Theorem divalgb 15928

Description: Express the division algorithm as stated in divalg 15927 in terms of ∥. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalgb	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2	1	rexbii 3160	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3		r19.42v 3253	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4	2, 3	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5		zsubcl 12184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ)
6		divides 15780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
7	5, 6	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
8	7	3impb 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
9	8	3com12 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
10		zcn 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		zcn 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
12		zmulcl 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
14		subadd 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	10, 11, 13, 14	syl3an 1162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
17	11, 13, 16	syl2an 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
18	17	3adant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
19	18	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
20	15, 19	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
21		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))
22		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
23	20, 21, 22	3bitr3g 316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
24	23	3expia 1123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
25	24	expcomd 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))))
26	25	3impia 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
28	27	rexbidva 3205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
29	28	3com23 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
30	9, 29	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
31	30	anbi2d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
32	4, 31	bitr4id 293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
33		anass 472	. . . . . 6 ⊢ (((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
34	32, 33	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
35	34	3expa 1120	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
36	35	reubidva 3290	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
37		elnn0z 12154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
38	37	anbi1i 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
39		anass 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
40	38, 39	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
41	40	eubii 2584	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
42		df-reu 3058	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
43		df-reu 3058	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
44	41, 42, 43	3bitr4ri 307	. . 3 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
45	36, 44	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
46	45	3adant3 1134	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∃!weu 2567   ≠ wne 2932  ∃wrex 3052  ∃!wreu 3053   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℂcc 10692  0cc0 10694   + caddc 10697   · cmul 10699   < clt 10832   ≤ cle 10833   − cmin 11027  ℕ₀cn0 12055  ℤcz 12141  abscabs 14762   ∥ cdvds 15778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-dvds 15779

This theorem is referenced by:  divalg2  15929