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Theorem cosknegpi 41645
Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
cosknegpi (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2 2z 11852 . . . . 5 2 ∈ ℤ
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 divides 15430 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
52, 3, 4sylancr 587 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
61, 5mpbid 233 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7 zcn 11823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8 negcl 10722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9 2cn 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
10 picn 24716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℂ
119, 10mulcli 10483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · π) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
138, 12mulcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
1413addid2d 10677 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15 2cnd 11552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
1610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
178, 15, 16mulassd 10499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
1817eqcomd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
2019, 15mulneg1d 10930 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
2120oveq1d 7022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
2214, 18, 213eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
2519, 15mulcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26 mulneg12 10915 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2725, 16, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
287, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30 oveq1 7014 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3130adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
3224, 29, 313eqtrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
3332fveq2d 6534 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34333adant1 1121 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35 0cnd 10469 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36 znegcl 11855 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37 cosper 24739 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
3835, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39383ad2ant2 1125 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40 iftrue 4381 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
41 cos0 15324 . . . . . . . . 9 (cos‘0) = 1
4240, 41syl6reqr 2848 . . . . . . . 8 (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43423ad2ant1 1124 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
4434, 39, 433eqtrd 2833 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝐾𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45443exp 1110 . . . . 5 (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4645adantl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
4746rexlimdv 3243 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
486, 47mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49 odd2np1 15511 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
5049biimpa 477 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51 oveq1 7014 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
5251eqcomd 2799 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5352adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
5415, 19mulcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55 1cnd 10471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56 negpicn 24719 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
5854, 55, 57adddird 10501 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
597, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
6059adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61 mulneg12 10915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6254, 16, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
6362eqcomd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
6415, 19mulneg2d 10931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
6515, 8mulcomd 10497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
6664, 65eqtr3d 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
6766oveq1d 7022 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
6863, 67, 173eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
6957mulid2d 10494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
7068, 69oveq12d 7025 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
7113, 57addcomd 10678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7270, 71eqtrd 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
737, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7473adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7553, 60, 743eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76753adant1 1121 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
7776fveq2d 6534 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78773adant1r 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79 cosper 24739 . . . . . . 7 ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
8056, 36, 79sylancr 587 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81803ad2ant2 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82 iffalse 4384 . . . . . . . 8 (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
83 cosnegpi 41643 . . . . . . . 8 (cos‘-π) = -1
8482, 83syl6reqr 2848 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8584adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86853ad2ant1 1124 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8778, 81, 863eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
8887rexlimdv3a 3246 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
8950, 88mpd 15 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
9048, 89pm2.61dan 809 1 (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wrex 3104  ifcif 4375   class class class wbr 4956  cfv 6217  (class class class)co 7007  cc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  -cneg 10707  2c2 11529  cz 11818  cosccos 15239  πcpi 15241  cdvds 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-fac 13472  df-bc 13501  df-hash 13529  df-shft 14248  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-ef 15242  df-sin 15244  df-cos 15245  df-pi 15247  df-dvds 15429  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-lp 21416  df-perf 21417  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-haus 21595  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-limc 24135  df-dv 24136
This theorem is referenced by:  sqwvfourb  42010
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