MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 16348
Description: Lemma for divalg 16350. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem8.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem8.3 ๐ท โ‰  0
divalglem8.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
divalglem9.5 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘…
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 divalglem8.2 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„ค
4 divalglem8.3 . . . . 5 ๐ท โ‰  0
5 divalglem8.4 . . . . 5 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16342 . . . 4 inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†
71, 6eqeltri 2827 . . 3 ๐‘… โˆˆ ๐‘†
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 16344 . . . 4 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
98simpri 484 . . 3 ๐‘… < (absโ€˜๐ท)
10 breq1 5150 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘… < (absโ€˜๐ท)))
1110rspcev 3611 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท))
127, 9, 11mp2an 688 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
13 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
1413breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1514, 5elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1615simplbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
18 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
1918breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2019, 5elrab2 3685 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2120simplbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12588 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
242, 23mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
25 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
262, 25mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
2724, 26anim12i 611 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2817, 22, 27syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2915simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3020simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
3129, 30anim12i 611 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
32 dvds2sub 16238 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
333, 32mp3an1 1446 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
35 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
36 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
372zrei 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ โ„
3837recni 11232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โˆˆ โ„‚
3938subidi 11535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0
4039oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
41 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„‚
42 subsub2 11492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4341, 42mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4440, 43eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
45 sub4 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
4638, 38, 45mpanl12 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
47 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4847ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4948addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5044, 46, 493eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5135, 36, 50syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5217, 22, 51syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5352breq2d 5159 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5434, 53mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
55 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
5655ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
57 absdvdsb 16222 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
583, 56, 57sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5917, 22, 58syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
61 nnabscl 15276 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
623, 4, 61mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
6362nnzi 12590 . . . . . . . . 9 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
64 divides 16203 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6563, 56, 64sylancr 585 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6617, 22, 65syl2an 594 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
6867adantr 479 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
692, 3, 4, 5divalglem8 16347 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7069rexlimdv 3151 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
7271ex 411 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7372rgen2 3195 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
74 breq1 5150 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)))
7574reu4 3726 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7612, 73, 75mpbir2an 707 1 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  โˆƒ!wreu 3372  {crab 3430   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  divalglem10  16349
  Copyright terms: Public domain W3C validator