divgcdcoprm0 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divgcdcoprm0		Structured version Visualization version GIF version

Theorem divgcdcoprm0 16009

Description: Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
divgcdcoprm0	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Proof of Theorem divgcdcoprm0 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcddvds 15852	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
2	1	3adant3 1128	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
3		gcdcl 15855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
4	3	nn0zd 12086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
5		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
7	6	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
8		divides 15609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
10		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
11	4, 10	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
12	11	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
13		divides 15609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
15	9, 14	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵)))
16		bezout 15891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
17	16	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
18		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = (𝐴 · 𝑚))
19		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = (𝐵 · 𝑛))
20	18, 19	oveqan12rd 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)))
21	20	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛))))
22	21	bicomd 225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛))))
23		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
24	23	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	3	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
27	26	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
29		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
30	29	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
31	30	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
32	25, 28, 31	mul32d 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) = ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)))
33		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
35	34	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
36		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℤ)
37	36	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℂ)
38	37	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
39	35, 28, 38	mul32d 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛) = ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))
40	32, 39	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))))
41	40	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
42	23	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
43	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
44	42, 43	zmulcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℤ)
45	4	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
47	44, 46	zmulcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
48	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
49	36	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
50	48, 49	zmulcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℤ)
51	3	3adant3 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
52	51	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ₀)
53	52	nn0zd 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
54	50, 53	zmulcld 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℤ)
55	47, 54	zaddcld 12092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ)
57		gcd2n0cl 15858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
58		nnrp 12401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℝ⁺)
59	58	rpcnne0d 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
60	57, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
61	60	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0))
62		div11 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
63	28, 56, 61, 62	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)))))
64		divid 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = 1)
66	47	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
67	54	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ)
68		divdir 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
69	66, 67, 61, 68	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))))
70	44	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 · 𝑚) ∈ ℂ)
71	51	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
72	71	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ)
73	57	nnne0d 11688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
74	73	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)
75	70, 72, 74	divcan4d 11422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑎 · 𝑚))
76	50	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑛) ∈ ℂ)
77	76, 28, 74	divcan4d 11422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) = (𝑏 · 𝑛))
78	75, 77	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵)) + (((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵)) / (𝐴 gcd 𝐵))) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
79	69, 78	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)))
80	65, 79	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝐴 gcd 𝐵) / (𝐴 gcd 𝐵)) = ((((𝑎 · 𝑚) · (𝐴 gcd 𝐵)) + ((𝑏 · 𝑛) · (𝐴 gcd 𝐵))) / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
81	41, 63, 80	3bitr2d 309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = (((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑚) + ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
82	22, 81	sylan9bbr 513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) ↔ 1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛))))
83		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) ↔ ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1)
84		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
85	84	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)))
86		bezoutr1 15913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
88	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) = 1 → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
89	83, 88	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → (𝑎 gcd 𝑏) = 1))
90		simpll1 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
91	90	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
92		divmul3 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
93	91, 25, 61, 92	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵))))
94		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑎)
95		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)))
96	93, 94, 95	3bitr4g 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴))
97	96	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵))))
98	97	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
99	98	imp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑎 = (𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)))
100		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
101	100	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
102	101	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
103		divmul3 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ≠ 0)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
104	102, 35, 61, 103	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵))))
105		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝑏)
106		eqcom 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)))
107	104, 105, 106	3bitr4g 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)) ↔ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵))
108	107	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
109	108	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))))
110	109	imp32 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → 𝑏 = (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵)))
111	99, 110	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (𝑎 gcd 𝑏) = ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))))
112	111	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝑎 gcd 𝑏) = 1 ↔ ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
113	89, 112	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → (1 = ((𝑎 · 𝑚) + (𝑏 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
114	82, 113	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 ∧ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
115	114	exp32 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
116	115	com34 91	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
117	116	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
118	117	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
119	118	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
120	119	rexlimdvva 3294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐴 gcd 𝐵) = ((𝐴 · 𝑚) + (𝐵 · 𝑛)) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))))
121	17, 120	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))))
122	121	impl 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
123	122	rexlimdva 3284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
124	123	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
125	124	rexlimdva 3284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 → (∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵 → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)))
126	125	impd 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · (𝐴 gcd 𝐵)) = 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
127	15, 126	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1))
128	2, 127	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / (𝐴 gcd 𝐵)) gcd (𝐵 / (𝐴 gcd 𝐵))) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ≠ wne 3016 ∃wrex 3139 class class class wbr 5066 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 0cc0 10537 1c1 10538 + caddc 10540 · cmul 10542 / cdiv 11297 ℕcn 11638 ℕ₀cn0 11898 ℤcz 11982 ∥ cdvds 15607 gcd cgcd 15843

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-er 8289 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-sup 8906 df-inf 8907 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-3 11702 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-fl 13163 df-mod 13239 df-seq 13371 df-exp 13431 df-cj 14458 df-re 14459 df-im 14460 df-sqrt 14594 df-abs 14595 df-dvds 15608 df-gcd 15844

This theorem is referenced by: divgcdcoprmex 16010

W3C validator