MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalglem9 16288
Description: Lemma for divalg 16290. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglem8.1 ๐‘ โˆˆ โ„ค
divalglem8.2 ๐ท โˆˆ โ„ค
divalglem8.3 ๐ท โ‰  0
divalglem8.4 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
divalglem9.5 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
divalglem9 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Distinct variable groups:   ๐ท,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘,๐‘Ÿ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘…
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ÿ)   ๐‘†(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem divalglem9
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divalglem9.5 . . . 4 ๐‘… = inf(๐‘†, โ„, < )
2 divalglem8.1 . . . . 5 ๐‘ โˆˆ โ„ค
3 divalglem8.2 . . . . 5 ๐ท โˆˆ โ„ค
4 divalglem8.3 . . . . 5 ๐ท โ‰  0
5 divalglem8.4 . . . . 5 ๐‘† = {๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โˆฃ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ)}
62, 3, 4, 5divalglem2 16282 . . . 4 inf(๐‘†, โ„, < ) โˆˆ ๐‘†
71, 6eqeltri 2830 . . 3 ๐‘… โˆˆ ๐‘†
82, 3, 4, 5, 1divalglem5 16284 . . . 4 (0 โ‰ค ๐‘… โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท))
98simpri 487 . . 3 ๐‘… < (absโ€˜๐ท)
10 breq1 5109 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘… < (absโ€˜๐ท)))
1110rspcev 3580 . . 3 ((๐‘… โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘… < (absโ€˜๐ท)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท))
127, 9, 11mp2an 691 . 2 โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
13 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
1413breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1514, 5elrab2 3649 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ)))
1615simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•0)
1716nn0zd 12530 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
18 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) = (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
1918breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ÿ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘Ÿ) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2019, 5elrab2 3649 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
2120simplbi 499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12530 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
23 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
242, 23mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
25 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
262, 25mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
2724, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2817, 22, 27syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
2915simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ))
3020simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))
3129, 30anim12i 614 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
32 dvds2sub 16178 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
333, 32mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ))))
3428, 31, 33sylc 65 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
35 zcn 12509 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
36 zcn 12509 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
372zrei 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ โˆˆ โ„
3837recni 11174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โˆˆ โ„‚
3938subidi 11477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆ’ ๐‘) = 0
4039oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ))
41 0cn 11152 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ โ„‚
42 subsub2 11434 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4341, 42mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
4440, 43eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
45 sub4 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
4638, 38, 45mpanl12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘) โˆ’ (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)))
47 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4847ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4948addid2d 11361 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 + (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5044, 46, 493eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5135, 36, 50syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5217, 22, 51syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
5352breq2d 5118 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ ((๐‘ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆ’ (๐‘ โˆ’ ๐‘ฆ)) โ†” ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5434, 53mpbid 231 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
55 zsubcl 12550 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
5655ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
57 absdvdsb 16162 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
583, 56, 57sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
5917, 22, 58syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6054, 59mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
61 nnabscl 15216 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•)
623, 4, 61mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„•
6362nnzi 12532 . . . . . . . . 9 (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค
64 divides 16143 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6563, 56, 64sylancr 588 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6617, 22, 65syl2an 597 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆฅ (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)))
6760, 66mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
6867adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ))
692, 3, 4, 5divalglem8 16287 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7069rexlimdv 3147 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท (absโ€˜๐ท)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7168, 70mpd 15 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โˆง (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
7271ex 414 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
7372rgen2 3191 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)
74 breq1 5109 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)))
7574reu4 3690 . 2 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† ((๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท) โˆง ๐‘ฆ < (absโ€˜๐ท)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฆ)))
7612, 73, 75mpbir2an 710 1 โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† ๐‘ฅ < (absโ€˜๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  โˆƒ!wreu 3350  {crab 3406   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  abscabs 15125   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  divalglem10  16289
  Copyright terms: Public domain W3C validator