Theorem omeo 16248

Description: The difference of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omeo	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem omeo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16223	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		2z 12535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		divides 16138	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
4	2, 3	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
5	1, 4	bi2anan9 637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6		reeanv 3217	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7		zsubcl 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ)
8		zcn 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9		zcn 12504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		subdi 11588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
12	10, 11	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
13	12	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
14		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
15	10, 14	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16		mulcl 11135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
17	10, 16	mpan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		addsub 11412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
20	18, 19	mp3an2 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
21	15, 17, 20	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)) + 1))
22		mulcom 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
23	10, 22	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
24	23	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
26	13, 21, 25	3eqtr2d 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
27	8, 9, 26	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
28		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
29	28	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1))
30	29	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑎 − 𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))))
31	30	rspcev 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎 − 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
32	7, 27, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)))
33		oveq12 7366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) = (𝐴 − 𝐵))
34	33	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
35	34	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) − (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
36	32, 35	syl5ibcom 244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
37	36	rexlimivv 3196	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
38	6, 37	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
39	5, 38	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
40	39	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
41	40	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵))
42		zsubcl 12545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
43	42	ad2ant2r 745	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
44		odd2np1 16223	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 − 𝐵)))
46	41, 45	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  2c2 12208  ℤcz 12499   ∥ cdvds 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-dvds 16137

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