MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0dvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0dvds 16217
Description: Only 0 is divisible by 0. Theorem 1.1(h) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
0dvds (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))

Proof of Theorem 0dvds
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 12566 . . . 4 0 โˆˆ โ„ค
2 divides 16196 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘))
31, 2mpan 687 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘))
4 zcn 12560 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
54mul01d 11410 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› ยท 0) = 0)
6 eqtr2 2748 . . . . . 6 (((๐‘› ยท 0) = ๐‘ โˆง (๐‘› ยท 0) = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
75, 6sylan2 592 . . . . 5 (((๐‘› ยท 0) = ๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ = 0)
87ancoms 458 . . . 4 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 0) = ๐‘) โ†’ ๐‘ = 0)
98rexlimiva 3139 . . 3 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 0) = ๐‘ โ†’ ๐‘ = 0)
103, 9syl6bi 253 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘ = 0))
11 dvds0 16212 . . . 4 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆฅ 0)
121, 11ax-mp 5 . . 3 0 โˆฅ 0
13 breq2 5142 . . 3 (๐‘ = 0 โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” 0 โˆฅ 0))
1412, 13mpbiri 258 . 2 (๐‘ = 0 โ†’ 0 โˆฅ ๐‘)
1510, 14impbid1 224 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3062   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  0cc0 11106   ยท cmul 11111  โ„คcz 12555   โˆฅ cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-neg 11444  df-z 12556  df-dvds 16195
This theorem is referenced by:  fsumdvds  16248  dvdsabseq  16253  dfgcd2  16485  dvdssq  16501  rpdvds  16594  pcdvdstr  16808  pc2dvds  16811  mndodcongi  19453  oddvdsnn0  19454  oddvds  19457  odmulgeq  19467  odf1  19472  odf1o1  19482  gexdvds  19494  gexnnod  19498  torsubg  19764  ablsimpgfindlem1  20019  ablsimpgfindlem2  20020  znf1o  21414  dvdsexpnn0  41721  jm2.19  42221  nzss  43565
  Copyright terms: Public domain W3C validator