Theorem coprmdvds2 16689

Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvds2	⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem coprmdvds2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divides 16289	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
2	1	3adant1 1144	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
3	2	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
4		simprr 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
5		simpl2 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		zcn 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		zcn 12574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8		mulcom 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
10	4, 5, 9	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
11	10	breq2d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥)))
12		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13		simpl1 1206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14		coprmdvds 16688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∥ 𝑥))
15	13, 5, 4, 14	syl3anc 1391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀 ∥ 𝑥))
16	12, 15	mpan2d 704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) → 𝑀 ∥ 𝑥))
17	11, 16	sylbid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → 𝑀 ∥ 𝑥))
18		dvdsmulc 16318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
19	13, 4, 5, 18	syl3anc 1391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
20	17, 19	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
21		breq2 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
22		breq2 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
23	21, 22	imbi12d 346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
24	20, 23	syl5ibcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
25	24	anassrs 471	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
26	25	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
27	3, 26	sylbid 242	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
28	27	impcomd 415	1 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3087   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  1c1 11075   · cmul 11079  ℤcz 12569   ∥ cdvds 16287   gcd cgcd 16529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-gcd 16530

This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  16691  coprmproddvdslem  16697  crth  16814  odadd2  19890  ablfac1b  20113  ablfac1eu  20116  coprmdvds2d  42619