Theorem modremain 16347

Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modremain	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2740	. 2 ⊢ ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2		divalgmodcl 16346	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
3	2	3adant3r 1182	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
4		ibar 530	. . . . 5 ⊢ (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
5	4	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
6	5	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
7		nnz 12575	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nn0z 12579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
11	10	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
13	9, 12	zsubcld 12667	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
14		divides 16195	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅)))
15	8, 13, 14	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅)))
16		eqcom 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑁 − 𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17		zcn 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℂ)
21	20	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
23	22	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
25	8	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
26	24, 25	zmulcld 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12663	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
28	19, 23, 27	subadd2d 11586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
29	16, 28	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
30	29	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
31	15, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
32	3, 6, 31	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
33	1, 32	bitrid 283	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  ℂcc 11104   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554   mod cmo 13830   ∥ cdvds 16193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194

This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  46205