Theorem coskpi2 46218

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi2	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem coskpi2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16193	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
3	1, 2	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
4	3	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
5		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
6		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		picn 26435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mulassd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
12		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
14	11, 13	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (𝑛 · (2 · π)))
15	14	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(𝑛 · (2 · π))))
16		cos2kpi 26461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
18	15, 17	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
19	18	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
20		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
21	20	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
22	21	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
23	19, 22	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
24	23	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
26	25	rexlimdv 3137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
27	4, 26	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
28		odd2np1 16280	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
29	28	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
30	6, 5	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
31		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	30, 31, 8	adddird 11169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)))
33	6, 5	mulcomd 11165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
34	33	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = ((𝑛 · 2) · π))
35	34, 9	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
36	7	mullidi 11149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · π) = π
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
38	35, 37	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)) = ((𝑛 · (2 · π)) + π))
39		2cn 12232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
40	39, 7	mulcli 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
42	5, 41	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	42, 8	addcomd 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · (2 · π)) + π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
44	32, 38, 43	3eqtrrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
46		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
48	45, 47	eqtr2d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
49	48	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))))
50		cosper 26459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
51	7, 50	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
53		cospi 26449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘π) = -1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘π) = -1)
55	49, 52, 54	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
56	55	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
57		iffalse 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
58	57	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
59	58	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
60	56, 59	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
61	60	3exp 1120	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
62	61	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
63	62	rexlimdv 3137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
64	29, 63	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
65	27, 64	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -cneg 11377  2c2 12212  ℤcz 12500  cosccos 15999  πcpi 16001   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  46581