MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsval2 15390
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 15389 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
213adant2 1122 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
3 zcn 11733 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
433ad2ant3 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6 zcn 11733 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
76adantl 475 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 zcn 11733 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
983ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
109adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11 simpl2 1201 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
125, 7, 10, 11divmul3d 11185 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘𝑁 = (𝑘 · 𝑀)))
13 eqcom 2785 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑘 · 𝑀) ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
1412, 13syl6bb 279 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
1514biimprd 240 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘))
1615impr 448 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘)
17 simprl 761 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17eqeltrd 2859 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
1918rexlimdvaa 3214 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
20 simpr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
21 simp2 1128 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
224, 9, 21divcan1d 11152 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
2322adantr 474 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
24 oveq1 6929 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑘 · 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
2524eqeq1d 2780 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁))
2625rspcev 3511 . . . . 5 (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
2720, 23, 26syl2anc 579 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
2827ex 403 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2919, 28impbid 204 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
302, 29bitrd 271 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272   · cmul 10277   / cdiv 11032  cz 11728  cdvds 15387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-z 11729  df-dvds 15388
This theorem is referenced by:  dvdsval3  15391  nndivdvds  15396  fsumdvds  15437  divconjdvds  15444  3dvds  15459  evend2  15485  oddp1d2  15486  fldivndvdslt  15544  bitsmod  15564  sadaddlem  15594  bitsuz  15602  divgcdz  15639  mulgcd  15671  sqgcd  15684  lcmgcdlem  15725  mulgcddvds  15774  qredeu  15777  prmind2  15803  isprm5  15823  divgcdodd  15826  divnumden  15860  hashdvds  15884  hashgcdlem  15897  pythagtriplem19  15942  pcprendvds2  15950  pcpremul  15952  pc2dvds  15987  pcz  15989  dvdsprmpweqle  15994  pcadd  15997  pcmptdvds  16002  fldivp1  16005  pockthlem  16013  prmreclem1  16024  prmreclem3  16026  4sqlem8  16053  4sqlem9  16054  4sqlem12  16064  4sqlem14  16066  sylow1lem1  18397  sylow3lem4  18429  odadd1  18637  odadd2  18638  pgpfac1lem3  18863  prmirredlem  20237  znidomb  20305  root1eq1  24936  atantayl2  25116  efchtdvds  25337  muinv  25371  bposlem6  25466  lgseisenlem1  25552  lgsquad2lem1  25561  lgsquad3  25564  m1lgs  25565  2sqlem3  25597  2sqlem8  25603  qqhval2lem  30623  nn0prpwlem  32905  knoppndvlem8  33092  congrep  38503  jm2.22  38525  jm2.23  38526  proot1ex  38742  nzss  39476  etransclem9  41391  etransclem38  41420  etransclem44  41426  etransclem45  41427  divgcdoddALTV  42622  0dig2nn0o  43426
  Copyright terms: Public domain W3C validator