MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odd2np1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odd2np1 16288
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐‘

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12598 . . . 4 2 โˆˆ โ„ค
2 divides 16203 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
31, 2mpan 686 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
43notbid 317 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
5 elznn0 12577 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)))
6 odd2np1lem 16287 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
76adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
8 peano2z 12607 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
9 znegcl 12601 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค โ†’ -(๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -(๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
1110ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘) โ†’ -(๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค)
12 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
13 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 โˆˆ โ„‚
14 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1513, 14mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
16 peano2cn 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„‚)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„‚)
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„‚)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„‚)
20 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2120recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 negcon2 11517 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โ†” ๐‘ = -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
2319, 21, 22syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โ†” ๐‘ = -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)))
24 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘)
2513, 12, 14sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
26 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 โˆˆ โ„‚
2713, 26mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ยท 1) โˆˆ โ„‚
28 addsubass 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท 1) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)))
2927, 26, 28mp3an23 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)))
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)))
31 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ยท 1) = 2
3231oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ยท 1) โˆ’ 1) = (2 โˆ’ 1)
33 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 โˆ’ 1) = 1
3432, 33eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ยท 1) โˆ’ 1) = 1
3534oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ยท ๐‘ฅ) + ((2 ยท 1) โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1)
3630, 35eqtr2di 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1))
37 adddi 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ฅ + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)))
3813, 26, 37mp3an13 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘ฅ + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)))
3912, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (๐‘ฅ + 1)) = ((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)))
4039oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘ฅ) + (2 ยท 1)) โˆ’ 1))
4136, 40eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1))
4241negeqd 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1))
438zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„‚)
44 mulneg2 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) = -(2 ยท (๐‘ฅ + 1)))
4513, 43, 44sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) = -(2 ยท (๐‘ฅ + 1)))
4645oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = (-(2 ยท (๐‘ฅ + 1)) + 1))
47 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆˆ โ„‚)
4813, 43, 47sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆˆ โ„‚)
49 negsubdi 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ -((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1) = (-(2 ยท (๐‘ฅ + 1)) + 1))
5048, 26, 49sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1) = (-(2 ยท (๐‘ฅ + 1)) + 1))
5146, 50eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = -((2 ยท (๐‘ฅ + 1)) โˆ’ 1))
5242, 51eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1))
5453eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = ๐‘ โ†” ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘))
5524, 54bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = -((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) โ†” ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘))
5623, 55bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โ†” ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘))
5756biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘) โ†’ ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘)
58 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = -(๐‘ฅ + 1) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท -(๐‘ฅ + 1)))
5958oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = -(๐‘ฅ + 1) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1))
6059eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = -(๐‘ฅ + 1) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘))
6160rspcev 3611 . . . . . . . . 9 ((-(๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท -(๐‘ฅ + 1)) + 1) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
6211, 57, 61syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โˆง ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘)
6362rexlimdva2 3155 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
64 znegcl 12601 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
6564ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘) โ†’ -๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
66 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
67 mulcl 11196 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
6866, 13, 67sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
69 recn 11202 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
70 negcon2 11517 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘ โ†” ๐‘ = -(๐‘ฆ ยท 2)))
7168, 69, 70syl2anr 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘ โ†” ๐‘ = -(๐‘ฆ ยท 2)))
72 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ = -(๐‘ฆ ยท 2) โ†” -(๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘)
73 mulneg1 11654 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐‘ฆ ยท 2) = -(๐‘ฆ ยท 2))
7466, 13, 73sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ (-๐‘ฆ ยท 2) = -(๐‘ฆ ยท 2))
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘ฆ ยท 2) = -(๐‘ฆ ยท 2))
7675eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘ โ†” -(๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘))
7772, 76bitr4id 289 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = -(๐‘ฆ ยท 2) โ†” (-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘))
7871, 77bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘ โ†” (-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘))
7978biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘) โ†’ (-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘)
80 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = -๐‘ฆ โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (-๐‘ฆ ยท 2))
8180eqeq1d 2732 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = -๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ ยท 2) = ๐‘ โ†” (-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘))
8281rspcev 3611 . . . . . . . . 9 ((-๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง (-๐‘ฆ ยท 2) = ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)
8365, 79, 82syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)
8483rexlimdva2 3155 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
8563, 84orim12d 961 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)))
86 odd2np1lem 16287 . . . . . 6 (-๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘ฅ) + 1) = -๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ฆ ยท 2) = -๐‘))
8785, 86impel 504 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
887, 87jaodan 954 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ -๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
895, 88sylbi 216 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
90 halfnz 12644 . . . 4 ยฌ (1 / 2) โˆˆ โ„ค
91 reeanv 3224 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
92 eqtr3 2756 . . . . . . 7 ((((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘˜ ยท 2))
93 zcn 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
94 mulcom 11198 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (2 ยท ๐‘˜))
9593, 13, 94sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ ยท 2) = (2 ยท ๐‘˜))
9695eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜)))
9796adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘˜ ยท 2) โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜)))
98 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9913, 93, 98sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
100 zcn 12567 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
101 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
10213, 100, 101sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
103 subadd 11467 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1 โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜)))
10426, 103mp3an3 1448 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1 โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜)))
10599, 102, 104syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1 โ†” ((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜)))
106 subcl 11463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
107 2cnne0 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
108 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” (1 / 2) = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›))
109 divmul 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((1 / 2) = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โ†” (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1))
110108, 109bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1))
11126, 107, 110mp3an13 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1))
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1))
113112ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1))
114 subdi 11651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)))
11513, 114mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)))
116115ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)))
117116eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = 1 โ†” ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1))
118113, 117bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1))
119100, 93, 118syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†” ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1))
120 zsubcl 12608 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
121 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„ค โ†” (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
122120, 121syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
123122ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) = (1 / 2) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
124119, 123sylbird 259 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)) = 1 โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
125105, 124sylbird 259 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = (2 ยท ๐‘˜) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
12697, 125sylbid 239 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = (๐‘˜ ยท 2) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
12792, 126syl5 34 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค))
128127rexlimivv 3197 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค)
12991, 128sylbir 234 . . . 4 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„ค)
13090, 129mto 196 . . 3 ยฌ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)
131 pm5.17 1008 . . . 4 (((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โˆง ยฌ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)) โ†” (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘))
132 bicom 221 . . . 4 ((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†” ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โ†” (ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
133131, 132bitri 274 . . 3 (((โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆจ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘) โˆง ยฌ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘)) โ†” (ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
13489, 130, 133sylanblc 587 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„ค (๐‘˜ ยท 2) = ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
1354, 134bitrd 278 1 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16202
This theorem is referenced by:  oddm1even  16290  oexpneg  16292  mod2eq1n2dvds  16294  oddnn02np1  16295  2tp1odd  16299  sqoddm1div8z  16301  ltoddhalfle  16308  halfleoddlt  16309  opoe  16310  omoe  16311  opeo  16312  omeo  16313  m1expo  16322  m1exp1  16323  flodddiv4  16360  iserodd  16772  lgsquadlem1  27119  knoppndvlem9  35699  coskpi2  44880  cosknegpi  44883  stirlinglem5  45092  fourierswlem  45244  fmtnoodd  46499  dfodd3  46616
  Copyright terms: Public domain W3C validator