16162  df-pi 16164  df-dvds 16349  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-lp 23367  df-perf 23368  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-haus 23546  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-cncf 25112  df-limc 26100  df-dv 26101

This theorem is used by:  sqwvfourb  47065