![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 0dvds | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) |
Ref | Expression |
---|---|
0dvds | โข (๐ โ โค โ (0 โฅ ๐ โ ๐ = 0)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 0z 12569 | . . . 4 โข 0 โ โค | |
2 | divides 16199 | . . . 4 โข ((0 โ โค โง ๐ โ โค) โ (0 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท 0) = ๐)) | |
3 | 1, 2 | mpan 689 | . . 3 โข (๐ โ โค โ (0 โฅ ๐ โ โ๐ โ โค (๐ ยท 0) = ๐)) |
4 | zcn 12563 | . . . . . . 7 โข (๐ โ โค โ ๐ โ โ) | |
5 | 4 | mul01d 11413 | . . . . . 6 โข (๐ โ โค โ (๐ ยท 0) = 0) |
6 | eqtr2 2757 | . . . . . 6 โข (((๐ ยท 0) = ๐ โง (๐ ยท 0) = 0) โ ๐ = 0) | |
7 | 5, 6 | sylan2 594 | . . . . 5 โข (((๐ ยท 0) = ๐ โง ๐ โ โค) โ ๐ = 0) |
8 | 7 | ancoms 460 | . . . 4 โข ((๐ โ โค โง (๐ ยท 0) = ๐) โ ๐ = 0) |
9 | 8 | rexlimiva 3148 | . . 3 โข (โ๐ โ โค (๐ ยท 0) = ๐ โ ๐ = 0) |
10 | 3, 9 | syl6bi 253 | . 2 โข (๐ โ โค โ (0 โฅ ๐ โ ๐ = 0)) |
11 | dvds0 16215 | . . . 4 โข (0 โ โค โ 0 โฅ 0) | |
12 | 1, 11 | ax-mp 5 | . . 3 โข 0 โฅ 0 |
13 | breq2 5153 | . . 3 โข (๐ = 0 โ (0 โฅ ๐ โ 0 โฅ 0)) | |
14 | 12, 13 | mpbiri 258 | . 2 โข (๐ = 0 โ 0 โฅ ๐) |
15 | 10, 14 | impbid1 224 | 1 โข (๐ โ โค โ (0 โฅ ๐ โ ๐ = 0)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3071 class class class wbr 5149 (class class class)co 7409 0cc0 11110 ยท cmul 11115 โคcz 12558 โฅ cdvds 16197 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-ltxr 11253 df-neg 11447 df-z 12559 df-dvds 16198 |
This theorem is referenced by: fsumdvds 16251 dvdsabseq 16256 dfgcd2 16488 dvdssq 16504 rpdvds 16597 pcdvdstr 16809 pc2dvds 16812 mndodcongi 19411 oddvdsnn0 19412 oddvds 19415 odmulgeq 19425 odf1 19430 odf1o1 19440 gexdvds 19452 gexnnod 19456 torsubg 19722 ablsimpgfindlem1 19977 ablsimpgfindlem2 19978 znf1o 21107 dvdsexpnn0 41232 jm2.19 41732 nzss 43076 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |