Theorem cosknegpi 43085

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cosknegpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2		2z 12209	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		divides 15817	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
5	2, 3, 4	sylancr 590	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
6	1, 5	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7		zcn 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8		negcl 11078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9		2cn 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 25349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 10840	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 11033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15		2cnd 11908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17	8, 15, 16	mulassd 10856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
18	17	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19, 15	mulneg1d 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
21	20	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
22	14, 18, 21	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
24	23	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
25	19, 15	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26		mulneg12 11270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
27	25, 16, 26	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
29	28	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30		oveq1 7220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
31	30	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
32	24, 29, 31	3eqtrrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
33	32	fveq2d 6721	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34	33	3adant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35		0cnd 10826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36		znegcl 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37		cosper 25372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
38	35, 36, 37	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39	38	3ad2ant2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40		cos0 15711	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘0) = 1
41		iftrue 4445	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
42	40, 41	eqtr4id 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43	42	3ad2ant1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
44	34, 39, 43	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45	44	3exp 1121	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
46	45	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
47	46	rexlimdv 3202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
48	6, 47	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49		odd2np1 15902	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
50	49	biimpa 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51		oveq1 7220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
52	51	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
54	15, 19	mulcld 10853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55		1cnd 10828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56		negpicn 25352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
58	54, 55, 57	adddird 10858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
59	7, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
60	59	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61		mulneg12 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
62	54, 16, 61	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
63	62	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
64	15, 19	mulneg2d 11286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
65	15, 8	mulcomd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
66	64, 65	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
67	66	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
68	63, 67, 17	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
69	57	mulid2d 10851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
70	68, 69	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
71	13, 57	addcomd 11034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
72	70, 71	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
73	7, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
74	73	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
75	53, 60, 74	3eqtrd 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76	75	3adant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
77	76	fveq2d 6721	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78	77	3adant1r 1179	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79		cosper 25372	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
80	56, 36, 79	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81	80	3ad2ant2 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82		cosnegpi 43083	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘-π) = -1
83		iffalse 4448	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
84	82, 83	eqtr4id 2797	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
85	84	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86	85	3ad2ant1 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
87	78, 81, 86	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
88	87	rexlimdv3a 3205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
89	50, 88	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
90	48, 89	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  ifcif 4439   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  -cneg 11063  2c2 11885  ℤcz 12176  cosccos 15626  πcpi 15628   ∥ cdvds 15815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764

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