Theorem odd2np1 16280

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16193	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
4	3	notbid 318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5		elznn0 12515	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		odd2np1lem 16279	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8		peano2z 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
9		znegcl 12538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
11	10	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		2cn 12232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15	13, 14	mpan 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		negcon2 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
24		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
25	13, 12, 14	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	13, 26	mulcli 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
28		addsubass 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
29	27, 26, 28	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
31		2t1e2 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
32	31	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
33		2m1e1 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 − 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
35	34	oveq2i 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
36	30, 35	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
37		adddi 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
38	13, 26, 37	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
40	39	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
41	36, 40	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
42	41	negeqd 11386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
43	8	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
44		mulneg2 11586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
45	13, 43, 44	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
46	45	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
47		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
48	13, 43, 47	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
49		negsubdi 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
50	48, 26, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
51	46, 50	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
52	42, 51	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
54	53	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
55	24, 54	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
56	23, 55	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
57	56	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
58		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
59	58	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
60	59	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
61	60	rspcev 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
62	11, 57, 61	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
63	62	rexlimdva2 3141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
64		znegcl 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
65	64	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
66		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
67		mulcl 11122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
68	66, 13, 67	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
69		recn 11128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
70		negcon2 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
71	68, 69, 70	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
72		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
73		mulneg1 11585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
74	66, 13, 73	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
76	75	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
77	72, 76	bitr4id 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
78	71, 77	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
79	78	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
80		oveq1 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
81	80	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
82	81	rspcev 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
83	65, 79, 82	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
84	83	rexlimdva2 3141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
85	63, 84	orim12d 967	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
86		odd2np1lem 16279	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
87	85, 86	impel 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
88	7, 87	jaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
89	5, 88	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
90		halfnz 12582	. . . 4 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
91		reeanv 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
92		eqtr3 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
93		zcn 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		mulcom 11124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
95	93, 13, 94	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
96	95	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
98		mulcl 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
99	13, 93, 98	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
100		zcn 12505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
101		mulcl 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
102	13, 100, 101	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
103		subadd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
104	26, 103	mp3an3 1453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
105	99, 102, 104	syl2anr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
106		subcl 11391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ)
107		2cnne0 12362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
108		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘 − 𝑛))
109		divmul 11811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘 − 𝑛) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
110	108, 109	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
111	26, 107, 110	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
112	106, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
113	112	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
114		subdi 11582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
115	13, 114	mp3an1 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
116	115	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
117	116	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
118	113, 117	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
119	100, 93, 118	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
120		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ)
121		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
122	120, 121	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
123	122	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
124	119, 123	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
125	105, 124	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126	97, 125	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127	92, 126	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
128	127	rexlimivv 3180	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
129	91, 128	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
130	90, 129	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
131		pm5.17 1014	. . . 4 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
132		bicom 222	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
133	131, 132	bitri 275	. . 3 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
134	89, 130, 133	sylanblc 590	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
135	4, 134	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500   ∥ cdvds 16191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-dvds 16192

This theorem is referenced by:  oddm1even  16282  oexpneg  16284  mod2eq1n2dvds  16286  oddnn02np1  16287  2tp1odd  16291  sqoddm1div8z  16293  ltoddhalfle  16300  halfleoddlt  16301  opoe  16302  omoe  16303  opeo  16304  omeo  16305  m1expo  16314  m1exp1  16315  flodddiv4  16354  iserodd  16775  lgsquadlem1  27359  knoppndvlem9  36742  coskpi2  46224  cosknegpi  46227  stirlinglem5  46436  fourierswlem  46588  fmtnoodd  47893  dfodd3  48010