MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modremain Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modremain 16347
Description: The result of the modulo operation is the remainder of the division algorithm. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
modremain ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅

Proof of Theorem modremain
StepHypRef Expression
1 eqcom 2740 . 2 ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅𝑅 = (𝑁 mod 𝐷))
2 divalgmodcl 16346 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
323adant3r 1182 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
4 ibar 530 . . . . 5 (𝑅 < 𝐷 → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
54adantl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
653ad2ant3 1136 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ (𝑅 < 𝐷𝐷 ∥ (𝑁𝑅))))
7 nnz 12575 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
873ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ ℤ)
9 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 nn0z 12579 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℤ)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℤ)
12113ad2ant3 1136 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℤ)
139, 12zsubcld 12667 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑁𝑅) ∈ ℤ)
14 divides 16195 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑅) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
158, 13, 14syl2anc 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅)))
16 eqcom 2740 . . . . . 6 ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ (𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷))
17 zcn 12559 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1918adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
20 nn0cn 12478 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 ∈ ℂ)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷) → 𝑅 ∈ ℂ)
22213ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → 𝑅 ∈ ℂ)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
24 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
258adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
2624, 25zmulcld 12668 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℤ)
2726zcnd 12663 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 · 𝐷) ∈ ℂ)
2819, 23, 27subadd2d 11586 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑅) = (𝑧 · 𝐷) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
2916, 28bitrid 283 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3029rexbidva 3177 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (∃𝑧 ∈ ℤ (𝑧 · 𝐷) = (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
3115, 30bitrd 279 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ (𝑁𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
323, 6, 313bitr2d 307 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → (𝑅 = (𝑁 mod 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
331, 32bitrid 283 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑅 ∈ ℕ0𝑅 < 𝐷)) → ((𝑁 mod 𝐷) = 𝑅 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ((𝑧 · 𝐷) + 𝑅) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3071   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cc 11104   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cmin 11440  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554   mod cmo 13830  cdvds 16193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194
This theorem is referenced by:  mod42tp1mod8  46205
  Copyright terms: Public domain W3C validator