Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coskpi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coskpi2 42147
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
coskpi2 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem coskpi2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12013 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 divides 15608 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
31, 2mpan 688 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
43biimpa 479 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
5 zcn 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
6 2cnd 11714 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7 picn 25044 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
95, 6, 8mulassd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
109eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
1110adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
12 oveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
1312adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
1411, 13eqtr2d 2857 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (𝑛 · (2 · π)))
1514fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(𝑛 · (2 · π))))
16 cos2kpi 25069 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
1716adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
1815, 17eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
19183adant1 1126 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
20 iftrue 4472 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
2120eqcomd 2827 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
22213ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
2319, 22eqtrd 2856 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
24233exp 1115 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
2524adantl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
2625rexlimdv 3283 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
274, 26mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
28 odd2np1 15689 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
2928biimpa 479 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
306, 5mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
31 1cnd 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
3230, 31, 8adddird 10665 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)))
336, 5mulcomd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
3433oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = ((𝑛 · 2) · π))
3534, 9eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
367mulid2i 10645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · π) = π
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
3835, 37oveq12d 7173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)) = ((𝑛 · (2 · π)) + π))
39 2cn 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
4039, 7mulcli 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
425, 41mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
4342, 8addcomd 10841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · (2 · π)) + π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
4432, 38, 433eqtrrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
4544adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
46 oveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
4746adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
4845, 47eqtr2d 2857 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
4948fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))))
50 cosper 25067 . . . . . . . . . . 11 ((π ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
517, 50mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
5251adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
53 cospi 25057 . . . . . . . . . 10 (cos‘π) = -1
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘π) = -1)
5549, 52, 543eqtrd 2860 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
56553adant1 1126 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
57 iffalse 4475 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
5857eqcomd 2827 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
59583ad2ant1 1129 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
6056, 59eqtrd 2856 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
61603exp 1115 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
6261adantl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
6362rexlimdv 3283 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
6429, 63mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
6527, 64pm2.61dan 811 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wrex 3139  ifcif 4466   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  -cneg 10870  2c2 11691  cz 11980  cosccos 15417  πcpi 15419  cdvds 15606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  42515
  Copyright terms: Public domain W3C validator