Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cosknegpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosknegpi 44575
Description: The cosine of an integer multiple of negative ฯ€ is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ 2 โˆฅ ๐พ)
2 2z 12593 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3 simpl 483 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 divides 16198 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
52, 3, 4sylancr 587 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
61, 5mpbid 231 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ)
7 zcn 12562 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8 negcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
10 picn 25968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฯ€ โˆˆ โ„‚
119, 10mulcli 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
138, 12mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
1413addlidd 11414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
15 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
178, 15, 16mulassd 11236 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
1817eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2019, 15mulneg1d 11666 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท 2) = -(๐‘› ยท 2))
2120oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2214, 18, 213eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2519, 15mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚)
26 mulneg12 11651 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2725, 16, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
30 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3224, 29, 313eqtrrd 2777 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
3332fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
34333adant1 1130 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
35 0cnd 11206 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
36 znegcl 12596 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
37 cosper 25991 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
39383ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
40 cos0 16092 . . . . . . . . 9 (cosโ€˜0) = 1
41 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = 1)
4240, 41eqtr4id 2791 . . . . . . . 8 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
43423ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2776 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
45443exp 1119 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4645adantl 482 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4746rexlimdv 3153 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
49 odd2np1 16283 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ))
5049biimpa 477 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ)
51 oveq1 7415 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
5251eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5415, 19mulcld 11233 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
56 negpicn 25971 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„‚)
5854, 55, 57adddird 11238 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
61 mulneg12 11651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6254, 16, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6362eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€))
6415, 19mulneg2d 11667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = -(2 ยท ๐‘›))
6515, 8mulcomd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6664, 65eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -(2 ยท ๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6766oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
6863, 67, 173eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
6957mullidd 11231 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท -ฯ€) = -ฯ€)
7068, 69oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€))
7113, 57addcomd 11415 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7270, 71eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7553, 60, 743eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
76753adant1 1130 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7776fveq2d 6895 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
78773adant1r 1177 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
79 cosper 25991 . . . . . . 7 ((-ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
8056, 36, 79sylancr 587 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
81803ad2ant2 1134 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
82 cosnegpi 44573 . . . . . . . 8 (cosโ€˜-ฯ€) = -1
83 iffalse 4537 . . . . . . . 8 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = -1)
8482, 83eqtr4id 2791 . . . . . . 7 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8584adantl 482 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
86853ad2ant1 1133 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2776 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3159 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 811 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  -cneg 11444  2c2 12266  โ„คcz 12557  cosccos 16007  ฯ€cpi 16009   โˆฅ cdvds 16196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  44935
  Copyright terms: Public domain W3C validator