Theorem odd2np1 16374

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12646	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16288	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
4	3	notbid 318	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5		elznn0 12625	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		odd2np1lem 16373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8		peano2z 12655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
9		znegcl 12649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		zcn 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		2cn 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		mulcl 11236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15	13, 14	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
20		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		negcon2 11559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
24		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
25	13, 12, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	13, 26	mulcli 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
28		addsubass 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
29	27, 26, 28	mp3an23 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
31		2t1e2 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
32	31	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
33		2m1e1 12389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 − 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
35	34	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
36	30, 35	eqtr2di 2791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
37		adddi 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
38	13, 26, 37	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
40	39	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
41	36, 40	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
42	41	negeqd 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
43	8	zcnd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
44		mulneg2 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
45	13, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
46	45	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
47		mulcl 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
48	13, 43, 47	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
49		negsubdi 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
50	48, 26, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
51	46, 50	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
52	42, 51	eqtr4d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
54	53	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
55	24, 54	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
56	23, 55	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
57	56	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
58		oveq2 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
59	58	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
60	59	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
61	60	rspcev 3621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
62	11, 57, 61	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
63	62	rexlimdva2 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
64		znegcl 12649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
65	64	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
66		zcn 12615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
67		mulcl 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
68	66, 13, 67	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
69		recn 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
70		negcon2 11559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
71	68, 69, 70	syl2anr 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
72		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
73		mulneg1 11696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
74	66, 13, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
76	75	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
77	72, 76	bitr4id 290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
78	71, 77	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
79	78	biimpa 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
80		oveq1 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
81	80	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
82	81	rspcev 3621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
83	65, 79, 82	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
84	83	rexlimdva2 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
85	63, 84	orim12d 966	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
86		odd2np1lem 16373	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
87	85, 86	impel 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
88	7, 87	jaodan 959	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
89	5, 88	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
90		halfnz 12693	. . . 4 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
91		reeanv 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
92		eqtr3 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
93		zcn 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		mulcom 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
95	93, 13, 94	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
96	95	eqeq2d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
98		mulcl 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
99	13, 93, 98	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
100		zcn 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
101		mulcl 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
102	13, 100, 101	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
103		subadd 11508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
104	26, 103	mp3an3 1449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
105	99, 102, 104	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
106		subcl 11504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ)
107		2cnne0 12473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
108		eqcom 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘 − 𝑛))
109		divmul 11922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘 − 𝑛) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
110	108, 109	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
111	26, 107, 110	mp3an13 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
112	106, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
113	112	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
114		subdi 11693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
115	13, 114	mp3an1 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
116	115	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
117	116	eqeq1d 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
118	113, 117	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
119	100, 93, 118	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
120		zsubcl 12656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ)
121		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
122	120, 121	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
123	122	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
124	119, 123	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
125	105, 124	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126	97, 125	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127	92, 126	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
128	127	rexlimivv 3198	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
129	91, 128	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
130	90, 129	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
131		pm5.17 1013	. . . 4 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
132		bicom 222	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
133	131, 132	bitri 275	. . 3 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
134	89, 130, 133	sylanblc 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
135	4, 134	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   − cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610   ∥ cdvds 16286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-dvds 16287

This theorem is referenced by:  oddm1even  16376  oexpneg  16378  mod2eq1n2dvds  16380  oddnn02np1  16381  2tp1odd  16385  sqoddm1div8z  16387  ltoddhalfle  16394  halfleoddlt  16395  opoe  16396  omoe  16397  opeo  16398  omeo  16399  m1expo  16408  m1exp1  16409  flodddiv4  16448  iserodd  16868  lgsquadlem1  27438  knoppndvlem9  36502  coskpi2  45821  cosknegpi  45824  stirlinglem5  46033  fourierswlem  46185  fmtnoodd  47457  dfodd3  47574