MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalgb 16291
Description: Express the division algorithm as stated in divalg 16290 in terms of โˆฅ. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalgb ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘ž,๐‘Ÿ   ๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ

Proof of Theorem divalgb
StepHypRef Expression
1 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
21rexbii 3094 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3 r19.42v 3184 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
42, 3bitri 275 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
5 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค)
6 divides 16143 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
75, 6sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
873impb 1116 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
983com12 1124 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
10 zcn 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
11 zcn 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚)
12 zmulcl 12557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
1312zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
14 subadd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
1510, 11, 13, 14syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘))
16 addcom 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ž ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1711, 13, 16syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
18173adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
1918eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘Ÿ + (๐‘ž ยท ๐ท)) = ๐‘ โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
2015, 19bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘))
21 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ž ยท ๐ท) โ†” (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))
22 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ) = ๐‘ โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))
2320, 21, 223bitr3g 313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
24233expia 1122 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2524expcomd 418 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))))
26253impia 1118 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ž โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
2726imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
2827rexbidva 3170 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
29283com23 1127 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (๐‘ž ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
309, 29bitrd 279 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)))
3130anbi2d 630 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ))))
324, 31bitr4id 290 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” ((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
33 anass 470 . . . . . 6 (((0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท)) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
3432, 33bitrdi 287 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
35343expa 1119 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
3635reubidva 3368 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
37 elnn0z 12517 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ))
3837anbi1i 625 . . . . . 6 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
39 anass 470 . . . . . 6 (((๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘Ÿ) โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4038, 39bitri 275 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” (๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4140eubii 2580 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
42 df-reu 3353 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
43 df-reu 3353 . . . 4 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ(๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆง (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))))
4441, 42, 433bitr4ri 304 . . 3 (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)))
4536, 44bitrdi 287 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
46453adant3 1133 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค (0 โ‰ค ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ = ((๐‘ž ยท ๐ท) + ๐‘Ÿ)) โ†” โˆƒ!๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐‘Ÿ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒ!weu 2563   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  abscabs 15125   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  divalg2  16292
  Copyright terms: Public domain W3C validator