Theorem oddm1even 16520

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12809	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11307	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4		2cnd 12426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
5		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12809	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
8	2, 3, 7	subadd2d 11693	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
9		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ (2 · 𝑛) = (𝑁 − 1))
10	4, 6	mulcomd 11335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
11	10	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = (𝑁 − 1) ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
12	9, 11	bitrid 286	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
13	8, 12	bitr3d 284	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
14	13	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
15		odd2np1 16518	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		2z 12733	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		peano2zm 12744	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		divides 16431	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
19	16, 17, 18	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
20	14, 15, 19	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   − cmin 11546  2c2 12402  ℤcz 12698   ∥ cdvds 16429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-n0 12612  df-z 12699  df-dvds 16430

This theorem is used by:  oddp1even  16521  oddpwp1fsum  16569  bitscmp  16615  oexpled  33475  lcmineqlem23  43208  lighneallem1  48797  lighneallem3  48799  2dvdsoddm1  48862