Theorem coskpi2 46621

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
coskpi2	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem coskpi2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12644	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16337	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
3	1, 2	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
4	3	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
5		zcn 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
6		2cnd 12337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
7		picn 26658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
9	5, 6, 8	mulassd 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
10	9	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝑛 · (2 · π)) = ((𝑛 · 2) · π))
12		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · π) = (𝐾 · π))
14	11, 13	eqtr2d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (𝑛 · (2 · π)))
15	14	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(𝑛 · (2 · π))))
16		cos2kpi 26686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝑛 · (2 · π))) = 1)
18	15, 17	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
19	18	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = 1)
20		iftrue 4498	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
21	20	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
22	21	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → 1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
23	19, 22	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
24	23	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
26	25	rexlimdv 3167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
27	4, 26	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
28		odd2np1 16424	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
29	28	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
30	6, 5	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
31		1cnd 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
32	30, 31, 8	adddird 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)))
33	6, 5	mulcomd 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
34	33	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = ((𝑛 · 2) · π))
35	34, 9	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) · π) = (𝑛 · (2 · π)))
36	7	mullidi 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · π) = π
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
38	35, 37	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · π) + (1 · π)) = ((𝑛 · (2 · π)) + π))
39		2cn 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
40	39, 7	mulcli 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
42	5, 41	mulcld 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
43	42, 8	addcomd 11430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · (2 · π)) + π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
44	32, 38, 43	3eqtrrd 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (π + (𝑛 · (2 · π))) = (((2 · 𝑛) + 1) · π))
46		oveq1 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · π) = (𝐾 · π))
48	45, 47	eqtr2d 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · π) = (π + (𝑛 · (2 · π))))
49	48	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))))
50		cosper 26684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
51	7, 50	mpan 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
52	51	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(π + (𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘π))
53		cospi 26674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘π) = -1
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘π) = -1)
55	49, 52, 54	3eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
56	55	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = -1)
57		iffalse 4501	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
58	57	eqcomd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
59	58	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → -1 = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
60	56, 59	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
61	60	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
62	61	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
63	62	rexlimdv 3167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
64	29, 63	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
65	27, 64	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  ifcif 4492   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  -cneg 11460  2c2 12313  ℤcz 12609  cosccos 16143  πcpi 16145   ∥ cdvds 16335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063

This theorem is used by:  sqwvfourb  46984