Theorem congr 16369

Description: Definition of congruence by integer multiple (see ProofWiki "Congruence (Number Theory)", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Definition:Congruence_(Number_Theory)): An integer 𝐴 is congruent to an integer 𝐵 modulo 𝑀 if their difference is a multiple of 𝑀. See also the definition in [ApostolNT] p. 104: "... 𝑎 is congruent to 𝑏 modulo 𝑚, and we write 𝑎≡𝑏 (mod 𝑚) if 𝑚 divides the difference 𝑎 − 𝑏", or Wikipedia "Modular arithmetic - Congruence", https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Congruence, 11-Jul-2021,: "Given an integer n > 1, called a modulus, two integers are said to be congruent modulo n, if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k such that a-b = kn)". (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
congr	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem congr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moddvds 15974	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3coml 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
3		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6	5	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
7		divides 15965	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))
9	2, 8	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319   mod cmo 13589   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  cncongr1  16372