Theorem oddm1even 16293

Description: An integer is odd iff its predecessor is even. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
oddm1even	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))

Proof of Theorem oddm1even

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12674	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		1cnd 11216	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
4		2cnd 12297	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
7	4, 6	mulcld 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
8	2, 3, 7	subadd2d 11597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
9		eqcom 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ (2 · 𝑛) = (𝑁 − 1))
10	4, 6	mulcomd 11242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) = (𝑛 · 2))
11	10	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) = (𝑁 − 1) ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
12	9, 11	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) = (2 · 𝑛) ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
13	8, 12	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
14	13	rexbidva 3175	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
15		odd2np1 16291	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
16		2z 12601	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		peano2zm 12612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
18		divides 16206	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
19	16, 17, 18	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = (𝑁 − 1)))
20	14, 15, 19	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   − cmin 11451  2c2 12274  ℤcz 12565   ∥ cdvds 16204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-dvds 16205

This theorem is referenced by:  oddp1even  16294  oddpwp1fsum  16342  bitscmp  16386  lcmineqlem23  41382  lighneallem1  46731  lighneallem3  46733  2dvdsoddm1  46783