Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cosknegpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosknegpi 44883
Description: The cosine of an integer multiple of negative ฯ€ is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ 2 โˆฅ ๐พ)
2 2z 12598 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3 simpl 481 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 divides 16203 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
52, 3, 4sylancr 585 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
61, 5mpbid 231 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ)
7 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8 negcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
10 picn 26205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฯ€ โˆˆ โ„‚
119, 10mulcli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
138, 12mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
1413addlidd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
15 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
178, 15, 16mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
1817eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2019, 15mulneg1d 11671 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท 2) = -(๐‘› ยท 2))
2120oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2214, 18, 213eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2423adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2519, 15mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚)
26 mulneg12 11656 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2725, 16, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
30 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3130adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3224, 29, 313eqtrrd 2775 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
3332fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
34333adant1 1128 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
35 0cnd 11211 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
36 znegcl 12601 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
37 cosper 26228 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
39383ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
40 cos0 16097 . . . . . . . . 9 (cosโ€˜0) = 1
41 iftrue 4533 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = 1)
4240, 41eqtr4id 2789 . . . . . . . 8 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
43423ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2774 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
45443exp 1117 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4645adantl 480 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4746rexlimdv 3151 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
49 odd2np1 16288 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ))
5049biimpa 475 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ)
51 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
5251eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5352adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5415, 19mulcld 11238 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
56 negpicn 26208 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„‚)
5854, 55, 57adddird 11243 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
6059adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
61 mulneg12 11656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6254, 16, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6362eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€))
6415, 19mulneg2d 11672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = -(2 ยท ๐‘›))
6515, 8mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6664, 65eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -(2 ยท ๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6766oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
6863, 67, 173eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
6957mullidd 11236 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท -ฯ€) = -ฯ€)
7068, 69oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€))
7113, 57addcomd 11420 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7270, 71eqtrd 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7473adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7553, 60, 743eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
76753adant1 1128 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7776fveq2d 6894 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
78773adant1r 1175 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
79 cosper 26228 . . . . . . 7 ((-ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
8056, 36, 79sylancr 585 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
81803ad2ant2 1132 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
82 cosnegpi 44881 . . . . . . . 8 (cosโ€˜-ฯ€) = -1
83 iffalse 4536 . . . . . . . 8 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = -1)
8482, 83eqtr4id 2789 . . . . . . 7 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8584adantl 480 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
86853ad2ant1 1131 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2774 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3157 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 809 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11449  2c2 12271  โ„คcz 12562  cosccos 16012  ฯ€cpi 16014   โˆฅ cdvds 16201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  45243
  Copyright terms: Public domain W3C validator