MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 16344
Description: Lemma for divalg 16346. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem8.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem8.3 ๐ท โ‰  0
divalglem8.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
divalglem9.5 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘…
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 divalglem8.2 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„ค
4 divalglem8.3 . . . . 5 ๐ท โ‰  0
5 divalglem8.4 . . . . 5 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16338 . . . 4 inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†
71, 6eqeltri 2830 . . 3 ๐‘… โˆˆ ๐‘†
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 16340 . . . 4 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
98simpri 487 . . 3 ๐‘… < (absโ€˜๐ท)
10 breq1 5152 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘… < (absโ€˜๐ท)))
1110rspcev 3613 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท))
127, 9, 11mp2an 691 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
13 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
1413breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1514, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1615simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
18 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
1918breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2019, 5elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2120simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12584 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
242, 23mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
25 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
262, 25mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
2724, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2817, 22, 27syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2915simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3020simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
3129, 30anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
32 dvds2sub 16234 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
333, 32mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
35 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
36 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
372zrei 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ โ„
3837recni 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โˆˆ โ„‚
3938subidi 11531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0
4039oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
41 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„‚
42 subsub2 11488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4341, 42mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4440, 43eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
45 sub4 11505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
4638, 38, 45mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
47 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4847ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4948addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5044, 46, 493eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5135, 36, 50syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5217, 22, 51syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5352breq2d 5161 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5434, 53mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
55 zsubcl 12604 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
5655ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
57 absdvdsb 16218 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
583, 56, 57sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5917, 22, 58syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
61 nnabscl 15272 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
623, 4, 61mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
6362nnzi 12586 . . . . . . . . 9 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
64 divides 16199 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6563, 56, 64sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6617, 22, 65syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
6867adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
692, 3, 4, 5divalglem8 16343 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7069rexlimdv 3154 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
7271ex 414 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7372rgen2 3198 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
74 breq1 5152 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)))
7574reu4 3728 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7612, 73, 75mpbir2an 710 1 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  โˆƒ!wreu 3375  {crab 3433   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  abscabs 15181   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  divalglem10  16345
  Copyright terms: Public domain W3C validator