MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modremain Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modremain 16353
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ท   ๐‘ง,๐‘   ๐‘ง,๐‘…

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2739 . 2 ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” ๐‘… = (๐‘ mod ๐ท))
2 divalgmodcl 16352 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
323adant3r 1181 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
4 ibar 529 . . . . 5 (๐‘… < ๐ท โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
54adantl 482 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
653ad2ant3 1135 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
7 nnz 12581 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
873ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
9 simp1 1136 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nn0z 12585 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
12113ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
139, 12zsubcld 12673 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
14 divides 16201 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
158, 13, 14syl2anc 584 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
16 eqcom 2739 . . . . . 6 ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท))
17 zcn 12565 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
18173ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12484 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2322adantr 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
24 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
258adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2624, 25zmulcld 12674 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12669 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2819, 23, 27subadd2d 11592 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
2916, 28bitrid 282 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3029rexbidva 3176 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3115, 30bitrd 278 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
323, 6, 313bitr2d 306 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
331, 32bitrid 282 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560   mod cmo 13836   โˆฅ cdvds 16199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200
This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  46349
  Copyright terms: Public domain W3C validator