Theorem modremain 16117

Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modremain	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2745	. 2 ⊢ ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ 𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2		divalgmodcl 16116	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
3	2	3adant3r 1180	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
4		ibar 529	. . . . 5 ⊢ (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
6	5	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷 ∧ 𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅))))
7		nnz 12342	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
8	7	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		nn0z 12343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℤ)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12	11	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
13	9, 12	zsubcld 12431	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ)
14		divides 15965	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅)))
15	8, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅)))
16		eqcom 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ (𝑁 − 𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17		zcn 12324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20		nn0cn 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22	21	3ad2ant3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
25	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
26	24, 25	zmulcld 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
28	19, 23, 27	subadd2d 11351	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
29	16, 28	bitrid 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
30	29	rexbidva 3225	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
31	15, 30	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁 − 𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
32	3, 6, 31	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
33	1, 32	bitrid 282	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   mod cmo 13589   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964

This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  45054