MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dvds 16220
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12569 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
2 divides 16199 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘))
31, 2mpan 689 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘))
4 zcn 12563 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
54mul01d 11413 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 0) = 0)
6 eqtr2 2757 . . . . . 6 (((๐‘› ยท 0) = ๐‘ โˆง (๐‘› ยท 0) = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
75, 6sylan2 594 . . . . 5 (((๐‘› ยท 0) = ๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ = 0)
87ancoms 460 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 0) = ๐‘) โ†’ ๐‘ = 0)
98rexlimiva 3148 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘ โ†’ ๐‘ = 0)
103, 9syl6bi 253 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ = 0))
11 dvds0 16215 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆฅ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 โˆฅ 0
13 breq2 5153 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” 0 โˆฅ 0))
1412, 13mpbiri 258 . 2 (๐‘ = 0 โ†’ 0 โˆฅ ๐‘)
1510, 14impbid1 224 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  0cc0 11110   ยท cmul 11115  โ„คcz 12558   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-neg 11447  df-z 12559  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  fsumdvds  16251  dvdsabseq  16256  dfgcd2  16488  dvdssq  16504  rpdvds  16597  pcdvdstr  16809  pc2dvds  16812  mndodcongi  19411  oddvdsnn0  19412  oddvds  19415  odmulgeq  19425  odf1  19430  odf1o1  19440  gexdvds  19452  gexnnod  19456  torsubg  19722  ablsimpgfindlem1  19977  ablsimpgfindlem2  19978  znf1o  21107  dvdsexpnn0  41232  jm2.19  41732  nzss  43076
  Copyright terms: Public domain W3C validator