MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dvds 15623
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11984 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 divides 15602 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
31, 2mpan 686 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4 zcn 11978 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54mul01d 10831 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6 eqtr2 2846 . . . . . 6 (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
75, 6sylan2 592 . . . . 5 (((𝑛 · 0) = 𝑁𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
87ancoms 459 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
98rexlimiva 3285 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁𝑁 = 0)
103, 9syl6bi 254 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
11 dvds0 15618 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 ∥ 0
13 breq2 5066 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
1412, 13mpbiri 259 . 2 (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
1510, 14impbid1 226 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  0cc0 10529   · cmul 10534  cz 11973  cdvds 15600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-neg 10865  df-z 11974  df-dvds 15601
This theorem is referenced by:  fsumdvds  15651  dvdsabseq  15656  dfgcd2  15887  dvdssq  15904  rpdvds  15997  pcdvdstr  16205  pc2dvds  16208  mndodcongi  18594  oddvdsnn0  18595  oddvds  18598  odmulgeq  18607  odf1  18612  odf1o1  18620  gexdvds  18632  gexnnod  18636  torsubg  18897  ablsimpgfindlem1  19152  ablsimpgfindlem2  19153  znf1o  20617  jm2.19  39458  nzss  40517
  Copyright terms: Public domain W3C validator