MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modremain Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modremain 16295
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ท   ๐‘ง,๐‘   ๐‘ง,๐‘…

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2740 . 2 ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” ๐‘… = (๐‘ mod ๐ท))
2 divalgmodcl 16294 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
323adant3r 1182 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
4 ibar 530 . . . . 5 (๐‘… < ๐ท โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
54adantl 483 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
653ad2ant3 1136 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
7 nnz 12525 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
873ad2ant2 1135 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
9 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nn0z 12529 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
12113ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
139, 12zsubcld 12617 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
14 divides 16143 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
158, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
16 eqcom 2740 . . . . . 6 ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท))
17 zcn 12509 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12428 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
258adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2624, 25zmulcld 12618 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12613 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2819, 23, 27subadd2d 11536 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
2916, 28bitrid 283 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3029rexbidva 3170 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3115, 30bitrd 279 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
323, 6, 313bitr2d 307 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
331, 32bitrid 283 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504   mod cmo 13780   โˆฅ cdvds 16141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142
This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  45880
  Copyright terms: Public domain W3C validator