Theorem divalgb 16365

Description: Express the division algorithm as stated in divalg 16364 in terms of ∥. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalgb	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
2	1	rexbii 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
3		r19.42v 3171	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
4	2, 3	bitri 276	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
5		zsubcl 12561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ)
6		divides 16215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑟) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
7	5, 6	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
8	7	3impb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
9	8	3com12 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟)))
10		zcn 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		zcn 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℂ)
12		zmulcl 12568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℤ)
13	12	zcnd 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ)
14		subadd 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
15	10, 11, 13, 14	syl3an 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁))
16		addcom 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝑞 · 𝐷) ∈ ℂ) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
17	11, 13, 16	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
18	17	3adant1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → (𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
19	18	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑟 + (𝑞 · 𝐷)) = 𝑁 ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
20	15, 19	bitrd 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁))
21		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 − 𝑟) = (𝑞 · 𝐷) ↔ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟))
22		eqcom 2746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = 𝑁 ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))
23	20, 21, 22	3bitr3g 314	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
24	23	3expia 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
25	24	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∈ ℤ → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))))
26	25	3impia 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝑞 ∈ ℤ → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
28	27	rexbidva 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
29	28	3com23 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (𝑞 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
30	9, 29	bitrd 280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
31	30	anbi2d 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ ∃𝑞 ∈ ℤ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
32	4, 31	bitr4id 291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
33		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷)) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
34	32, 33	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
35	34	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
36	35	reubidva 3358	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
37		elnn0z 12529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℕ0 ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟))
38	37	anbi1i 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
39		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑟 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑟) ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
40	38, 39	bitri 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ (𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
41	40	eubii 2589	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
42		df-reu 3345	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℕ0 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
43		df-reu 3345	. . . 4 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟(𝑟 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))))
44	41, 42, 43	3bitr4ri 305	. . 3 ⊢ (∃!𝑟 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟)))
45	36, 44	bitrdi 288	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))
46	45	3adant3 1138	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℕ0 (𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑟))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ∃!wreu 3342   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  ℕ₀cn0 12429  ℤcz 12516  abscabs 15188   ∥ cdvds 16213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-dvds 16214

This theorem is referenced by:  divalg2  16366