MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsval2 15599
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 15598 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
213adant2 1128 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
3 zcn 11972 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
54adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6 zcn 11972 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
76adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
8 zcn 11972 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
109adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
11 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
125, 7, 10, 11divmul3d 11435 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘𝑁 = (𝑘 · 𝑀)))
13 eqcom 2831 . . . . . . . 8 (𝑁 = (𝑘 · 𝑀) ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
1412, 13syl6bb 290 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) = 𝑘 ↔ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
1514biimprd 251 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘))
1615impr 458 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) = 𝑘)
17 simprl 770 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17eqeltrd 2916 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
1918rexlimdvaa 3277 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
20 simpr 488 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ)
21 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ≠ 0)
224, 9, 21divcan1d 11402 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
2322adantr 484 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁)
24 oveq1 7145 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → (𝑘 · 𝑀) = ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀))
2524eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑁 / 𝑀) → ((𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁))
2625rspcev 3608 . . . . 5 (((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 / 𝑀) · 𝑀) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
2720, 23, 26syl2anc 587 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁)
2827ex 416 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁))
2919, 28impbid 215 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑀) = 𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
302, 29bitrd 282 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁 / 𝑀) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wrex 3133   class class class wbr 5047  (class class class)co 7138  cc 10520  0cc0 10522   · cmul 10527   / cdiv 11282  cz 11967  cdvds 15596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-z 11968  df-dvds 15597
This theorem is referenced by:  dvdsval3  15600  nndivdvds  15605  fsumdvds  15647  divconjdvds  15654  3dvds  15669  evend2  15695  oddp1d2  15696  fldivndvdslt  15752  bitsmod  15772  sadaddlem  15802  bitsuz  15810  divgcdz  15847  dvdsgcdidd  15872  mulgcd  15883  sqgcd  15896  lcmgcdlem  15937  mulgcddvds  15986  qredeu  15989  prmind2  16016  isprm5  16038  divgcdodd  16041  divnumden  16075  hashdvds  16099  hashgcdlem  16112  pythagtriplem19  16157  pcprendvds2  16165  pcpremul  16167  pc2dvds  16202  pcz  16204  dvdsprmpweqle  16209  pcadd  16212  pcmptdvds  16217  fldivp1  16220  pockthlem  16228  prmreclem1  16239  prmreclem3  16241  4sqlem8  16268  4sqlem9  16269  4sqlem12  16279  4sqlem14  16281  sylow1lem1  18712  sylow3lem4  18744  odadd1  18957  odadd2  18958  pgpfac1lem3  19188  prmirredlem  20626  znidomb  20694  root1eq1  25333  atantayl2  25513  efchtdvds  25733  muinv  25767  bposlem6  25862  lgseisenlem1  25948  lgsquad2lem1  25957  lgsquad3  25960  m1lgs  25961  2sqlem3  25993  2sqlem8  25999  qqhval2lem  31240  nn0prpwlem  33688  knoppndvlem8  33876  congrep  39746  jm2.22  39768  jm2.23  39769  proot1ex  39977  nzss  40857  etransclem9  42727  etransclem38  42756  etransclem44  42762  etransclem45  42763  divgcdoddALTV  44042  0dig2nn0o  44868
  Copyright terms: Public domain W3C validator