MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsval2 16243
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16242 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
213adant2 1128 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3 zcn 12603 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 zcn 12603 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
76adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8 zcn 12603 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
125, 7, 10, 11divmul3d 12064 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” ๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€)))
13 eqcom 2735 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
1412, 13bitrdi 286 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
1514biimprd 247 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜))
1615impr 453 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜)
17 simprl 769 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1816, 17eqeltrd 2829 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1918rexlimdvaa 3153 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
20 simpr 483 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
21 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
224, 9, 21divcan1d 12031 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
2322adantr 479 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
24 oveq1 7433 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€))
2524eqeq1d 2730 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘))
2625rspcev 3611 . . . . 5 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2720, 23, 26syl2anc 582 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2827ex 411 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2919, 28impbid 211 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
302, 29bitrd 278 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148   ยท cmul 11153   / cdiv 11911  โ„คcz 12598   โˆฅ cdvds 16240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-z 12599  df-dvds 16241
This theorem is referenced by:  dvdsval3  16244  nndivdvds  16249  fsumdvds  16294  divconjdvds  16301  3dvds  16317  evend2  16343  oddp1d2  16344  fldivndvdslt  16400  bitsmod  16420  sadaddlem  16450  bitsuz  16458  divgcdz  16495  dvdsgcdidd  16522  mulgcd  16533  sqgcd  16545  lcmgcdlem  16586  mulgcddvds  16635  qredeu  16638  prmind2  16665  isprm5  16687  divgcdodd  16690  divnumden  16729  hashdvds  16753  hashgcdlem  16766  pythagtriplem19  16811  pcprendvds2  16819  pcpremul  16821  pc2dvds  16857  pcz  16859  dvdsprmpweqle  16864  pcadd  16867  pcmptdvds  16872  fldivp1  16875  pockthlem  16883  prmreclem1  16894  prmreclem3  16896  4sqlem8  16923  4sqlem9  16924  4sqlem12  16934  4sqlem14  16936  sylow1lem1  19567  sylow3lem4  19599  odadd1  19817  odadd2  19818  pgpfac1lem3  20048  prmirredlem  21412  znidomb  21509  root1eq1  26718  atantayl2  26898  efchtdvds  27119  muinv  27153  bposlem6  27250  lgseisenlem1  27336  lgsquad2lem1  27345  lgsquad3  27348  m1lgs  27349  2sqlem3  27381  2sqlem8  27387  qqhval2lem  33623  nn0prpwlem  35847  knoppndvlem8  36035  aks4d1p8d3  41597  aks4d1p8  41598  aks6d1c1  41627  aks6d1c3  41634  aks6d1c4  41635  aks6d1c2lem4  41638  aks6d1c6lem3  41684  aks6d1c6lem4  41685  congrep  42443  jm2.22  42465  jm2.23  42466  proot1ex  42673  nzss  43803  etransclem9  45678  etransclem38  45707  etransclem44  45713  etransclem45  45714  divgcdoddALTV  47069  0dig2nn0o  47782
  Copyright terms: Public domain W3C validator