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Theorem odd2np1 15348
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11655 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 divides 15268 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 681 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
43notbid 309 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5 elznn0 11638 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6 odd2np1lem 15347 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
76adantl 473 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8 odd2np1lem 15347 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
9 peano2z 11664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10 znegcl 11658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
1211ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13 zcn 11628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14 2cn 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
15 mulcl 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15mpan 681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
17 peano2cn 10461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
2019adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
21 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221recnd 10321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
23 negcon2 10587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
2420, 22, 23syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
25 eqcom 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
2614, 13, 15sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
2814, 27mulcli 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) ∈ ℂ
29 addsubass 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3028, 27, 29mp3an23 1577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
32 2t1e2 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
3332oveq1i 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
34 2m1e1 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
3635oveq2i 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
3731, 36syl6req 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
38 adddi 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
3914, 27, 38mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4140oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
4237, 41eqtr4d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
4342negeqd 10528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
449zcnd 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
45 mulneg2 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4614, 44, 45sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4746oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
48 mulcl 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4914, 44, 48sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50 negsubdi 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5149, 27, 50sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5247, 51eqtr4d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
5343, 52eqtr4d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5453adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5554eqeq1d 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5625, 55syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5724, 56bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5857biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
59 oveq2 6849 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
6059oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
6160eqeq1d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
6261rspcev 3460 . . . . . . . . . . 11 ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6312, 58, 62syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6463ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
6564rexlimdva 3177 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
66 znegcl 11658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6766ad2antlr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
68 zcn 11628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
69 mulcl 10272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
7068, 14, 69sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
71 recn 10278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
72 negcon2 10587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
7370, 71, 72syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
74 mulneg1 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7568, 14, 74sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7675adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7776eqeq1d 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
78 eqcom 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
7977, 78syl6rbbr 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8073, 79bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8180biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
82 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
8382eqeq1d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8483rspcev 3460 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8567, 81, 84syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8685ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8786rexlimdva 3177 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8865, 87orim12d 987 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
898, 88syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
9089imp 395 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
917, 90jaodan 980 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
925, 91sylbi 208 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
93 halfnz 11701 . . . 4 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
94 reeanv 3253 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
95 eqtr3 2785 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
96 zcn 11628 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97 mulcom 10274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9896, 14, 97sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9998eqeq2d 2774 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10099adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
101 mulcl 10272 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
10214, 96, 101sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
103 zcn 11628 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
104 mulcl 10272 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
10514, 103, 104sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
106 subadd 10537 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10727, 106mp3an3 1574 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
108102, 105, 107syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
109 subcl 10533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
110 2cnne0 11487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
111 eqcom 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘𝑛))
112 divmul 10941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘𝑛) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
113111, 112syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
11427, 110, 113mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
116115ancoms 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
117 subdi 10716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
11814, 117mp3an1 1572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
119118ancoms 450 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
120119eqeq1d 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
121116, 120bitrd 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
122103, 96, 121syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
123 zsubcl 11665 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘𝑛) ∈ ℤ)
124 eleq1 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
125123, 124syl5ibcom 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126125ancoms 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127122, 126sylbird 251 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
128108, 127sylbird 251 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
129100, 128sylbid 231 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
13095, 129syl5 34 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
131130rexlimivv 3182 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13294, 131sylbir 226 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13393, 132mto 188 . . 3 ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
134 pm5.17 1035 . . . 4 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
135 bicom 213 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
136134, 135bitri 266 . . 3 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13792, 133, 136sylanblc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1384, 137bitrd 270 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wrex 3055   class class class wbr 4808  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  cmin 10519  -cneg 10520   / cdiv 10937  2c2 11326  0cn0 11537  cz 11623  cdvds 15266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-n0 11538  df-z 11624  df-dvds 15267
This theorem is referenced by:  oddm1even  15350  oexpneg  15352  mod2eq1n2dvds  15354  oddnn02np1  15355  2tp1odd  15359  sqoddm1div8z  15361  ltoddhalfle  15368  halfleoddlt  15369  opoe  15370  omoe  15371  opeo  15372  omeo  15373  m1expo  15375  m1exp1  15376  flodddiv4  15419  iserodd  15820  leibpilem1  24957  lgsquadlem1  25395  knoppndvlem9  32881  coskpi2  40647  cosknegpi  40650  stirlinglem5  40864  fourierswlem  41016  fmtnoodd  42053  dfodd3  42171
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