Theorem cosknegpi 46973

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cosknegpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2		2z 12732	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		divides 16430	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
6	1, 5	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7		zcn 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8		negcl 11561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9		2cn 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 26791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
14	13	addlidd 11515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + ( -𝑛 · (2 · π))) = ( -𝑛 · (2 · π)))
15		2cnd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17	8, 15, 16	mulassd 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (( -𝑛 · 2) · π) = ( -𝑛 · (2 · π)))
18	17	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -𝑛 · (2 · π)) = (( -𝑛 · 2) · π))
19		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19, 15	mulneg1d 11773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
21	20	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (( -𝑛 · 2) · π) = ( -(𝑛 · 2) · π))
22	14, 18, 21	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + ( -𝑛 · (2 · π))) = ( -(𝑛 · 2) · π))
23	7, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 + ( -𝑛 · (2 · π))) = ( -(𝑛 · 2) · π))
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + ( -𝑛 · (2 · π))) = ( -(𝑛 · 2) · π))
25	19, 15	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26		mulneg12 11758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ( -(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
27	25, 16, 26	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
28	7, 27	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ( -(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ( -(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30		oveq1 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
32	24, 29, 31	3eqtrrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + ( -𝑛 · (2 · π))))
33	32	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + ( -𝑛 · (2 · π)))))
34	33	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + ( -𝑛 · (2 · π)))))
35		0cnd 11303	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36		znegcl 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37		cosper 26817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
38	35, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40		cos0 16324	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘0) = 1
41		iftrue 4487	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
42	40, 41	eqtr4id 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
44	34, 39, 43	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45	44	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
46	45	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
47	46	rexlimdv 3161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
48	6, 47	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49		odd2np1 16517	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
50	49	biimpa 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51		oveq1 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
52	51	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
54	15, 19	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55		1cnd 11306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56		negpicn 26797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
58	54, 55, 57	adddird 11338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
59	7, 58	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
60	59	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61		mulneg12 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ( -(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
62	54, 16, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
63	62	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = ( -(2 · 𝑛) · π))
64	15, 19	mulneg2d 11774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
65	15, 8	mulcomd 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = ( -𝑛 · 2))
66	64, 65	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = ( -𝑛 · 2))
67	66	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ( -(2 · 𝑛) · π) = (( -𝑛 · 2) · π))
68	63, 67, 17	3eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = ( -𝑛 · (2 · π)))
69	57	mullidd 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
70	68, 69	oveq12d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (( -𝑛 · (2 · π)) + -π))
71	13, 57	addcomd 11516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (( -𝑛 · (2 · π)) + -π) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
72	70, 71	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
73	7, 72	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
74	73	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
75	53, 60, 74	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
76	75	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = ( -π + ( -𝑛 · (2 · π))))
77	76	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘( -π + ( -𝑛 · (2 · π)))))
78	77	3adant1r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘( -π + ( -𝑛 · (2 · π)))))
79		cosper 26817	. . . . . . 7 ⊢ (( -π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘( -π + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘ -π))
80	56, 36, 79	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘( -π + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘ -π))
81	80	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘( -π + ( -𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘ -π))
82		cosnegpi 46971	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘ -π) = -1
83		iffalse 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
84	82, 83	eqtr4id 2814	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘ -π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
85	84	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘ -π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86	85	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘ -π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
87	78, 81, 86	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
88	87	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
89	50, 88	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
90	48, 89	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ifcif 4481   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   -cneg 11546  2c2 12401  ℤcz 12697  cosccos 16236  πcpi 16238   ∥ cdvds 16428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193

This theorem is used by:  sqwvfourb  47333