MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 16385
Description: Lemma for divalg 16387. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 𝑁 ∈ ℤ
divalglem8.2 𝐷 ∈ ℤ
divalglem8.3 𝐷 ≠ 0
divalglem8.4 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
divalglem9.5 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑟,𝑥   𝑁,𝑟,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑆(𝑟)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 𝑅 = inf(𝑆, ℝ, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 𝑁 ∈ ℤ
3 divalglem8.2 . . . . 5 𝐷 ∈ ℤ
4 divalglem8.3 . . . . 5 𝐷 ≠ 0
5 divalglem8.4 . . . . 5 𝑆 = {𝑟 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑟)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16379 . . . 4 inf(𝑆, ℝ, < ) ∈ 𝑆
71, 6eqeltri 2825 . . 3 𝑅𝑆
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 16381 . . . 4 (0 ≤ 𝑅𝑅 < (abs‘𝐷))
98simpri 484 . . 3 𝑅 < (abs‘𝐷)
10 breq1 5155 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑅 < (abs‘𝐷)))
1110rspcev 3611 . . 3 ((𝑅𝑆𝑅 < (abs‘𝐷)) → ∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷))
127, 9, 11mp2an 690 . 2 𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
13 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑥 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑥))
1413breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1514, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑥)))
1615simplbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℕ0)
1716nn0zd 12622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝑥 ∈ ℤ)
18 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑦 → (𝑁𝑟) = (𝑁𝑦))
1918breq2d 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑦 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑟) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2019, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
2120simplbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12622 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝑦 ∈ ℤ)
23 zsubcl 12642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
242, 23mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑁𝑥) ∈ ℤ)
25 zsubcl 12642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
262, 25mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁𝑦) ∈ ℤ)
2724, 26anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2817, 22, 27syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ))
2915simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑥))
3020simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑆𝐷 ∥ (𝑁𝑦))
3129, 30anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)))
32 dvds2sub 16275 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
333, 32mp3an1 1444 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑁𝑥) ∧ 𝐷 ∥ (𝑁𝑦)) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
35 zcn 12601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
36 zcn 12601 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
372zrei 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑁 ∈ ℝ
3837recni 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 ∈ ℂ
3938subidi 11569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑁) = 0
4039oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 − (𝑥𝑦))
41 0cn 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
42 subsub2 11526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4341, 42mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
4440, 43eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = (0 + (𝑦𝑥)))
45 sub4 11543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
4638, 38, 45mpanl12 700 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑁) − (𝑥𝑦)) = ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)))
47 subcl 11497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4847ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑥) ∈ ℂ)
4948addlidd 11453 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0 + (𝑦𝑥)) = (𝑦𝑥))
5044, 46, 493eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5135, 36, 50syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5217, 22, 51syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) = (𝑦𝑥))
5352breq2d 5164 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ ((𝑁𝑥) − (𝑁𝑦)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑦𝑥)))
5434, 53mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → 𝐷 ∥ (𝑦𝑥))
55 zsubcl 12642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
5655ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥) ∈ ℤ)
57 absdvdsb 16259 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
583, 56, 57sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
5917, 22, 58syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (𝐷 ∥ (𝑦𝑥) ↔ (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥)))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → (abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥))
61 nnabscl 15312 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (abs‘𝐷) ∈ ℕ)
623, 4, 61mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝐷) ∈ ℕ
6362nnzi 12624 . . . . . . . . 9 (abs‘𝐷) ∈ ℤ
64 divides 16240 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐷) ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6563, 56, 64sylancr 585 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6617, 22, 65syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((abs‘𝐷) ∥ (𝑦𝑥) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
6867adantr 479 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥))
692, 3, 4, 5divalglem8 16384 . . . . . 6 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦)))
7069rexlimdv 3150 . . . . 5 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · (abs‘𝐷)) = (𝑦𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((𝑥𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷))) → 𝑥 = 𝑦)
7271ex 411 . . 3 ((𝑥𝑆𝑦𝑆) → ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦))
7372rgen2 3195 . 2 𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)
74 breq1 5155 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑦 < (abs‘𝐷)))
7574reu4 3728 . 2 (∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ↔ (∃𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 ((𝑥 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑦 < (abs‘𝐷)) → 𝑥 = 𝑦)))
7612, 73, 75mpbir2an 709 1 ∃!𝑥𝑆 𝑥 < (abs‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  ∃!wreu 3372  {crab 3430   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  infcinf 9472  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286  cle 11287  cmin 11482  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596  abscabs 15221  cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  divalglem10  16386
  Copyright terms: Public domain W3C validator