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Theorem cosknegpi 42026
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2 2z 12002 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 divides 15597 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
52, 3, 4sylancr 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
61, 5mpbid 233 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7 zcn 11974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8 negcl 10874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
10 picn 24972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
119, 10mulcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
138, 12mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
1413addid2d 10829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
178, 15, 16mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
1817eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2019, 15mulneg1d 11081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
2120oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
2214, 18, 213eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2519, 15mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26 mulneg12 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2725, 16, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3224, 29, 313eqtrrd 2858 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
3332fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34333adant1 1122 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35 0cnd 10622 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36 znegcl 12005 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37 cosper 24995 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39383ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40 iftrue 4469 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
41 cos0 15491 . . . . . . . . 9 (cos‘0) = 1
4240, 41syl6reqr 2872 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43423ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2857 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45443exp 1111 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4645adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4746rexlimdv 3280 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49 odd2np1 15678 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
5049biimpa 477 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
5251eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5415, 19mulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56 negpicn 24975 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
5854, 55, 57adddird 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61 mulneg12 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6254, 16, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6362eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
6415, 19mulneg2d 11082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
6515, 8mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
6664, 65eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
6766oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
6863, 67, 173eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
6957mulid2d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
7068, 69oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
7113, 57addcomd 10830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7270, 71eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7553, 60, 743eqtrd 2857 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76753adant1 1122 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7776fveq2d 6667 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78773adant1r 1169 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79 cosper 24995 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
8056, 36, 79sylancr 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81803ad2ant2 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82 iffalse 4472 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
83 cosnegpi 42024 . . . . . . . 8 (cos‘-π) = -1
8482, 83syl6reqr 2872 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8584adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86853ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2857 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3283 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 809 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  -cneg 10859  2c2 11680  cz 11969  cosccos 15406  πcpi 15408  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
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