Theorem cosknegpi 41645

Description: The cosine of an integer multiple of negative π is either 1 or negative 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cosknegpi	⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Proof of Theorem cosknegpi

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ 𝐾)
2		2z 11852	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		divides 15430	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾))
6	1, 5	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾)
7		zcn 11823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
8		negcl 10722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -𝑛 ∈ ℂ)
9		2cn 11549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 24716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 10483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 10496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) ∈ ℂ)
14	13	addid2d 10677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-𝑛 · (2 · π)))
15		2cnd 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
16	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → π ∈ ℂ)
17	8, 15, 16	mulassd 10499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-𝑛 · (2 · π)))
18	17	eqcomd 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · (2 · π)) = ((-𝑛 · 2) · π))
19		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
20	19, 15	mulneg1d 10930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-𝑛 · 2) = -(𝑛 · 2))
21	20	oveq1d 7022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · 2) · π) = (-(𝑛 · 2) · π))
22	14, 18, 21	3eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (0 + (-𝑛 · (2 · π))) = (-(𝑛 · 2) · π))
25	19, 15	mulcld 10496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 · 2) ∈ ℂ)
26		mulneg12 10915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 · 2) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
27	25, 16, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
28	7, 27	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (-(𝑛 · 2) · π) = ((𝑛 · 2) · -π))
30		oveq1 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 · 2) = 𝐾 → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → ((𝑛 · 2) · -π) = (𝐾 · -π))
32	24, 29, 31	3eqtrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (0 + (-𝑛 · (2 · π))))
33	32	fveq2d 6534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
34	33	3adant1 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))))
35		0cnd 10469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 0 ∈ ℂ)
36		znegcl 11855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → -𝑛 ∈ ℤ)
37		cosper 24739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
39	38	3ad2ant2 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(0 + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘0))
40		iftrue 4381	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = 1)
41		cos0 15324	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘0) = 1
42	40, 41	syl6reqr 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
43	42	3ad2ant1 1124	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘0) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
44	34, 39, 43	3eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝐾 ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 · 2) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
45	44	3exp 1110	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝐾 → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
46	45	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (𝑛 ∈ ℤ → ((𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))))
47	46	rexlimdv 3243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 · 2) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
48	6, 47	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
49		odd2np1 15511	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐾 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾))
50	49	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾)
51		oveq1 7014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (𝐾 · -π))
52	51	eqcomd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (((2 · 𝑛) + 1) · -π))
54	15, 19	mulcld 10496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
55		1cnd 10471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
56		negpicn 24719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -π ∈ ℂ)
58	54, 55, 57	adddird 10501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
59	7, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) + 1) · -π) = (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)))
61		mulneg12 10915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
62	54, 16, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((2 · 𝑛) · -π))
63	62	eqcomd 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-(2 · 𝑛) · π))
64	15, 19	mulneg2d 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = -(2 · 𝑛))
65	15, 8	mulcomd 10497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · -𝑛) = (-𝑛 · 2))
66	64, 65	eqtr3d 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → -(2 · 𝑛) = (-𝑛 · 2))
67	66	oveq1d 7022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (-(2 · 𝑛) · π) = ((-𝑛 · 2) · π))
68	63, 67, 17	3eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) · -π) = (-𝑛 · (2 · π)))
69	57	mulid2d 10494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (1 · -π) = -π)
70	68, 69	oveq12d 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = ((-𝑛 · (2 · π)) + -π))
71	13, 57	addcomd 10678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((-𝑛 · (2 · π)) + -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
72	70, 71	eqtrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
73	7, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
74	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (((2 · 𝑛) · -π) + (1 · -π)) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
75	53, 60, 74	3eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
76	75	3adant1 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (𝐾 · -π) = (-π + (-𝑛 · (2 · π))))
77	76	fveq2d 6534	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
78	77	3adant1r 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))))
79		cosper 24739	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℂ ∧ -𝑛 ∈ ℤ) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
80	56, 36, 79	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
81	80	3ad2ant2 1125	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(-π + (-𝑛 · (2 · π)))) = (cos‘-π))
82		iffalse 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → if(2 ∥ 𝐾, 1, -1) = -1)
83		cosnegpi 41643	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘-π) = -1
84	82, 83	syl6reqr 2848	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝐾 → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
85	84	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
86	85	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘-π) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
87	78, 81, 86	3eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
88	87	rexlimdv3a 3246	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝐾 → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1)))
89	50, 88	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))
90	48, 89	pm2.61dan 809	1 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (cos‘(𝐾 · -π)) = if(2 ∥ 𝐾, 1, -1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1078   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ∃wrex 3104  ifcif 4375   class class class wbr 4956  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377  -cneg 10707  2c2 11529  ℤcz 11818  cosccos 15239  πcpi 15241   ∥ cdvds 15428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-fi 8711  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-xneg 12346  df-xadd 12347  df-xmul 12348  df-ioo 12581  df-ioc 12582  df-ico 12583  df-icc 12584  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-seq 13208  df-exp 13268  df-fac 13472  df-bc 13501  df-hash 13529  df-shft 14248  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-limsup 14650  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-ef 15242  df-sin 15244  df-cos 15245  df-pi 15247  df-dvds 15429  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-rest 16513  df-topn 16514  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-topgen 16534  df-pt 16535  df-prds 16538  df-xrs 16592  df-qtop 16597  df-imas 16598  df-xps 16600  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-mulg 17970  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-psmet 20207  df-xmet 20208  df-met 20209  df-bl 20210  df-mopn 20211  df-fbas 20212  df-fg 20213  df-cnfld 20216  df-top 21174  df-topon 21191  df-topsp 21213  df-bases 21226  df-cld 21299  df-ntr 21300  df-cls 21301  df-nei 21378  df-lp 21416  df-perf 21417  df-cn 21507  df-cnp 21508  df-haus 21595  df-tx 21842  df-hmeo 22035  df-fil 22126  df-fm 22218  df-flim 22219  df-flf 22220  df-xms 22601  df-ms 22602  df-tms 22603  df-cncf 23157  df-limc 24135  df-dv 24136

This theorem is referenced by:  sqwvfourb  42010