Theorem gcddiv 16729

Description: Division law for the gcd operator. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcddiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem gcddiv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		divides 16429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
6		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		divides 16429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
9	5, 8	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
10		reeanv 3234	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
11	9, 10	bitr4di 292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
12		gcdcl 16681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
14	13	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
15		nncn 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17		nnne0 12375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18	17	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶) = (𝑎 gcd 𝑏))
20		nnnn0 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℕ0)
21		mulgcdr 16728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
22	20, 21	syl3an3 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
23	22	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶))
24		zcn 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25, 16, 18	divcan4d 12102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑎)
27		zcn 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28, 16, 18	divcan4d 12102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑏)
30	26, 29	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = (𝑎 gcd 𝑏))
31	19, 23, 30	3eqtr4d 2805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)))
32		oveq12 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = (𝐴 gcd 𝐵))
33	32	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶))
34		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐴 / 𝐶))
35		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝐶) = 𝐵 → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐵 / 𝐶))
36	34, 35	oveqan12d 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))
37	33, 36	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
38	31, 37	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
39	38	3expa 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
40	39	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))))
41	40	rexlimdvv 3218	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
42	41	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
43	11, 42	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
44	43	imp 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   · cmul 11208   / cdiv 11976  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696   ∥ cdvds 16427   gcd cgcd 16669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670

This theorem is used by:  sqgcd  16741  expgcd  16742  divgcdodd  16891  divnumden  16929  hashgcdlem  16970  pythagtriplem19  17016