MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dvds 16216
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12565 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 divides 16195 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
31, 2mpan 688 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁))
4 zcn 12559 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
54mul01d 11409 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 0) = 0)
6 eqtr2 2756 . . . . . 6 (((𝑛 · 0) = 𝑁 ∧ (𝑛 · 0) = 0) → 𝑁 = 0)
75, 6sylan2 593 . . . . 5 (((𝑛 · 0) = 𝑁𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
87ancoms 459 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 0) = 𝑁) → 𝑁 = 0)
98rexlimiva 3147 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 0) = 𝑁𝑁 = 0)
103, 9syl6bi 252 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
11 dvds0 16211 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 ∥ 0
13 breq2 5151 . . 3 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
1412, 13mpbiri 257 . 2 (𝑁 = 0 → 0 ∥ 𝑁)
1510, 14impbid1 224 1 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  0cc0 11106   · cmul 11111  cz 12554  cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-neg 11443  df-z 12555  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  fsumdvds  16247  dvdsabseq  16252  dfgcd2  16484  dvdssq  16500  rpdvds  16593  pcdvdstr  16805  pc2dvds  16808  mndodcongi  19405  oddvdsnn0  19406  oddvds  19409  odmulgeq  19419  odf1  19424  odf1o1  19434  gexdvds  19446  gexnnod  19450  torsubg  19716  ablsimpgfindlem1  19971  ablsimpgfindlem2  19972  znf1o  21098  dvdsexpnn0  41227  jm2.19  41717  nzss  43061
  Copyright terms: Public domain W3C validator