MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsval2 16207
Description: One nonzero integer divides another integer if and only if their quotient is an integer. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
dvdsval2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))

Proof of Theorem dvdsval2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divides 16206 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
213adant2 1128 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
3 zcn 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
433ad2ant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 zcn 12567 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
8 zcn 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
109adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
11 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
125, 7, 10, 11divmul3d 12028 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” ๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€)))
13 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ = (๐‘˜ ยท ๐‘€) โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
1412, 13bitrdi 287 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜ โ†” (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
1514biimprd 247 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜))
1615impr 454 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) = ๐‘˜)
17 simprl 768 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1816, 17eqeltrd 2827 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
1918rexlimdvaa 3150 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
20 simpr 484 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค)
21 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
224, 9, 21divcan1d 11995 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
2322adantr 480 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘)
24 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€))
2524eqeq1d 2728 . . . . . 6 (๐‘˜ = (๐‘ / ๐‘€) โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘))
2625rspcev 3606 . . . . 5 (((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ / ๐‘€) ยท ๐‘€) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2720, 23, 26syl2anc 583 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘)
2827ex 412 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘))
2919, 28impbid 211 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท ๐‘€) = ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
302, 29bitrd 279 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„ค))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-z 12563  df-dvds 16205
This theorem is referenced by:  dvdsval3  16208  nndivdvds  16213  fsumdvds  16258  divconjdvds  16265  3dvds  16281  evend2  16307  oddp1d2  16308  fldivndvdslt  16364  bitsmod  16384  sadaddlem  16414  bitsuz  16422  divgcdz  16459  dvdsgcdidd  16486  mulgcd  16497  sqgcd  16509  lcmgcdlem  16550  mulgcddvds  16599  qredeu  16602  prmind2  16629  isprm5  16651  divgcdodd  16654  divnumden  16693  hashdvds  16717  hashgcdlem  16730  pythagtriplem19  16775  pcprendvds2  16783  pcpremul  16785  pc2dvds  16821  pcz  16823  dvdsprmpweqle  16828  pcadd  16831  pcmptdvds  16836  fldivp1  16839  pockthlem  16847  prmreclem1  16858  prmreclem3  16860  4sqlem8  16887  4sqlem9  16888  4sqlem12  16898  4sqlem14  16900  sylow1lem1  19518  sylow3lem4  19550  odadd1  19768  odadd2  19769  pgpfac1lem3  19999  prmirredlem  21359  znidomb  21456  root1eq1  26645  atantayl2  26825  efchtdvds  27046  muinv  27080  bposlem6  27177  lgseisenlem1  27263  lgsquad2lem1  27272  lgsquad3  27275  m1lgs  27276  2sqlem3  27308  2sqlem8  27314  qqhval2lem  33491  nn0prpwlem  35715  knoppndvlem8  35903  aks4d1p8d3  41467  aks4d1p8  41468  aks6d1c1  41493  aks6d1c3  41500  aks6d1c2lem4  41503  congrep  42290  jm2.22  42312  jm2.23  42313  proot1ex  42520  nzss  43652  etransclem9  45531  etransclem38  45560  etransclem44  45566  etransclem45  45567  divgcdoddALTV  46922  0dig2nn0o  47574
  Copyright terms: Public domain W3C validator