MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgb 16351
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 16350 in terms of โˆฅ. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
21rexbii 3088 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3 r19.42v 3184 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
42, 3bitri 275 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
5 zsubcl 12605 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16203 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
75, 6sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
873impb 1112 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
983com12 1120 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
10 zcn 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
12 zmulcl 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1312zcnd 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
14 subadd 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1510, 11, 13, 14syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1711, 13, 16syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
18173adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1918eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
2015, 19bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
21 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))
22 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
2320, 21, 223bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
24233expia 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2524expcomd 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))))
26253impia 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2726imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
2827rexbidva 3170 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
29283com23 1123 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
309, 29bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3130anbi2d 628 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
324, 31bitr4id 290 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
33 anass 468 . . . . . 6 (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
3432, 33bitrdi 287 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
35343expa 1115 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
3635reubidva 3386 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
37 elnn0z 12572 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ))
3837anbi1i 623 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
39 anass 468 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4038, 39bitri 275 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4140eubii 2573 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
42 df-reu 3371 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
43 df-reu 3371 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4441, 42, 433bitr4ri 304 . . 3 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
4536, 44bitrdi 287 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
46453adant3 1129 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒ!weu 2556   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559  abscabs 15184   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  divalg2  16352
  Copyright terms: Public domain W3C validator