MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmdvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmdvds2 16586
Description: If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
coprmdvds2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem coprmdvds2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16194 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
213adant1 1131 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
32adantr 482 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁𝐾 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾))
4 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
5 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 zcn 12558 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 zcn 12558 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
8 mulcom 11191 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
96, 7, 8syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
104, 5, 9syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑥))
1110breq2d 5158 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥)))
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
13 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 coprmdvds 16585 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀𝑥))
1513, 5, 4, 14syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → 𝑀𝑥))
1612, 15mpan2d 693 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑁 · 𝑥) → 𝑀𝑥))
1711, 16sylbid 239 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → 𝑀𝑥))
18 dvdsmulc 16222 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
1913, 4, 5, 18syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑥 → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
2017, 19syld 47 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)))
21 breq2 5150 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ 𝑀𝐾))
22 breq2 5150 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
2321, 22imbi12d 345 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → ((𝑀 ∥ (𝑥 · 𝑁) → (𝑀 · 𝑁) ∥ (𝑥 · 𝑁)) ↔ (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2420, 23syl5ibcom 244 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2524anassrs 469 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2625rexlimdva 3156 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · 𝑁) = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
273, 26sylbid 239 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾)))
2827impcomd 413 1 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 · 𝑁) ∥ 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  cc 11103  1c1 11106   · cmul 11110  cz 12553  cdvds 16192   gcd cgcd 16430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-gcd 16431
This theorem is referenced by:  rpmulgcd2  16588  coprmproddvdslem  16594  crth  16706  odadd2  19708  ablfac1b  19931  ablfac1eu  19934  coprmdvds2d  40804
  Copyright terms: Public domain W3C validator