Theorem odd2np1 16283

Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
odd2np1	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12593	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		divides 16198	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
4	3	notbid 317	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5		elznn0 12572	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6		odd2np1lem 16282	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
7	6	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8		peano2z 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
9		znegcl 12596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
12		zcn 12562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		2cn 12286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
14		mulcl 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15	13, 14	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
16		peano2cn 11385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
20		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	recnd 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		negcon2 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
24		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
25	13, 12, 14	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
26		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	13, 26	mulcli 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
28		addsubass 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
29	27, 26, 28	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
30	25, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
31		2t1e2 12374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 1) = 2
32	31	oveq1i 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
33		2m1e1 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 − 1) = 1
34	32, 33	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 1) − 1) = 1
35	34	oveq2i 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
36	30, 35	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
37		adddi 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
38	13, 26, 37	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
40	39	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
41	36, 40	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
42	41	negeqd 11453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
43	8	zcnd 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
44		mulneg2 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
45	13, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
46	45	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
47		mulcl 11193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
48	13, 43, 47	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
49		negsubdi 11515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
50	48, 26, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
51	46, 50	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
52	42, 51	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
54	53	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
55	24, 54	bitrid 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
56	23, 55	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
57	56	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
58		oveq2 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
59	58	oveq1d 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
60	59	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
61	60	rspcev 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
62	11, 57, 61	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
63	62	rexlimdva2 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
64		znegcl 12596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
65	64	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
66		zcn 12562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
67		mulcl 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
68	66, 13, 67	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
69		recn 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
70		negcon2 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
71	68, 69, 70	syl2anr 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ 𝑁 = -(𝑦 · 2)))
72		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
73		mulneg1 11649	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
74	66, 13, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
76	75	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
77	72, 76	bitr4id 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
78	71, 77	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
79	78	biimpa 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
80		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
81	80	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
82	81	rspcev 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
83	65, 79, 82	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
84	83	rexlimdva2 3157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
85	63, 84	orim12d 963	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
86		odd2np1lem 16282	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
87	85, 86	impel 506	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
88	7, 87	jaodan 956	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
89	5, 88	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
90		halfnz 12639	. . . 4 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
91		reeanv 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
92		eqtr3 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
93		zcn 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		mulcom 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
95	93, 13, 94	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
96	95	eqeq2d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
97	96	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
98		mulcl 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
99	13, 93, 98	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
100		zcn 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
101		mulcl 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
102	13, 100, 101	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
103		subadd 11462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
104	26, 103	mp3an3 1450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
105	99, 102, 104	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
106		subcl 11458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ)
107		2cnne0 12421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
108		eqcom 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘 − 𝑛))
109		divmul 11874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘 − 𝑛) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
110	108, 109	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
111	26, 107, 110	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
112	106, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
113	112	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1))
114		subdi 11646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
115	13, 114	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
116	115	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘 − 𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
117	116	eqeq1d 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘 − 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
118	113, 117	bitrd 278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
119	100, 93, 118	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
120		zsubcl 12603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ)
121		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘 − 𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
122	120, 121	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
123	122	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 − 𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
124	119, 123	sylbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
125	105, 124	sylbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126	97, 125	sylbid 239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127	92, 126	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
128	127	rexlimivv 3199	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
129	91, 128	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
130	90, 129	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
131		pm5.17 1010	. . . 4 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
132		bicom 221	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
133	131, 132	bitri 274	. . 3 ⊢ (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
134	89, 130, 133	sylanblc 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
135	4, 134	bitrd 278	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557   ∥ cdvds 16196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-dvds 16197

This theorem is referenced by:  oddm1even  16285  oexpneg  16287  mod2eq1n2dvds  16289  oddnn02np1  16290  2tp1odd  16294  sqoddm1div8z  16296  ltoddhalfle  16303  halfleoddlt  16304  opoe  16305  omoe  16306  opeo  16307  omeo  16308  m1expo  16317  m1exp1  16318  flodddiv4  16355  iserodd  16767  lgsquadlem1  26880  knoppndvlem9  35391  coskpi2  44572  cosknegpi  44575  stirlinglem5  44784  fourierswlem  44936  fmtnoodd  46191  dfodd3  46308