Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cosknegpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosknegpi 44200
Description: The cosine of an integer multiple of negative ฯ€ is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ 2 โˆฅ ๐พ)
2 2z 12543 . . . . 5 2 โˆˆ โ„ค
3 simpl 484 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
4 divides 16146 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ))
61, 5mpbid 231 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ)
7 zcn 12512 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
8 negcl 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„‚)
9 2cn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„‚
10 picn 25839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ฯ€ โˆˆ โ„‚
119, 10mulcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ฯ€) โˆˆ โ„‚)
138, 12mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) โˆˆ โ„‚)
1413addid2d 11364 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
15 2cnd 12239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
178, 15, 16mulassd 11186 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
1817eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
2019, 15mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-๐‘› ยท 2) = -(๐‘› ยท 2))
2120oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2214, 18, 213eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))) = (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
2519, 15mulcld 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚)
26 mulneg12 11601 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘› ยท 2) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2725, 16, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (-(๐‘› ยท 2) ยท ฯ€) = ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€))
30 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3130adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ ((๐‘› ยท 2) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
3224, 29, 313eqtrrd 2778 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
3332fveq2d 6850 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
34333adant1 1131 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
35 0cnd 11156 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
36 znegcl 12546 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ -๐‘› โˆˆ โ„ค)
37 cosper 25862 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
3835, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
39383ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(0 + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜0))
40 cos0 16040 . . . . . . . . 9 (cosโ€˜0) = 1
41 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = 1)
4240, 41eqtr4id 2792 . . . . . . . 8 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
43423ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜0) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2777 . . . . . 6 ((2 โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘› ยท 2) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
45443exp 1120 . . . . 5 (2 โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4645adantl 483 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))))
4746rexlimdv 3147 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค (๐‘› ยท 2) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
49 odd2np1 16231 . . . 4 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ))
5049biimpa 478 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ)
51 oveq1 7368 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (๐พ ยท -ฯ€))
5251eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5352adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€))
5415, 19mulcld 11183 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
55 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
56 negpicn 25842 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -ฯ€ โˆˆ โ„‚)
5854, 55, 57adddird 11188 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
6059adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) ยท -ฯ€) = (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)))
61 mulneg12 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6254, 16, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€))
6362eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€))
6415, 19mulneg2d 11617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = -(2 ยท ๐‘›))
6515, 8mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท -๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6664, 65eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ -(2 ยท ๐‘›) = (-๐‘› ยท 2))
6766oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (-(2 ยท ๐‘›) ยท ฯ€) = ((-๐‘› ยท 2) ยท ฯ€))
6863, 67, 173eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) = (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))
6957mulid2d 11181 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท -ฯ€) = -ฯ€)
7068, 69oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€))
7113, 57addcomd 11365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ ((-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)) + -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7270, 71eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7473adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) ยท -ฯ€) + (1 ยท -ฯ€)) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7553, 60, 743eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
76753adant1 1131 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (๐พ ยท -ฯ€) = (-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€))))
7776fveq2d 6850 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
78773adant1r 1178 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))))
79 cosper 25862 . . . . . . 7 ((-ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง -๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
8056, 36, 79sylancr 588 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
81803ad2ant2 1135 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(-ฯ€ + (-๐‘› ยท (2 ยท ฯ€)))) = (cosโ€˜-ฯ€))
82 cosnegpi 44198 . . . . . . . 8 (cosโ€˜-ฯ€) = -1
83 iffalse 4499 . . . . . . . 8 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1) = -1)
8482, 83eqtr4id 2792 . . . . . . 7 (ยฌ 2 โˆฅ ๐พ โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8584adantl 483 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
86853ad2ant1 1134 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜-ฯ€) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2777 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3153 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐พ โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐พ) โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 812 1 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (cosโ€˜(๐พ ยท -ฯ€)) = if(2 โˆฅ ๐พ, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070  ifcif 4490   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  -cneg 11394  2c2 12216  โ„คcz 12507  cosccos 15955  ฯ€cpi 15957   โˆฅ cdvds 16144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  44560
  Copyright terms: Public domain W3C validator