Theorem even2n 16492

Description: An integer is even iff it is twice another integer. (Contributed by AV, 25-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
even2n	⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem even2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenelz 16486	. 2 ⊢ (2 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2z 12709	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12790	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
7		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝑛) = 𝑁 → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
9	6, 8	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑛) = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	rexlimiva 3156	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		divides 16404	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁))
12		zcn 12679	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 12402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14	12, 13	mulcomd 11311	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 · 2) = (2 · 𝑛))
15	14	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ (2 · 𝑛) = 𝑁))
16	15	rexbiia 3108	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)
17	11, 16	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
18	2, 17	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁))
19	1, 10, 18	pm5.21nii 381	1 ⊢ (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (2 · 𝑛) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412   · cmul 11186  2c2 12378  ℤcz 12674   ∥ cdvds 16402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-dvds 16403

This theorem is used by:  evennn02n  16500  evennn2n  16501  m1expe  16524