MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcddiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcddiv 16497
Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
gcddiv (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))

Proof of Theorem gcddiv
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
213ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3 simp1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4 divides 16203 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ด โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด))
6 simp2 1135 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
7 divides 16203 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
82, 6, 7syl2anc 582 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆฅ ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
95, 8anbi12d 629 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต)))
10 reeanv 3224 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†” (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค (๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต))
119, 10bitr4di 288 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต)))
12 gcdcl 16451 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„•0)
1312nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
14133adant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘Ž gcd ๐‘) โˆˆ โ„‚)
15 nncn 12224 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
16153ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
17 nnne0 12250 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โ‰  0)
18173ad2ant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
1914, 16, 18divcan4d 12000 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
20 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
21 mulgcdr 16496 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = ((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ))
2220, 21syl3an3 1163 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = ((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ))
2322oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž gcd ๐‘) ยท ๐ถ) / ๐ถ))
24 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
25243ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„‚)
2625, 16, 18divcan4d 12000 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ๐‘Ž)
27 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
28273ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2928, 16, 18divcan4d 12000 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ) = ๐‘)
3026, 29oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) = (๐‘Ž gcd ๐‘))
3119, 23, 303eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)))
32 oveq12 7420 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) = (๐ด gcd ๐ต))
3332oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ))
34 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โ†’ ((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐ด / ๐ถ))
35 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต โ†’ ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ) = (๐ต / ๐ถ))
3634, 35oveqan12d 7430 . . . . . . . . 9 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))
3733, 36eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((((๐‘Ž ยท ๐ถ) gcd (๐‘ ยท ๐ถ)) / ๐ถ) = (((๐‘Ž ยท ๐ถ) / ๐ถ) gcd ((๐‘ ยท ๐ถ) / ๐ถ)) โ†” ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
3831, 37syl5ibcom 244 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
39383expa 1116 . . . . . 6 (((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4039expcom 412 . . . . 5 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))))
4140rexlimdvv 3208 . . . 4 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
42413ad2ant3 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค ((๐‘Ž ยท ๐ถ) = ๐ด โˆง (๐‘ ยท ๐ถ) = ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4311, 42sylbid 239 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ))))
4443imp 405 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440
This theorem is referenced by:  sqgcd  16506  divgcdodd  16651  divnumden  16688  hashgcdlem  16725  pythagtriplem19  16770  expgcd  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator