MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgb 16388
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 16387 in terms of โˆฅ. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
21rexbii 3091 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3 r19.42v 3188 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
42, 3bitri 274 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
5 zsubcl 12642 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
75, 6sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
873impb 1112 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
983com12 1120 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
10 zcn 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
12 zmulcl 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1312zcnd 12705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
14 subadd 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1510, 11, 13, 14syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1711, 13, 16syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
18173adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1918eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
2015, 19bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
21 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))
22 eqcom 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
2320, 21, 223bitr3g 312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
24233expia 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2524expcomd 415 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))))
26253impia 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2726imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
2827rexbidva 3174 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
29283com23 1123 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
309, 29bitrd 278 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3130anbi2d 628 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
324, 31bitr4id 289 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
33 anass 467 . . . . . 6 (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
3432, 33bitrdi 286 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
35343expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
3635reubidva 3390 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
37 elnn0z 12609 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ))
3837anbi1i 622 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
39 anass 467 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4038, 39bitri 274 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4140eubii 2574 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
42 df-reu 3375 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
43 df-reu 3375 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4441, 42, 433bitr4ri 303 . . 3 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
4536, 44bitrdi 286 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
46453adant3 1129 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ!weu 2557   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596  abscabs 15221   โˆฅ cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  divalg2  16389
  Copyright terms: Public domain W3C validator