Theorem cosknegpi 43410

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cosknegpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2		2z 12352	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		divides 15965	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
6	1, 5	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7		zcn 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8		negcl 11221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9		2cn 12048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 25616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 10982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15		2cnd 12051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17	8, 15, 16	mulassd 10998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
18	17	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19, 15	mulneg1d 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
21	20	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
22	14, 18, 21	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
25	19, 15	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26		mulneg12 11413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
27	25, 16, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
32	24, 29, 31	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
33	32	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34	33	3adant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35		0cnd 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36		znegcl 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37		cosper 25639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39	38	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40		cos0 15859	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘0) = 1
41		iftrue 4465	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
42	40, 41	eqtr4id 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43	42	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
44	34, 39, 43	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45	44	3exp 1118	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
46	45	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
47	46	rexlimdv 3212	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
48	6, 47	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49		odd2np1 16050	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
50	49	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
54	15, 19	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56		negpicn 25619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
58	54, 55, 57	adddird 11000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
59	7, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61		mulneg12 11413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
62	54, 16, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
63	62	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
64	15, 19	mulneg2d 11429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
65	15, 8	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
66	64, 65	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
67	66	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
68	63, 67, 17	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
69	57	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
70	68, 69	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
71	13, 57	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
72	70, 71	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
73	7, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
75	53, 60, 74	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76	75	3adant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
77	76	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78	77	3adant1r 1176	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79		cosper 25639	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
80	56, 36, 79	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81	80	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82		cosnegpi 43408	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘-π) = -1
83		iffalse 4468	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
84	82, 83	eqtr4id 2797	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
85	84	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86	85	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
87	78, 81, 86	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
88	87	rexlimdv3a 3215	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
89	50, 88	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
90	48, 89	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  -cneg 11206  2c2 12028  ℤcz 12319  cosccos 15774  πcpi 15776   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  43770