MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  even2n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem even2n 15402
Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
even2n (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n
StepHypRef Expression
1 evenelz 15396 . 2 (2 ∥ 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
2 2z 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 11778 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
65adantr 473 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7 eleq1 2866 . . . . 5 ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
87adantl 474 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
96, 8mpbid 224 . . 3 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
109rexlimiva 3209 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
11 divides 15321 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12 zcn 11671 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13 2cnd 11391 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
1412, 13mulcomd 10350 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
1514eqeq1d 2801 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
1615rexbiia 3221 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
1711, 16syl6bb 279 . . 3 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
182, 17mpan 682 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
191, 10, 18pm5.21nii 370 1 (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878   · cmul 10229  2c2 11368  cz 11666  cdvds 15319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-dvds 15320
This theorem is referenced by:  evennn02n  15410  evennn2n  15411  m1expe  15427
  Copyright terms: Public domain W3C validator