Theorem odd2np1 15682

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12002	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 15601	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
4	3	notbid 321	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5		elznn0 11984	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		odd2np1lem 15681	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
7	6	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8		peano2z 12011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
9		znegcl 12005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
11	10	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		zcn 11974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		2cn 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		mulcl 10610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15	13, 14	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
16		peano2cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
20		simpl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		negcon2 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
24		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
25	13, 12, 14	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
26		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	13, 26	mulcli 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
28		addsubass 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
29	27, 26, 28	mp3an23 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
31		2t1e2 11788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
32	31	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
33		2m1e1 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 − 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
35	34	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
36	30, 35	eqtr2di 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
37		adddi 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
38	13, 26, 37	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
40	39	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
41	36, 40	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
42	41	negeqd 10869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
43	8	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
44		mulneg2 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
45	13, 43, 44	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
46	45	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
47		mulcl 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
48	13, 43, 47	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
49		negsubdi 10931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
50	48, 26, 49	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
51	46, 50	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
52	42, 51	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
54	53	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
55	24, 54	syl5bb 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
56	23, 55	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
57	56	biimpa 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
58		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
59	58	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
60	59	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
61	60	rspcev 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
62	11, 57, 61	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
63	62	rexlimdva2 3246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
64		znegcl 12005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
65	64	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
66		zcn 11974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
67		mulcl 10610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
68	66, 13, 67	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
69		recn 10616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
70		negcon2 10928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
71	68, 69, 70	syl2anr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
72		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
73		mulneg1 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
74	66, 13, 73	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
75	74	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
76	75	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
77	72, 76	bitr4id 293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
78	71, 77	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
79	78	biimpa 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
80		oveq1 7142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
81	80	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
82	81	rspcev 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
83	65, 79, 82	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
84	83	rexlimdva2 3246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
85	63, 84	orim12d 962	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
86		odd2np1lem 15681	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
87	85, 86	impel 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
88	7, 87	jaodan 955	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
89	5, 88	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
90		halfnz 12048	. . . 4 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
91		reeanv 3320	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
92		eqtr3 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
93		zcn 11974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		mulcom 10612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
95	93, 13, 94	sylancl 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
96	95	eqeq2d 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
97	96	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
98		mulcl 10610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
99	13, 93, 98	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
100		zcn 11974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
101		mulcl 10610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
102	13, 100, 101	sylancr 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
103		subadd 10878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
104	26, 103	mp3an3 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
105	99, 102, 104	syl2anr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
106		subcl 10874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ)
107		2cnne0 11835	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
108		eqcom 2805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘 − 𝑛))
109		divmul 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘 − 𝑛) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
110	108, 109	syl5bb 286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
111	26, 107, 110	mp3an13 1449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
112	106, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
113	112	ancoms 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
114		subdi 11062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
115	13, 114	mp3an1 1445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
116	115	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
117	116	eqeq1d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
118	113, 117	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
119	100, 93, 118	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
120		zsubcl 12012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ)
121		eleq1 2877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
122	120, 121	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
123	122	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
124	119, 123	sylbird 263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
125	105, 124	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126	97, 125	sylbid 243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127	92, 126	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
128	127	rexlimivv 3251	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
129	91, 128	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
130	90, 129	mto 200	. . 3 ⊢ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
131		pm5.17 1009	. . . 4 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
132		bicom 225	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
133	131, 132	bitri 278	. . 3 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
134	89, 130, 133	sylanblc 592	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
135	4, 134	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969   ∥ cdvds 15599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-dvds 15600

This theorem is referenced by:  oddm1even  15684  oexpneg  15686  mod2eq1n2dvds  15688  oddnn02np1  15689  2tp1odd  15693  sqoddm1div8z  15695  ltoddhalfle  15702  halfleoddlt  15703  opoe  15704  omoe  15705  opeo  15706  omeo  15707  m1expo  15716  m1exp1  15717  flodddiv4  15754  iserodd  16162  lgsquadlem1  25964  knoppndvlem9  33972  coskpi2  42508  cosknegpi  42511  stirlinglem5  42720  fourierswlem  42872  fmtnoodd  44050  dfodd3  44168