Theorem gcddiv 16482

Description: Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcddiv	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem gcddiv

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		divides 16185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴))
6		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
7		divides 16185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
8	2, 6, 7	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
9	5, 8	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
10		reeanv 3209	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵))
11	9, 10	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵)))
12		gcdcl 16437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
14	13	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑎 gcd 𝑏) ∈ ℂ)
15		nncn 12157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℂ)
17		nnne0 12183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
18	17	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan4d 11927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶) = (𝑎 gcd 𝑏))
20		nnnn0 12412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℕ0)
21		mulgcdr 16481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
22	20, 21	syl3an3 1166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = ((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶))
23	22	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 gcd 𝑏) · 𝐶) / 𝐶))
24		zcn 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25, 16, 18	divcan4d 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑎)
27		zcn 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28, 16, 18	divcan4d 11927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = 𝑏)
30	26, 29	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = (𝑎 gcd 𝑏))
31	19, 23, 30	3eqtr4d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)))
32		oveq12 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) = (𝐴 gcd 𝐵))
33	32	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶))
34		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 → ((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐴 / 𝐶))
35		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 · 𝐶) = 𝐵 → ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶) = (𝐵 / 𝐶))
36	34, 35	oveqan12d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))
37	33, 36	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((((𝑎 · 𝐶) gcd (𝑏 · 𝐶)) / 𝐶) = (((𝑎 · 𝐶) / 𝐶) gcd ((𝑏 · 𝐶) / 𝐶)) ↔ ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
38	31, 37	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
39	38	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
40	39	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))))
41	40	rexlimdvv 3193	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
42	41	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ((𝑎 · 𝐶) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 𝐶) = 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
43	11, 42	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶))))
44	43	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 ∥ 𝐴 ∧ 𝐶 ∥ 𝐵)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) gcd (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   · cmul 11035   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492   ∥ cdvds 16183   gcd cgcd 16425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426

This theorem is referenced by:  sqgcd  16493  expgcd  16494  divgcdodd  16641  divnumden  16679  hashgcdlem  16719  pythagtriplem19  16765