divgcdcoprm0 - Metamath Proof Explorer

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Theorem divgcdcoprm0 16106

Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
divgcdcoprm0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Proof of Theorem divgcdcoprm0 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 15946	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3		gcdcl 15949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
4	3	nn0zd 12166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
5		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
7	6	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8		divides 15701	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
10		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	4, 10	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12	11	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		divides 15701	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
15	9, 14	anbi12d 634	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵)))
16		bezout 15987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
17	16	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
18		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = (𝐴 · 𝑚))
19		oveq1 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = (𝐵 · 𝑛))
20	18, 19	oveqan12rd 7190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
21	20	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛))))
22	21	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛))))
23		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	3	nn0cnd 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
29		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
30	29	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	mul32d 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)))
33		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
35	34	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
39	35, 28, 38	mul32d 10928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))
40	32, 39	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))))
41	40	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
42	23	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
43	29	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	42, 43	zmulcld 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℤ)
45	4	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
46	45	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
47	44, 46	zmulcld 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
48	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
49	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
50	48, 49	zmulcld 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℤ)
51	3	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
52	51	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 12166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
54	50, 53	zmulcld 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
55	47, 54	zaddcld 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ)
57		gcd2n0cl 15952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
58		nnrp 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpcnne0d 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
60	57, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
62		div11 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
63	28, 56, 61, 62	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
64		divid 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
66	47	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
67	54	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
68		divdir 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
69	66, 67, 61, 68	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
70	44	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℂ)
71	51	nn0cnd 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
72	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
73	57	nnne0d 11766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
75	70, 72, 74	divcan4d 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑎 · 𝑚))
76	50	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℂ)
77	76, 28, 74	divcan4d 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑏 · 𝑛))
78	75, 77	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
79	69, 78	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
80	65, 79	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
81	41, 63, 80	3bitr2d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
82	22, 81	sylan9bbr 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
83		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) ↔ ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1)
84		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
85	84	anim1ci 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
86		bezoutr1 16010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
88	87	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
89	83, 88	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
90		simpll1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
91	90	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92		divmul3 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
93	91, 25, 61, 92	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
94		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎)
95		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)))
96	93, 94, 95	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
97	96	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
98	97	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
99	98	imp32 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
100		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
101	100	zcnd 12169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
102	101	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
103		divmul3 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
104	102, 35, 61, 103	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
105		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏)
106		eqcom 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)))
107	104, 105, 106	3bitr4g 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
108	107	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
109	108	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
110	109	imp32 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
111	99, 110	oveq12d 7188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (𝑎 gcd 𝑏) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
112	111	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
113	89, 112	sylibd 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
114	82, 113	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
115	114	exp32 424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
116	115	com34 91	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
117	116	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
118	117	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
119	118	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
120	119	rexlimdvva 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
121	17, 120	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
122	121	impl 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
123	122	rexlimdva 3194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
124	123	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
125	124	rexlimdva 3194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
126	125	impd 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
127	15, 126	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
128	2, 127	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2934 ∃wrex 3054 class class class wbr 5030 (class class class)co 7170 ℂcc 10613 0cc0 10615 1c1 10616 + caddc 10618 · cmul 10620 / cdiv 11375 ℕcn 11716 ℕ₀cn0 11976 ℤcz 12062 ∥ cdvds 15699 gcd cgcd 15937

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1975 ax-7 2020 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2162 ax-12 2179 ax-ext 2710 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5232 ax-pr 5296 ax-un 7479 ax-cnex 10671 ax-resscn 10672 ax-1cn 10673 ax-icn 10674 ax-addcl 10675 ax-addrcl 10676 ax-mulcl 10677 ax-mulrcl 10678 ax-mulcom 10679 ax-addass 10680 ax-mulass 10681 ax-distr 10682 ax-i2m1 10683 ax-1ne0 10684 ax-1rid 10685 ax-rnegex 10686 ax-rrecex 10687 ax-cnre 10688 ax-pre-lttri 10689 ax-pre-lttrn 10690 ax-pre-ltadd 10691 ax-pre-mulgt0 10692 ax-pre-sup 10693

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2075 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2717 df-cleq 2730 df-clel 2811 df-nfc 2881 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3058 df-rex 3059 df-reu 3060 df-rmo 3061 df-rab 3062 df-v 3400 df-sbc 3681 df-csb 3791 df-dif 3846 df-un 3848 df-in 3850 df-ss 3860 df-pss 3862 df-nul 4212 df-if 4415 df-pw 4490 df-sn 4517 df-pr 4519 df-tp 4521 df-op 4523 df-uni 4797 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5429 df-eprel 5434 df-po 5442 df-so 5443 df-fr 5483 df-we 5485 df-xp 5531 df-rel 5532 df-cnv 5533 df-co 5534 df-dm 5535 df-rn 5536 df-res 5537 df-ima 5538 df-pred 6129 df-ord 6175 df-on 6176 df-lim 6177 df-suc 6178 df-iota 6297 df-fun 6341 df-fn 6342 df-f 6343 df-f1 6344 df-fo 6345 df-f1o 6346 df-fv 6347 df-riota 7127 df-ov 7173 df-oprab 7174 df-mpo 7175 df-om 7600 df-2nd 7715 df-wrecs 7976 df-recs 8037 df-rdg 8075 df-er 8320 df-en 8556 df-dom 8557 df-sdom 8558 df-sup 8979 df-inf 8980 df-pnf 10755 df-mnf 10756 df-xr 10757 df-ltxr 10758 df-le 10759 df-sub 10950 df-neg 10951 df-div 11376 df-nn 11717 df-2 11779 df-3 11780 df-n0 11977 df-z 12063 df-uz 12325 df-rp 12473 df-fl 13253 df-mod 13329 df-seq 13461 df-exp 13522 df-cj 14548 df-re 14549 df-im 14550 df-sqrt 14684 df-abs 14685 df-dvds 15700 df-gcd 15938

This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 16107 nna4b4nsq 40069

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