Theorem congr 16633

Description: Definition of congruence by integer multiple (see ProofWiki "Congruence (Number Theory)", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Definition:Congruence_(Number_Theory)): An integer 𝐴 is congruent to an integer 𝐵 modulo 𝑀 if their difference is a multiple of 𝑀. See also the definition in [ApostolNT] p. 104: "... 𝑎 is congruent to 𝑏 modulo 𝑚, and we write 𝑎≡𝑏 (mod 𝑚) if 𝑚 divides the difference 𝑎 − 𝑏", or Wikipedia "Modular arithmetic - Congruence", https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Congruence, 11-Jul-2021,: "Given an integer n > 1, called a modulus, two integers are said to be congruent modulo n, if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k such that a-b = kn)". (Contributed by AV, 11-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
congr	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀

Proof of Theorem congr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		moddvds 16232	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
2	1	3coml 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
3		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12550	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12569	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6	5	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
7		divides 16223	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))
8	4, 6, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))
9	2, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 𝑀) = (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367   · cmul 11043   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℤcz 12524   mod cmo 13828   ∥ cdvds 16221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fl 13751  df-mod 13829  df-dvds 16222

This theorem is referenced by:  cncongr1  16636