Theorem 0dvds 16475

Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12731	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		divides 16453	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4		zcn 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 11536	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6		eqtr2 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
7	5, 6	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
8	7	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
9	8	rexlimiva 3159	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
10	3, 9	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
11		dvds0 16470	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
12	1, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ∥ 0
13		breq2 5110	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
14	12, 13	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
15	10, 14	impbid1 228	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  0cc0 11227   · cmul 11232  ℤcz 12720   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-ltxr 11375  df-neg 11571  df-z 12721  df-dvds 16452

This theorem is used by:  fsumdvds  16507  dvdsabseq  16512  dfgcd2  16748  dvdssq  16771  rpdvds  16864  pcdvdstr  17083  pc2dvds  17086  mndodcongi  19787  oddvdsnn0  19788  oddvds  19791  odmulgeq  19801  odf1  19806  odf1o1  19816  gexdvds  19828  gexnnod  19832  torsubg  20098  ablsimpgfindlem1  20353  ablsimpgfindlem2  20354  znf1o  21887  dvdsexpnn0  43579  jm2.19  44193  nzss  45493