MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modremain Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modremain 16351
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐ท   ๐‘ง,๐‘   ๐‘ง,๐‘…

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2740 . 2 ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” ๐‘… = (๐‘ mod ๐ท))
2 divalgmodcl 16350 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง ๐‘… โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
323adant3r 1182 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
4 ibar 530 . . . . 5 (๐‘… < ๐ท โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
54adantl 483 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
653ad2ant3 1136 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘… < ๐ท โˆง ๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…))))
7 nnz 12579 . . . . . 6 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
873ad2ant2 1135 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
9 simp1 1137 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
10 nn0z 12583 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
12113ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
139, 12zsubcld 12671 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
14 divides 16199 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
158, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
16 eqcom 2740 . . . . . 6 ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท))
17 zcn 12563 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1918adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
20 nn0cn 12482 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
22213ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
258adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„ค)
2624, 25zmulcld 12672 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12667 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2819, 23, 27subadd2d 11590 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘…) = (๐‘ง ยท ๐ท) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
2916, 28bitrid 283 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3029rexbidva 3177 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง ยท ๐ท) = (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
3115, 30bitrd 279 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐ท โˆฅ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
323, 6, 313bitr2d 307 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ (๐‘… = (๐‘ mod ๐ท) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
331, 32bitrid 283 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ท โˆˆ โ„• โˆง (๐‘… โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘… < ๐ท)) โ†’ ((๐‘ mod ๐ท) = ๐‘… โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง ยท ๐ท) + ๐‘…) = ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558   mod cmo 13834   โˆฅ cdvds 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198
This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  46270
  Copyright terms: Public domain W3C validator