Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cosknegpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosknegpi 44585
Description: The cosine of an integer multiple of negative ฯ€ is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ 2 โˆฅ ๐พ)
2 2z 12594 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3 simpl 484 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 divides 16199 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
61, 5mpbid 231 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ)
7 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8 negcl 11460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
10 picn 25969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฯ€ โˆˆ โ„‚
119, 10mulcli 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
138, 12mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
1413addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
15 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
178, 15, 16mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
1817eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2019, 15mulneg1d 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท 2) = -(๐‘› ยท 2))
2120oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2214, 18, 213eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2519, 15mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚)
26 mulneg12 11652 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2725, 16, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
30 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3224, 29, 313eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
3332fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
34333adant1 1131 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
35 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
36 znegcl 12597 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
37 cosper 25992 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
39383ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
40 cos0 16093 . . . . . . . . 9 (cosโ€˜0) = 1
41 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = 1)
4240, 41eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
43423ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2777 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
45443exp 1120 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4645adantl 483 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4746rexlimdv 3154 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
49 odd2np1 16284 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ))
5049biimpa 478 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ)
51 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
5251eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5415, 19mulcld 11234 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
56 negpicn 25972 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„‚)
5854, 55, 57adddird 11239 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
61 mulneg12 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6254, 16, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6362eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€))
6415, 19mulneg2d 11668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = -(2 ยท ๐‘›))
6515, 8mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6664, 65eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -(2 ยท ๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6766oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
6863, 67, 173eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
6957mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท -ฯ€) = -ฯ€)
7068, 69oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€))
7113, 57addcomd 11416 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7270, 71eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7473adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7553, 60, 743eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
76753adant1 1131 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7776fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
78773adant1r 1178 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
79 cosper 25992 . . . . . . 7 ((-ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
8056, 36, 79sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
81803ad2ant2 1135 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
82 cosnegpi 44583 . . . . . . . 8 (cosโ€˜-ฯ€) = -1
83 iffalse 4538 . . . . . . . 8 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = -1)
8482, 83eqtr4id 2792 . . . . . . 7 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8584adantl 483 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
86853ad2ant1 1134 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2777 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3160 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 812 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -cneg 11445  2c2 12267  โ„คcz 12558  cosccos 16008  ฯ€cpi 16010   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  44945
  Copyright terms: Public domain W3C validator