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Theorem odd2np1 15439
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11737 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 divides 15359 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 683 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
43notbid 310 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5 elznn0 11719 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6 odd2np1lem 15438 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
76adantl 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8 odd2np1lem 15438 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
9 peano2z 11746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10 znegcl 11740 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
1211ad2antlr 720 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13 zcn 11709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14 2cn 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
15 mulcl 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15mpan 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
17 peano2cn 10527 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
2019adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
21 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221recnd 10385 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
23 negcon2 10655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
2420, 22, 23syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
25 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
2614, 13, 15sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
2814, 27mulcli 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) ∈ ℂ
29 addsubass 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3028, 27, 29mp3an23 1583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
32 2t1e2 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) = 2
3332oveq1i 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
34 2m1e1 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) − 1) = 1
3635oveq2i 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
3731, 36syl6req 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
38 adddi 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
3914, 27, 38mp3an13 1582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4140oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
4237, 41eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
4342negeqd 10595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
449zcnd 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
45 mulneg2 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4614, 44, 45sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4746oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
48 mulcl 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4914, 44, 48sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50 negsubdi 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5149, 27, 50sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5247, 51eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
5343, 52eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5453adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5554eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5625, 55syl5bb 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5724, 56bitrd 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5857biimpa 470 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
59 oveq2 6913 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
6059oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
6160eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
6261rspcev 3526 . . . . . . . . . 10 ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6312, 58, 62syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6463rexlimdva2 3243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
65 znegcl 11740 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6665ad2antlr 720 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
67 zcn 11709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
68 mulcl 10336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
6967, 14, 68sylancl 582 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
70 recn 10342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
71 negcon2 10655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
7269, 70, 71syl2anr 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
73 mulneg1 10790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7467, 14, 73sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7574adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7675eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
77 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
7876, 77syl6rbbr 282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
7972, 78bitrd 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8079biimpa 470 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
81 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
8281eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8382rspcev 3526 . . . . . . . . . 10 ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8466, 80, 83syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8584rexlimdva2 3243 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8664, 85orim12d 994 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
878, 86syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
8887imp 397 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
897, 88jaodan 987 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
905, 89sylbi 209 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
91 halfnz 11783 . . . 4 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
92 reeanv 3317 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
93 eqtr3 2848 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
94 zcn 11709 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
95 mulcom 10338 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9694, 14, 95sylancl 582 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9796eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
9897adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
99 mulcl 10336 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
10014, 94, 99sylancr 583 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
101 zcn 11709 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
102 mulcl 10336 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
10314, 101, 102sylancr 583 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
104 subadd 10604 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10527, 104mp3an3 1580 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
106100, 103, 105syl2anr 592 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
107 subcl 10600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
108 2cnne0 11568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
109 eqcom 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘𝑛))
110 divmul 11013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘𝑛) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
111109, 110syl5bb 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
11227, 108, 111mp3an13 1582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
113107, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
114113ancoms 452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
115 subdi 10787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
11614, 115mp3an1 1578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
117116ancoms 452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
118117eqeq1d 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
119114, 118bitrd 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
120101, 94, 119syl2an 591 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
121 zsubcl 11747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘𝑛) ∈ ℤ)
122 eleq1 2894 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
123121, 122syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
124123ancoms 452 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
125120, 124sylbird 252 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
126106, 125sylbird 252 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
12798, 126sylbid 232 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
12893, 127syl5 34 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
129128rexlimivv 3246 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13092, 129sylbir 227 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13191, 130mto 189 . . 3 ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
132 pm5.17 1042 . . . 4 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
133 bicom 214 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
134132, 133bitri 267 . . 3 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13590, 131, 134sylanblc 585 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1364, 135bitrd 271 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 880  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wrex 3118   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257  cmin 10585  -cneg 10586   / cdiv 11009  2c2 11406  0cn0 11618  cz 11704  cdvds 15357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-dvds 15358
This theorem is referenced by:  oddm1even  15441  oexpneg  15443  mod2eq1n2dvds  15445  oddnn02np1  15446  2tp1odd  15450  sqoddm1div8z  15452  ltoddhalfle  15459  halfleoddlt  15460  opoe  15461  omoe  15462  opeo  15463  omeo  15464  m1expo  15466  m1exp1  15467  flodddiv4  15510  iserodd  15911  leibpilem1  25080  lgsquadlem1  25518  knoppndvlem9  33043  coskpi2  40872  cosknegpi  40875  stirlinglem5  41089  fourierswlem  41241  fmtnoodd  42275  dfodd3  42393
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